2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Рывны ли выражения друг другу
Сообщение07.03.2010, 19:11 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

arqady в сообщении #295630 писал(а):
В своё время, при поступлении на московский мех-мат на устном экзамене давали такую задачу:
Найти $\int\frac{1}{x^2}dx$ и, когда счастливый школьник давал ответ $\int\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C$, его отпускали с двойкой, приговаривая при этом: кааак Вы не знаете, что такое неопределённый интеграл??? О каком мех-мате может идти речь? Подучите и приходите через год.

Мама мия, а здесь-то что неправильно? Я, похоже, тоже не знаю, что такое неопределённый интеграл :roll:

Может, имелось в виду что-нибудь вроде
$$
\int \frac{dx}{x^2} =
\begin{cases}
-\frac{1}{x} + C_1, &x < 0 \\
-\frac{1}{x} + C_2, &x > 0
\end{cases}$$
Единственная подковырка, которая в голову приходит.

 
 
 
 Re: Рывны ли выражения друг другу
Сообщение07.03.2010, 19:40 

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #295634 писал(а):
Мама мия, а здесь-то что неправильно? Я, похоже, тоже не знаю, что такое неопределённый интеграл :roll:

Может, имелось в виду что-нибудь вроде
$$
\int \frac{dx}{x^2} =
\begin{cases}
-\frac{1}{x} + C_1, &x < 0 \\
-\frac{1}{x} + C_2, &x > 0
\end{cases}$$

Ага, есть такой бздык. Он тут некоторое время назад довольно бурно обсуждался. Скажем, Ильин и Позняк на мехмат МГУ ни за что и ни в жисть не поступили бы.

А вот Кудрявцев -- тот да, тот поступил бы. Он в своём учебнике буквально так и пишет. Не замечая, что подобное уточнение с точки зрения логики абсолютно бессмысленно. Поскольку такая запись в точности эквивалентна записи $$
\int \frac{dx}{x^2} =
\begin{cases}
-\frac{1}{x} + C, &x < 0 \\
-\frac{1}{x} + C, &x > 0
\end{cases}$$

 
 
 
 Re: Рывны ли выражения друг другу
Сообщение07.03.2010, 20:29 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Покажите мне хотя бы одно применение формулы Кудрявцева с одинаковыми или разными константами.
Я считаю, что $\int \frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{x}+C$ на любом промежутке, не содержащем $0$.

 
 
 
 Re: Рывны ли выражения друг другу
Сообщение07.03.2010, 20:33 

(Оффтоп)

bot в сообщении #295667 писал(а):
Покажите мне хотя бы одно применение формулы Кудрявцева с одинаковыми или разными константами.
Я считаю, что $\int \frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{x}+C$ на любом промежутке, не содержащем $0$.

Кудрявцев, между прочим, тоже так считает, и даже прямым текстом это говорит. Но плюс к тому зачем-то ещё и выпендривается.

 
 
 
 Re: Рывны ли выражения друг другу
Сообщение07.03.2010, 20:43 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #295645 писал(а):
А вот Кудрявцев -- тот да, тот поступил бы. Он в своём учебнике буквально так и пишет. Не замечая, что подобное уточнение с точки зрения логики абсолютно бессмысленно. Поскольку такая запись в точности эквивалентна записи $$
\int \frac{dx}{x^2} =
\begin{cases}
-\frac{1}{x} + C, &x < 0 \\
-\frac{1}{x} + C, &x > 0
\end{cases}$$

А вот это, кстати, интересный вопрос, одинаковые константы $C$ в обоих строчках или разные.

Кванторов по $C$ вроде никаких не стоит (а так же нет интегрирования, суммирования и т. п. по $C$), так что ни о каких связанных вхождениях и областях действия говорить не приходится. Получается, что $C$ --- свободная переменная. Так что правило простое: если две строчки справа от фигурной скобки --- две части одной и той же формулы, то константа одинаковая, а если две разных формулы, то разная. Формула, как мне кажется, одна и та же, так что и константа одна. Чтобы константы могли принимать разные значения, надо их обозначать разными символами :)

А вообще я плохо понимаю, что такое неопределённый интеграл и что означает запись
$$
\int f(x)\, dx = F(x) + C
$$
Ну, ясно, что правая часть указывает на семейство функций. Но говорить о том, что неопределённый интеграл есть множество функций тоже не совсем корректно, иначе бы было
$$
\int f(x)\, dx = \{ F(x) + C : C \in \mathbb{R} \}
$$
А что тогда? Я в недоумении :cry: С формальной точки зрения запись просто не верна: левая часть равенства от $C$ не зависит (оно там вообще нигде не фигурирует), а правая зависит (при разных $C$ получаются разные функции), ergo равенство ложно, что бы оно ни выражало!

 
 
 
 Re: Рывны ли выражения друг другу
Сообщение07.03.2010, 22:09 

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #295673 писал(а):
Но говорить о том, что неопределённый интеграл есть множество функций тоже не совсем корректно, иначе бы было
$$
\int f(x)\, dx = \{ F(x) + C : C \in \mathbb{R} \}
$$
А что тогда? Я в недоумении :cry: С формальной точки зрения запись просто не верна: левая часть равенства от $C$ не зависит (оно там вообще нигде не фигурирует), а правая зависит (при разных $C$ получаются разные функции), ergo

Я просто балдею. Это ж просто общепринятая договорённость (что $\int f(x)\, dx = F(x) + C$ и $\int f(x)\, dx = \{ F(x) + C : C \in \mathbb{R} \}$ -- суть одно и то же по умолчанию; первое -- это просто сокращённая запись второго), и уж этот-то момент во всех курсах, даже и в кудрявцеве, все аффтары вполне аккуратно оговаривают.

Соответственно:

Профессор Снэйп в сообщении #295673 писал(а):
А вот это, кстати, интересный вопрос, одинаковые константы $C$ в обоих строчках или разные.

Кванторов по $C$ вроде никаких не стоит

Вот как раз и стоят. Причём утверждения в каждой строчке -- независимы друг от друга. Т.е. те самые константы относительно своих строчек -- суть переменные внутренние. И обозначать их разными букафками -- как минимум нелепо.

Тот же тов. Кудрявцев вполне резонно заметил:

Цитата:
Само собой разумеется, что если знаменатель подынтегральной функции обращается в нуль в некоторой точке, то написанные формулы будут справедливы лишь для тех промежутков, в которых не происходит обращения в нуль указанного знаменателя...

Вот этим бы ему и ограничиться, а не наводить тень на плетень.

Для сравнения. Попробуйте выписать (со всеми константами) общее решение дифуравнения типа $y'=-{x\over y}$, ну или там, скажем, $y'=|y|$. И посмотрите на реакцию окружающих, когда Вы попытаетесь сделать это по-кудрявцевски.

Да бог с ним, с Кудрявцевым. В конце концов, у него-то это не более чем стилистическая небрежность. Но вот когда специалисты по гноблению детишек воспринимают сию небрежность как руководство к действию (тем более в МГУ) -- это уже несколько огорчает.

 
 
 [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group