Предположим, что дана группа
и ее представление
(см. раздел 2, Теорема Кэли). Как связаны алгебры Ли этих двух групп? Ясно, что из изоморфизма групп следует изоморфизм алгебр Ли. Отсюда следует, что для нахождения тех или иных представлений группы
автоморфизмами какого-либо класса состояний достаточно найти представление ее алгебры Ли в этом классе состояний.
Последнее, в свою очередь означает, что достаточно в нужном нам классе состояний найти такие операторы,
коммутаторы которых идентичны коммутаторам исходной группы .
Теперь пора найти коммутаторы группы
. Легко проверяется (
уважаемые коллеги, проверяйте меня), что
т.е. генераторы переходов в движущуюся систему координат
коммутируют. Коммутативность операторов означает, что соответствующие преобразования могут выполняться в любом порядке – конечный результат не зависит от порядка выполнения этих преобразований.
Данный факт объясняется тем, что в Галилеевой физике при переходе в движущуюся систему скорости складываются. Следовательно, если мы сначала перешли из системы 1 в систему 2, движущуюся со скоростью
относительно системы 1, а затем в систему 3, движущуюся со скоростью
относительно системы 2, то это эквивалентно тому, что мы сразу из системы 1 перешли в систему 3, движущуюся со скоростью
относительно системы 1. Т.е. конечный результат зависит от суммы скоростей, но не от порядка перехода. Разумеется, здесь мы имеем в виду преобразования, соответствующие генераторам
- генераторы
в этих преобразованиях не участвуют.
Коммутаторы группы пространственных вращений имеют вид
смысл в следующем - коммутатор малых поворотов вокруг двух различных осей дает поворот вокруг третьей оси. Коммутаторы вращений и переходов в движущуюся вдоль оси
систему координат имеют вид
Смысл в том, что при поворотах
преобразуется как вектор.
Уважаемые коллеги! Прошу в качестве помощи (и упражнения):
1. Дописать остальные коммутаторы группы
.
2. Переписать коммутаторы с участием
в компактном (ковариантном) виде, например, с использованием антисимметричного символа