2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 уравнение 2^n = n^2
Сообщение12.03.2010, 16:45 
Как решать уравнение $2^n = n^2$ или доказать, что решений не существует?

 
 
 
 Re: уравнение 2^n = n^2
Сообщение12.03.2010, 16:55 
Аватара пользователя
В целых числах?
onami в сообщении #296972 писал(а):
или доказать, что решений не существует?

Ну как же не существует, если сразу видны 2 и 4.

 
 
 
 Re: уравнение 2^n = n^2
Сообщение12.03.2010, 17:05 
Аватара пользователя
Цитата:
Ну как же не существует, если сразу видны 2 и 4.

А 4 откуда?

 
 
 
 Re: уравнение 2^n = n^2
Сообщение12.03.2010, 17:07 
meduza, в любых :mrgreen: Просто интересует, как его решать. Сам придумал уравнение, а решить не могу )

 
 
 
 Re: уравнение 2^n = n^2
Сообщение12.03.2010, 17:08 
Аватара пользователя
Kitozavr
$2^4=4^2$

 
 
 
 Re: уравнение 2^n = n^2
Сообщение12.03.2010, 17:13 
onami в сообщении #296972 писал(а):
Как решать уравнение $2^n = n^2$ или доказать, что решений не существует?


Прологарифмируйте обе части равенства по основанию 2.

 
 
 
 Re: уравнение 2^n = n^2
Сообщение12.03.2010, 17:17 
Аватара пользователя
Извиняюсь.Ступил

 
 
 
 Re: уравнение 2^n = n^2
Сообщение12.03.2010, 17:23 
Mitrius_Math, пробовал уже, а дальше что?

Пусть $n=2^k$, из исходного равенства получаем $n =k^2$, где $k=log_2n$.

 
 
 
 Re: уравнение 2^n = n^2
Сообщение12.03.2010, 17:30 
Аватара пользователя
Через функцию Ламберта выражайте. В целых проще -- там только 2 корня.

 
 
 
 Re: уравнение 2^n = n^2
Сообщение12.03.2010, 17:51 
Аватара пользователя
А нельзя рассмотреть функцию $y=2^x-x^2$?

 
 
 
 Re: уравнение 2^n = n^2
Сообщение12.03.2010, 19:32 
Давайте через W-функцию.

$1=n^2*2^{-n}=n^2e^{-nln2}.$
Пусть $y=-n*ln2$, тогда $ye^y=\frac{-ln2}n$, получаем $y=W(\frac{-ln2}n), n=\frac 1 {ln2}*W(\frac{-ln2}n)$

Другой вариант:
$n*ln2=2ln(n),$
$e^{ln(n)}*ln2=2ln(n),
e^{ln(n)}*ln(n)=\frac{2*ln^2(n)}{ln2},
$ln(n)=W(\frac{2*ln^2(n)}{ln2})$

Опять n по обе стороны равенства. Покажите, как надо.

 
 
 
 Re: уравнение 2^n = n^2
Сообщение12.03.2010, 19:51 
Аватара пользователя
Зачем так сложно?
Берем функцию $\frac{2^n}{n^2}$, вычисляем производную, получаем, что ф-я на $[0;+\infty)$ сначала убывает, потом возрастает. Значит, корней ровно 2.

 
 
 
 Re: уравнение 2^n = n^2
Сообщение12.03.2010, 19:56 
Еще проще: после логарифмирования получим:
$x=2\mbox{log}_2 x$
Линейная функция может пересекаться с выпуклой не более чем в 2-х точках. Две точки уже найдены

 
 
 
 Re: уравнение 2^n = n^2
Сообщение12.03.2010, 19:59 
Xaositect в сообщении #297024 писал(а):
получаем, что ф-я на $[0;+\infty)$ сначала убывает, потом возрастает. Значит, корней ровно 2.

Судя по ответу топикстартера, $n$ может быть даже комплексным :) :
meduza в сообщении #296975 писал(а):
В целых числах?
onami в сообщении #296979 писал(а):
meduza, в любых :mrgreen:

 
 
 
 Re: уравнение 2^n = n^2
Сообщение12.03.2010, 20:04 
VPro, а вы через уравнение выведите эти точки. Подбором неинтересно.

 
 
 [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group