2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Рывны ли выражения друг другу
Сообщение07.03.2010, 19:11 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск

(Оффтоп)

arqady в сообщении #295630 писал(а):
В своё время, при поступлении на московский мех-мат на устном экзамене давали такую задачу:
Найти $\int\frac{1}{x^2}dx$ и, когда счастливый школьник давал ответ $\int\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C$, его отпускали с двойкой, приговаривая при этом: кааак Вы не знаете, что такое неопределённый интеграл??? О каком мех-мате может идти речь? Подучите и приходите через год.

Мама мия, а здесь-то что неправильно? Я, похоже, тоже не знаю, что такое неопределённый интеграл :roll:

Может, имелось в виду что-нибудь вроде
$$
\int \frac{dx}{x^2} =
\begin{cases}
-\frac{1}{x} + C_1, &x < 0 \\
-\frac{1}{x} + C_2, &x > 0
\end{cases}$$
Единственная подковырка, которая в голову приходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рывны ли выражения друг другу
Сообщение07.03.2010, 19:40 
Заслуженный участник


11/05/08
31922

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #295634 писал(а):
Мама мия, а здесь-то что неправильно? Я, похоже, тоже не знаю, что такое неопределённый интеграл :roll:

Может, имелось в виду что-нибудь вроде
$$
\int \frac{dx}{x^2} =
\begin{cases}
-\frac{1}{x} + C_1, &x < 0 \\
-\frac{1}{x} + C_2, &x > 0
\end{cases}$$

Ага, есть такой бздык. Он тут некоторое время назад довольно бурно обсуждался. Скажем, Ильин и Позняк на мехмат МГУ ни за что и ни в жисть не поступили бы.

А вот Кудрявцев -- тот да, тот поступил бы. Он в своём учебнике буквально так и пишет. Не замечая, что подобное уточнение с точки зрения логики абсолютно бессмысленно. Поскольку такая запись в точности эквивалентна записи $$
\int \frac{dx}{x^2} =
\begin{cases}
-\frac{1}{x} + C, &x < 0 \\
-\frac{1}{x} + C, &x > 0
\end{cases}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Рывны ли выражения друг другу
Сообщение07.03.2010, 20:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5679
Новосибирск

(Оффтоп)

Покажите мне хотя бы одно применение формулы Кудрявцева с одинаковыми или разными константами.
Я считаю, что $\int \frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{x}+C$ на любом промежутке, не содержащем $0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рывны ли выражения друг другу
Сообщение07.03.2010, 20:33 
Заслуженный участник


11/05/08
31922

(Оффтоп)

bot в сообщении #295667 писал(а):
Покажите мне хотя бы одно применение формулы Кудрявцева с одинаковыми или разными константами.
Я считаю, что $\int \frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{x}+C$ на любом промежутке, не содержащем $0$.

Кудрявцев, между прочим, тоже так считает, и даже прямым текстом это говорит. Но плюс к тому зачем-то ещё и выпендривается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рывны ли выражения друг другу
Сообщение07.03.2010, 20:43 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
ewert в сообщении #295645 писал(а):
А вот Кудрявцев -- тот да, тот поступил бы. Он в своём учебнике буквально так и пишет. Не замечая, что подобное уточнение с точки зрения логики абсолютно бессмысленно. Поскольку такая запись в точности эквивалентна записи $$
\int \frac{dx}{x^2} =
\begin{cases}
-\frac{1}{x} + C, &x < 0 \\
-\frac{1}{x} + C, &x > 0
\end{cases}$$

А вот это, кстати, интересный вопрос, одинаковые константы $C$ в обоих строчках или разные.

Кванторов по $C$ вроде никаких не стоит (а так же нет интегрирования, суммирования и т. п. по $C$), так что ни о каких связанных вхождениях и областях действия говорить не приходится. Получается, что $C$ --- свободная переменная. Так что правило простое: если две строчки справа от фигурной скобки --- две части одной и той же формулы, то константа одинаковая, а если две разных формулы, то разная. Формула, как мне кажется, одна и та же, так что и константа одна. Чтобы константы могли принимать разные значения, надо их обозначать разными символами :)

А вообще я плохо понимаю, что такое неопределённый интеграл и что означает запись
$$
\int f(x)\, dx = F(x) + C
$$
Ну, ясно, что правая часть указывает на семейство функций. Но говорить о том, что неопределённый интеграл есть множество функций тоже не совсем корректно, иначе бы было
$$
\int f(x)\, dx = \{ F(x) + C : C \in \mathbb{R} \}
$$
А что тогда? Я в недоумении :cry: С формальной точки зрения запись просто не верна: левая часть равенства от $C$ не зависит (оно там вообще нигде не фигурирует), а правая зависит (при разных $C$ получаются разные функции), ergo равенство ложно, что бы оно ни выражало!

 Профиль  
                  
 
 Re: Рывны ли выражения друг другу
Сообщение07.03.2010, 22:09 
Заслуженный участник


11/05/08
31922

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #295673 писал(а):
Но говорить о том, что неопределённый интеграл есть множество функций тоже не совсем корректно, иначе бы было
$$
\int f(x)\, dx = \{ F(x) + C : C \in \mathbb{R} \}
$$
А что тогда? Я в недоумении :cry: С формальной точки зрения запись просто не верна: левая часть равенства от $C$ не зависит (оно там вообще нигде не фигурирует), а правая зависит (при разных $C$ получаются разные функции), ergo

Я просто балдею. Это ж просто общепринятая договорённость (что $\int f(x)\, dx = F(x) + C$ и $\int f(x)\, dx = \{ F(x) + C : C \in \mathbb{R} \}$ -- суть одно и то же по умолчанию; первое -- это просто сокращённая запись второго), и уж этот-то момент во всех курсах, даже и в кудрявцеве, все аффтары вполне аккуратно оговаривают.

Соответственно:

Профессор Снэйп в сообщении #295673 писал(а):
А вот это, кстати, интересный вопрос, одинаковые константы $C$ в обоих строчках или разные.

Кванторов по $C$ вроде никаких не стоит

Вот как раз и стоят. Причём утверждения в каждой строчке -- независимы друг от друга. Т.е. те самые константы относительно своих строчек -- суть переменные внутренние. И обозначать их разными букафками -- как минимум нелепо.

Тот же тов. Кудрявцев вполне резонно заметил:

Цитата:
Само собой разумеется, что если знаменатель подынтегральной функции обращается в нуль в некоторой точке, то написанные формулы будут справедливы лишь для тех промежутков, в которых не происходит обращения в нуль указанного знаменателя...

Вот этим бы ему и ограничиться, а не наводить тень на плетень.

Для сравнения. Попробуйте выписать (со всеми константами) общее решение дифуравнения типа $y'=-{x\over y}$, ну или там, скажем, $y'=|y|$. И посмотрите на реакцию окружающих, когда Вы попытаетесь сделать это по-кудрявцевски.

Да бог с ним, с Кудрявцевым. В конце концов, у него-то это не более чем стилистическая небрежность. Но вот когда специалисты по гноблению детишек воспринимают сию небрежность как руководство к действию (тем более в МГУ) -- это уже несколько огорчает.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group