Правилом Лопиталя негоже увлекаться вдумчивому ученику

[Padawan]

Sasha2
VoloCh

Да о какой вы "теореме" говорите? Тут элементарно задача детей научить пределы считать, выработать навыки. А вы про доказательства говорите.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #300227 писал(а):

никогда нельзя доказывать теорему на основе следствия из этой же теоремы.

Теорему -- нельзя. Но это была вовсе не теорема, а упражнение. И даже не упражнение, а иллюстрация того, как работает это правило. Тогда -- можно всё.

VoloCh в сообщении #300231 писал(а):

исчерпывающе правильный ответ дал Sasha2. А вот профессор курит в стороне работает над новым определением числа $e$.

(жалобно) А можно я посчитаю по Лопиталю $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}$? Ну мо-о-ожно?...

[VoloCh]

Padawan, Я ваще ни разу ни о какой теореме не говорил! Просто доказательство формулы $(e^x)'=e^x$ опирается на тот же предел, с которого все и началось. И Sasha2 справедливо указал, что то же самое относится и к формуле $(\sin x)'=\cos x$, а именно: вычисление производной синуса опирается на 1-й замечательный предел и поэтому сам замечательный предел нельзя вычислять с помощью правила Лопиталя. В этом был методический пафос моего поста. О чем тут еще можно спорить?

Некоторые же говорят, что можно сам синус определить как функцию, производная которой равна косинусу... четвертая производная которой равна самой себе. А экспоненту как функцию, производная которой равна самой себе (ну, конечно с добавлением неких нормировочных ограничений). И тогда пожалуйста, используй лопиталя для доказательства замечательных пределов. Только такое определение не даст представления о том, почему синус пяти пи равен нулю или почему, например, верно равенство $e^5=e^2\cdot e^3$.

И верно было сказано о "последовательности" подачи материала. Последовательность, конечно, можно порушить (изменить), но это хорошо тем, "кто уже все прошел по-старому". На мехмате московского гу как-то решили (1-2 группам) преподавать анализ прям со старта отказавшись от аксиомы Архимеда. А чего? Замечательно ведь. Не надо теперь приговаривать ничего про какие-то там "дельта-эпсилон". А прям оперируй бесконечно малыми (большими). Красота! Да только к третьему курсу эти "жертвы" эксперимента ничего не знали и этот фокус больше не повторяли.

[Padawan]

Мало ли что на что опиралось. Есть правило Лопиталя, есть таблица производных - дифференцируй-не хочу.

[ewert]

VoloCh в сообщении #300262 писал(а):

и поэтому сам замечательный предел нельзя вычислять с помощью правила Лопиталя.

А никто его и не вычислял. Просто на этом примере правило иллюстрировалось. Формальные ошибки в переходах есть?

VoloCh в сообщении #300262 писал(а):

А экспоненту как функцию, производная которой равна самой себе

Можно и так (со ссылкой на последующие дифуры, и я, кстати, примерно так формулу Эйлера и даю, т.к. на этот момент никаких Тейлоров ещё нет и долго-долго не будет, а производные и вещественная экспонента уже есть).

Но я говорил совершенно о другом. О том, что из основного свойства показательной функции $a^{b+c}=a^b\cdot a^c$ уже следует, что $(a^x)'=a^x\cdot\mathrm{const}$ (в предположении, конечно, что эта производная вообще существует). И тогда $e$ совершенно естественно определяется как такое $a$, при котором константа оказывается единичной.

И это -- наиболее идейный подход.

[VoloCh]

Padawan в сообщении #300274 писал(а):

Мало ли что на что опиралось. Есть правило Лопиталя, есть таблица производных - дифференцируй-не хочу.

Конечно, с точки зрения практики вы правы, если "правило" правильное, если "таблица" верная, то ответ будет правильный. Но это логический круг. Разрешаете вы себе это или нет - это и есть математическая культура. Или я не прав?

Да пожалуйста, в учебниках русского языка так или иначе можно вычитать следующее: "Корень слова - это общая часть всех однокоренных слов". Вам нравицца такое определение ("есть таблица, есть правила"), а мне - нет. Свободная страна!

ewert, просветите как получается что $(a^x)'=a^x\cdot\mathrm{const}$? Как вы доказываете, что предел $\lim\limits_{h\to 0}h^{-1}(a^h-1)$ существует? А... понятно... просто вы постулируете, что производная в нуле существует. Что ж, это нормально. Но потом как-то все же придецца доказать это существование? Уж не по Лопиталю ли вы это докажете?

[gris]

Я упёртый и ещё раз спршу, будет ли логическая ошибка считать по Лопиталю

$$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-2010+2009}x=\frac{(e^x-0+0)'}{x'}\big|_0=1.$$

[arqady]

terminator-II в сообщении #300162 писал(а):

по-моему самый короткий способ введения экспоненты и логарифма это такой:

$$\ln x:=\int_1^x\frac{ds}{s},$$

A если $x<0$?

[ewert]

arqady в сообщении #300299 писал(а):

terminator-II в сообщении #300162 писал(а):

по-моему самый короткий способ введения экспоненты и логарифма это такой:

$$\ln x:=\int_1^x\frac{ds}{s},$$

A если $x<0$?

, -- то этот интеграл не существует

[VoloCh]

gris, я упёртый и еще раз повторю, что ошибка (IMHO) в том, что формула $(e^x)'=e^x$ (который вы воспользовались при $x=0$) доказывается с помощью вашего предела, который вы и доказываете. Или предъявите другое доказательство того, что "производная экспоненты в нуле равна единице".

[gris]

VoloCh, я ещё упёртее, хотя я Вас понимаю больше, чем те, кто завёл оффтопный разговор про экспоненту.
Я всего лишь прошу ответить мне:

Есть ли логическая ошибка именно в этом употреблении правила Лопиталя:

$$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-2010+2009}x=\frac{(e^x-0+0)'}{x'}\big|_0=1.$$

[VoloCh]

gris в сообщении #300318 писал(а):

VoloCh
Есть ли логическая ошибка именно в этом употреблении правила Лопиталя:

Сдаюсь, я туплю и не понимаю разницы "этого" и "не этого". Что именно меняет подстановка $1=2010-2009$?

[gris]

То есть по Лопиталю нельзя считать вообще ничего? Коварный предел виден и в

$$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{2x}$$

и

$$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{e^{3x}-1}$$

Приведите пример безошибочного применения

[ewert]

VoloCh в сообщении #300289 писал(а):

Как вы доказываете, что предел $\lim\limits_{h\to 0}h^{-1}(a^h-1)$ существует?

А легко, кстати.

Достаточно рассмотреть $a>1$ и $h\to+0$. Для этого достаточно доказать монотонный рост функции $f(x)=\dfrac{a^x-1}{x}$. Это достаточно проверять только на рациональных числах в силу непрерывности (а непрерывность-то на данный момент уж точно есть, т.к. именно по непрерывности показательная функция на иррациональные показатели и доопределяется, и никак иначе). Для рациональных $\dfrac{m_1}{n}<\dfrac{m_2}{n}$ дело сводится к $\dfrac{b^{m_1}-1}{m_1}<\dfrac{b^{m_2}-1}{m_2}$, где $b=a^{1\over n}>1$. Ну это уж тривиально: при $b=1$ есть равенство, и при всех $b>1$ производная по $b$ левой части меньше, чем производная правой. Финиш.

Это даже менее занудно, чем стандартное индукционное доказательство существования предела $\left(1+{1\over n}\right)^n$.

[VoloCh]

gris в сообщении #300340 писал(а):

То есть по Лопиталю нельзя считать вообще ничего?

В ваших примерах не нужен Лопиталь. Только второй замечательный предел и арифметика. Пример корректного примениния

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{\tg^3x}$$