Рывны ли выражения друг другу

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

arqady в сообщении #295630 писал(а):

В своё время, при поступлении на московский мех-мат на устном экзамене давали такую задачу:
Найти $\int\frac{1}{x^2}dx$ и, когда счастливый школьник давал ответ $\int\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C$, его отпускали с двойкой, приговаривая при этом: кааак Вы не знаете, что такое неопределённый интеграл??? О каком мех-мате может идти речь? Подучите и приходите через год.

Мама мия, а здесь-то что неправильно? Я, похоже, тоже не знаю, что такое неопределённый интеграл

Может, имелось в виду что-нибудь вроде

$$ \int \frac{dx}{x^2} = \begin{cases} -\frac{1}{x} + C_1, &x < 0 \\ -\frac{1}{x} + C_2, &x > 0 \end{cases}$$

Единственная подковырка, которая в голову приходит.

[ewert]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #295634 писал(а):

Мама мия, а здесь-то что неправильно? Я, похоже, тоже не знаю, что такое неопределённый интеграл

Может, имелось в виду что-нибудь вроде

$$ \int \frac{dx}{x^2} = \begin{cases} -\frac{1}{x} + C_1, &x < 0 \\ -\frac{1}{x} + C_2, &x > 0 \end{cases}$$

Ага, есть такой бздык. Он тут некоторое время назад довольно бурно обсуждался. Скажем, Ильин и Позняк на мехмат МГУ ни за что и ни в жисть не поступили бы.

А вот Кудрявцев -- тот да, тот поступил бы. Он в своём учебнике буквально так и пишет. Не замечая, что подобное уточнение с точки зрения логики абсолютно бессмысленно. Поскольку такая запись в точности эквивалентна записи

$$ \int \frac{dx}{x^2} = \begin{cases} -\frac{1}{x} + C, &x < 0 \\ -\frac{1}{x} + C, &x > 0 \end{cases}$$

[bot]

(Оффтоп)

Покажите мне хотя бы одно применение формулы Кудрявцева с одинаковыми или разными константами.
Я считаю, что $\int \frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{x}+C$ на любом промежутке, не содержащем $0$.

[ewert]

(Оффтоп)

bot в сообщении #295667 писал(а):

Покажите мне хотя бы одно применение формулы Кудрявцева с одинаковыми или разными константами.
Я считаю, что $\int \frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{x}+C$ на любом промежутке, не содержащем $0$.

Кудрявцев, между прочим, тоже так считает, и даже прямым текстом это говорит. Но плюс к тому зачем-то ещё и выпендривается.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #295645 писал(а):

А вот Кудрявцев -- тот да, тот поступил бы. Он в своём учебнике буквально так и пишет. Не замечая, что подобное уточнение с точки зрения логики абсолютно бессмысленно. Поскольку такая запись в точности эквивалентна записи

$$ \int \frac{dx}{x^2} = \begin{cases} -\frac{1}{x} + C, &x < 0 \\ -\frac{1}{x} + C, &x > 0 \end{cases}$$

А вот это, кстати, интересный вопрос, одинаковые константы $C$ в обоих строчках или разные.

Кванторов по $C$ вроде никаких не стоит (а так же нет интегрирования, суммирования и т. п. по $C$), так что ни о каких связанных вхождениях и областях действия говорить не приходится. Получается, что $C$ --- свободная переменная. Так что правило простое: если две строчки справа от фигурной скобки --- две части одной и той же формулы, то константа одинаковая, а если две разных формулы, то разная. Формула, как мне кажется, одна и та же, так что и константа одна. Чтобы константы могли принимать разные значения, надо их обозначать разными символами

А вообще я плохо понимаю, что такое неопределённый интеграл и что означает запись

$$ \int f(x)\, dx = F(x) + C $$

Ну, ясно, что правая часть указывает на семейство функций. Но говорить о том, что неопределённый интеграл есть множество функций тоже не совсем корректно, иначе бы было

$$ \int f(x)\, dx = \{ F(x) + C : C \in \mathbb{R} \} $$

А что тогда? Я в недоумении С формальной точки зрения запись просто не верна: левая часть равенства от $C$ не зависит (оно там вообще нигде не фигурирует), а правая зависит (при разных $C$ получаются разные функции), ergo равенство ложно, что бы оно ни выражало!

[ewert]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #295673 писал(а):

Но говорить о том, что неопределённый интеграл есть множество функций тоже не совсем корректно, иначе бы было

$$ \int f(x)\, dx = \{ F(x) + C : C \in \mathbb{R} \} $$

А что тогда? Я в недоумении С формальной точки зрения запись просто не верна: левая часть равенства от $C$ не зависит (оно там вообще нигде не фигурирует), а правая зависит (при разных $C$ получаются разные функции), ergo

Я просто балдею. Это ж просто общепринятая договорённость (что $\int f(x)\, dx = F(x) + C$ и $\int f(x)\, dx = \{ F(x) + C : C \in \mathbb{R} \}$ -- суть одно и то же по умолчанию; первое -- это просто сокращённая запись второго), и уж этот-то момент во всех курсах, даже и в кудрявцеве, все аффтары вполне аккуратно оговаривают.

Соответственно:

Профессор Снэйп в сообщении #295673 писал(а):

А вот это, кстати, интересный вопрос, одинаковые константы $C$ в обоих строчках или разные.

Кванторов по $C$ вроде никаких не стоит

Вот как раз и стоят. Причём утверждения в каждой строчке -- независимы друг от друга. Т.е. те самые константы относительно своих строчек -- суть переменные внутренние. И обозначать их разными букафками -- как минимум нелепо.

Тот же тов. Кудрявцев вполне резонно заметил:

Цитата:

Само собой разумеется, что если знаменатель подынтегральной функции обращается в нуль в некоторой точке, то написанные формулы будут справедливы лишь для тех промежутков, в которых не происходит обращения в нуль указанного знаменателя...

Вот этим бы ему и ограничиться, а не наводить тень на плетень.

Для сравнения. Попробуйте выписать (со всеми константами) общее решение дифуравнения типа $y'=-{x\over y}$, ну или там, скажем, $y'=|y|$. И посмотрите на реакцию окружающих, когда Вы попытаетесь сделать это по-кудрявцевски.

Да бог с ним, с Кудрявцевым. В конце концов, у него-то это не более чем стилистическая небрежность. Но вот когда специалисты по гноблению детишек воспринимают сию небрежность как руководство к действию (тем более в МГУ) -- это уже несколько огорчает.