уравнение 2^n = n^2

[onami]

Как решать уравнение $2^n = n^2$ или доказать, что решений не существует?

[meduza]

В целых числах?

onami в сообщении #296972 писал(а):

или доказать, что решений не существует?

Ну как же не существует, если сразу видны 2 и 4.

[Kitozavr]

Цитата:

Ну как же не существует, если сразу видны 2 и 4.

А 4 откуда?

[onami]

meduza, в любых Просто интересует, как его решать. Сам придумал уравнение, а решить не могу )

[meduza]

Kitozavr
$2^4=4^2$

[Mitrius_Math]

onami в сообщении #296972 писал(а):

Как решать уравнение $2^n = n^2$ или доказать, что решений не существует?

Прологарифмируйте обе части равенства по основанию 2.

[Kitozavr]

Извиняюсь.Ступил

[onami]

Mitrius_Math, пробовал уже, а дальше что?

Пусть $n=2^k$, из исходного равенства получаем $n =k^2$, где $k=log_2n$.

[meduza]

Через функцию Ламберта выражайте. В целых проще -- там только 2 корня.

[gris]

А нельзя рассмотреть функцию $y=2^x-x^2$?

[onami]

Давайте через W-функцию.

$1=n^2*2^{-n}=n^2e^{-nln2}.$
Пусть $y=-n*ln2$, тогда $ye^y=\frac{-ln2}n$, получаем $y=W(\frac{-ln2}n), n=\frac 1 {ln2}*W(\frac{-ln2}n)$

Другой вариант:
$n*ln2=2ln(n),$
$e^{ln(n)}*ln2=2ln(n),
e^{ln(n)}*ln(n)=\frac{2*ln^2(n)}{ln2},
$ln(n)=W(\frac{2*ln^2(n)}{ln2})$

Опять n по обе стороны равенства. Покажите, как надо.

[Xaositect]

Зачем так сложно?
Берем функцию $\frac{2^n}{n^2}$, вычисляем производную, получаем, что ф-я на $[0;+\infty)$ сначала убывает, потом возрастает. Значит, корней ровно 2.

[VPro]

Еще проще: после логарифмирования получим:
$x=2\mbox{log}_2 x$
Линейная функция может пересекаться с выпуклой не более чем в 2-х точках. Две точки уже найдены

[Maslov]

Xaositect в сообщении #297024 писал(а):

получаем, что ф-я на $[0;+\infty)$ сначала убывает, потом возрастает. Значит, корней ровно 2.

Судя по ответу топикстартера, $n$ может быть даже комплексным :

meduza в сообщении #296975 писал(а):

В целых числах?

onami в сообщении #296979 писал(а):

meduza, в любых

[onami]

VPro, а вы через уравнение выведите эти точки. Подбором неинтересно.