Правилом Лопиталя негоже увлекаться вдумчивому ученику

[VoloCh]

Правилом Лопиталя негоже увлекаться вдумчивому ученику. Вот вопиющий пример из лекции, который мне показали тройку месяцев назад (вуз московский, в их методичке это есть).
Итак, пример грубой ошибки:

$$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}x=\text{(по Лопиталю)}=\lim_{x\to 0}\frac{(e^x-1)'}{x'}=\lim_{x\to 0}\frac{e^x}1=e^0=1.$$

А вы видите ошибку?

[ewert]

VoloCh в сообщении #300084 писал(а):

Итак, пример грубой ошибки:

$$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}x=\text{(по Лопиталю)}=\lim_{x\to 0}\frac{(e^x-1)'}{x'}=\lim_{x\to 0}\frac{e^x}1=e^0=1.$$

А вы видите ошибку?

Вы меня заинтриговали.

[ИСН]

Разве что пропущено какое-нибудь обоснование, без которого - сверху могло стоять хоть $e^x-100$, а получилось бы всё то же самое.

[gris]

На самом деле надо лишь тщательно проверить условия соответствующей теоремы.
Числитель и знаменатель равны нулю в предельной точке.
Обе функции имеют в ней даже двустороннюю производную,
причём производная знаменателя не равна нулю.
Значит правило Лопиталя применимо. Можно записать сразу без предела отношения производных.
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1}x=\frac{(e^x-1)'}{x'}\big|_0=e^0=1.$

Можно применить ПЛ и в более общей форме, когда функции дифференцируемы в окрестности предельной точки, но не обязательно в ней самой.

[ewert]

gris в сообщении #300116 писал(а):

причём производная знаменателя не равна нулю.

а это-то ещё зачем?...

[Sasha2]

На самом деле грубая ошибка состоит в том, что этот же самый предел и положен в основу вычисления производной от функции $e^x$. А поэтому, ну там кто в логике силен это очевидно, негоже пользоваться такой зацикленностью, когда доказательство теоремы A опирается на теорему B и наоборот.

P.S. Точно также можно как бы показать, что и $\frac{\sin x}{x}$ при x к нулю равен 1, но мы бы никогда не вычислили производную от $\sin x$, не зная этого предела.

[Профессор Снэйп]

Sasha2 в сообщении #300133 писал(а):

На самом деле грубая ошибка состоит в том, что этот же самый предел и положен в основу вычисления производной от функции $e^x$.

Э-э-э... Ну а если производная от $e^x$ вычислена раньше и независимым от этого предела способом? Почему тогда нельзя применять правило? Я согласен с тем, что если производная вычислена, то для вычисления предела достаточно вместо применения правила Лопиталя сослаться на то, что предел равен производной от $e^x$ в нуле по определению. Ну и что? К правомерности применения правила это никакого отношения не имеет!

[gris]

ewert, это условие перехода сразу к отношению значений производных, а не к пределу отношения.

А логическая ошибка состоит в том, что якобы нельзя пользоваться правилом Лопиталя для нахождения этого предела. Этот предел был уже найден другим способом. Но этот же предел удовлетворяет условиям теоремы о ПЛ и его вполне можно посчитать и по ПЛ.

[Sasha2]

Ну тогда остается только предъявить этот способ вычисления производной.
А дело то все в том, что НЕТ ВАШЕГО ЗНЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ, пока этот предел не посчитан.
И в геометрии точно также сперва формулируют теорему о том, что внешний угол треугольника больше любого из двух внутренних, к нему не прилежащих, и только потом приходят к тому, что этот внешний угол равен двум данным внутренним. А убери все это и вся конструкция посыпется.

[Профессор Снэйп]

gris в сообщении #300137 писал(а):

А логическая ошибка состоит в том, что якобы нельзя пользоваться правилом Лопиталя для нахождения этого предела. Этот предел был уже найден другим способом.

Где ошибка-то? Если предел уже был найден другим способом, почему бы его теперь не посчитать ещё и через ПЛ? Наоборот, это хорошее упражнение для тех, кто только начинает осваивать правило Лопиталя: убедиться, что уже известный предел при помощи этого правила вычисляется правильно.

Я что-то не понимаю. Если следовать такой логике, то каждый пример можно решать лишь одним-единственным способом, а другие способы неправомерны. Так что ли? Глупость какая-то!

[Sasha2]

Одним словом не только результаты, НО И ПОРЯДОК ПОЛУЧЕНИЯ ИХ должен быть корректным.

-- Вс мар 21, 2010 12:04:38 --

Кстати насчет правила Лопиталя. Да практически все что ситается этим правилом, считается и вручную. Там надо слишком потрудиться, чтобы найти такой пример, который без правила Лопиталя ну никуда.

[gris]

Профессор Снэйп, я как раз и имел в виду, что обвинение решившего в логической ошибке само является логической ошибкой. Возможно, я утверждая это, совершаю логическую ошибку...

[Профессор Снэйп]

Sasha2 в сообщении #300139 писал(а):

Ну тогда остается только предъявить этот способ вычисления производной.

Пожалуйста!

$$ e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} $$

$$ (e^x)' = \sum_{n=1}^\infty \frac{nx^{n-1}}{n!} = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} = e^x $$

Первое равенство можете считать определением экспоненты. Надеюсь, теорема о почленном дифференцировании ряда не требует знания производной экспоненты в нуле или где-то ещё.

[ewert]

На самом деле всё зависит от того, что понимается под числом $e$. Обычная цепочка такая: предел $(1+{1\over n})$, затем предел ${e^x-1\over x}$, затем производная. Но это лишь для экономии времени, а логически гораздо идейнее противоположная последовательность: определить $e$ как такое основание, при котором производная показательной функции в точности ей и равна (а не пропорциональна, как в общем случае). Всё, что для этого нужно -- это только дифференцируемость показательной функции. Доказывать последнюю независимо -- это некоторая морока, и только по этой причине так не поступают. А жаль.

[Профессор Снэйп]

gris в сообщении #300147 писал(а):

Профессор Снэйп, я как раз и имел в виду, что обвинение решившего в логической ошибке само является логической ошибкой.

Тогда я с Вами полностью согласен

-- Вс мар 21, 2010 14:10:58 --

ewert в сообщении #300151 писал(а):

На самом деле всё зависит от того, что понимается под числом $e$. Обычная цепочка такая...

Проще всего определить экспоненту через ряд, а затем уже доказывать свойства.

А определять хотя бы просто действительную степень действительного числа --- морока ещё та