А вот Кудрявцев -- тот да, тот поступил бы. Он в своём учебнике буквально так и пишет. Не замечая, что подобное уточнение с точки зрения логики абсолютно бессмысленно. Поскольку такая запись
в точности эквивалентна записи

А вот это, кстати, интересный вопрос, одинаковые константы

в обоих строчках или разные.
Кванторов по

вроде никаких не стоит (а так же нет интегрирования, суммирования и т. п. по

), так что ни о каких связанных вхождениях и областях действия говорить не приходится. Получается, что

--- свободная переменная. Так что правило простое: если две строчки справа от фигурной скобки --- две части одной и той же формулы, то константа одинаковая, а если две разных формулы, то разная. Формула, как мне кажется, одна и та же, так что и константа одна. Чтобы константы могли принимать разные значения, надо их обозначать разными символами

А вообще я плохо понимаю, что такое неопределённый интеграл и что означает запись

Ну, ясно, что правая часть указывает на семейство функций. Но говорить о том, что неопределённый интеграл есть множество функций тоже не совсем корректно, иначе бы было

А что тогда? Я в недоумении

С формальной точки зрения запись просто не верна: левая часть равенства от

не зависит (оно там вообще нигде не фигурирует), а правая зависит (при разных

получаются разные функции), ergo равенство ложно, что бы оно ни выражало!