с6: произведение нескольких простых чисел...

[f_student]

Произведение нескольких различных простых чисел делится на каждое из этих чисел, уменьшенное на 1. Чему может быть равно это произведение?

[Legioner93]

Обозначьте числа $a_{1}$,$a_{2}$,$a_{3}$,$a_{4}$..., причем $a_{1}<a_{2}<a_{3}<a_{4}$...
Начинайте рассмотрение случаев. Например для одного числа: $a_1$ делится на $a_{1}-1$. Но у числа $a_{1}$ всего 2 делителя - 1 и $a_{1}$. Получаем, что $a_{1}=2$. Дальше рассматривайте для двух, трех чисел... Через несколько пунктов получите, что нет вариантов, удовлетворяющих условию задачи.

[f_student]

как нет? например, $ a_{1}=2, a_{2}=3$
2-1=1, 6/1=6
3-1=2, 6/2=3

[bot]

А также $2\cdot 3\cdot 7, \ \ 2\cdot 3\cdot 7\cdot 43,\ \ 2\cdot 3\cdot 7\cdot 43\cdot 259, \ldots$

[f_student]

По-моему, $2\cdot3\cdot7\cdot43\cdot259$ уже не подходит 259-не простое число 259/7=37
Тогда как доказать, что помимо $2\cdot3, 2\cdot3\cdot7, 2\cdot3\cdot7\cdot43$ нет других ответов, или есть, тогда как их найти?

[ИСН]

Перебором. Какое ещё простое число мы можем (может быть) добавить сюда? 2·7+1? Упс... не годится. 3·7+1? Увы. И так далее.

[f_student]

А без перебора никак? Не люблю такой способ решения. И перебором ж нельзя доказать, что больше корней нет. Перебором можно только, если повезет, найти подходящие числа или не найти, потому что их либо нет, либо пока не везет.

[ИСН]

f_student в сообщении #300136 писал(а):

И перебором ж нельзя доказать, что больше корней нет

Yes we can.

[f_student]

А как это сделать?

[ИСН]

Перебрать. Допустим, есть ещё одно простое число. И мы делимся на p-1. То есть, p-1 - это наш делитель. Но наши делители известны, вот они. Их можно перебрать.

[f_student]

ну если я стану перебирать числа и вдруг ничего не найду, это ж еще не будет являться доказательством того, что таких чисел больше нет.

[Батороев]

Вроде бы ( ), произведение $n=p_1\cdot p_2... \cdot p_n$ (где $p_1=2$)

должно быть таким, чтобы выполнялось сравнение:

$ a^n\equiv 1 \pmod n$,

при любых $a$, взаимнопростых $n$.

[bot]

f_student в сообщении #300120 писал(а):

По-моему, $2\cdot3\cdot7\cdot43\cdot259$ уже не подходит

У-п-с, арифметик, блин

(Оффтоп)

Сначала я на 43 остановился, потом вдруг 259 "обнаружил" и добавил его, а вместо следующего 519 три точки поставил - влом стало перебирать, где точку ставить и есть ли она.

f_student в сообщении #300198 писал(а):

ну если я стану перебирать числа и вдруг

исчерпав все возможности для очередного множителя обнаружу, что его быть не может, то это и будет доказательством, что всё найдено.

[Legioner93]

f_student в сообщении #300087 писал(а):

как нет? например, $ a_{1}=2, a_{2}=3$
2-1=1, 6/1=6
3-1=2, 6/2=3

bot в сообщении #300094 писал(а):

А также $2\cdot 3\cdot 7, \ \ 2\cdot 3\cdot 7\cdot 43,\ \ 2\cdot 3\cdot 7\cdot 43\cdot 259, \ldots$

f_student в сообщении #300120 писал(а):

По-моему, $2\cdot3\cdot7\cdot43\cdot259$ уже не подходит 259-не простое число 259/7=37
Тогда как доказать, что помимо $2\cdot3, 2\cdot3\cdot7, 2\cdot3\cdot7\cdot43$ нет других ответов, или есть, тогда как их найти?

Именно это я имел ввиду, на каком-то этапе перебор прервется. На форуме не принято приводить полные решения, разве нет?