Пределы последовательностей (вопросы на понимание)

[Highwind]

Одинадцатиклассник? Ну тогда учите матчасть. Вам как раз пригодится та книжка, на которую я вас послал. ИМХО, жестокая вещь в 11 классе... но зато весело.

О, да формула существует!

$$\lim_{n\to \infty}x_n. $$

[Sasha2]

Цитата:

Спасибо, но есть одна проблема... Я вообще не знаю, что такое логарифмы.( Но буду рад изучить их. Не могли бы Вы дать ссылки на наиболее подходящую, с вашей точки зрения, литературу?

Нет ну надо сперва, конечно выучить логарифмы, а потом уже браться за пределы.
А так, Вы с таким же успехом можете пытаться решать и дифференциальные уравнения.

[e2e4]

Highwind писал(а):

В остальных случаях предел бесконечность. Так шо "предел не существует", это было сильно сказано

.
Прошу прощения за неправильное высказывание. "предел несуществует" и "предел равен +(-)бесконечности" - это совсем не одно и то же.

Подитожу для порядку:
Предел существует для всех a, и равен:
1. Плюс бесконечности в случае а>=1;
2. 1/(1-а), когда |a|<1 как справедливо решил Руст;
3. Нулю в случае a = -1;
4. Минус бесконечности в случае a<-1.

Цитата:

Нет ну надо сперва, конечно выучить логарифмы, а потом уже браться за пределы.
А так, Вы с таким же успехом можете пытаться решать и дифференциальные уравнения.

Насколько я помню, в школе с пределами встречаются раньше логарифмов - когда изучают понятие производной. Но, к сожалению, школьные учителя либо касаются этой темы формально, либо, не касаются вообще. Не вижу никаких препятствий к изучению пределов без изучения логарифмов...

[Highwind]

e2e4 писал(а):

Насколько я помню, в школе с пределами встречаются раньше логарифмов - когда изучают понятие производной. Но, к сожалению, школьные учителя либо касаются этой темы формально, либо, не касаются вообще. Не вижу никаких препятствий к изучению пределов без изучения логарифмов...

Аналогично. Хотя ИМХО, в обычной школе вообще не нужно проходить ни пределы, ни производные. Если ничего не доказывать, то какая же это, к черту, математика? Лучше уж на элементарной теории чисел посидеть.

[Sasha2]

e2e4 писал(а):

Highwind писал(а):

В остальных случаях предел бесконечность. Так шо "предел не существует", это было сильно сказано

.
Прошу прощения за неправильное высказывание. "предел несуществует" и "предел равен +(-)бесконечности" - это совсем не одно и то же.

Подитожу для порядку:
Предел существует для всех a, и равен:
1. Плюс бесконечности в случае а>=1;
2. 1/(1-а), когда |a|<1 как справедливо решил Руст;
3. Нулю в случае a = -1;
4. Минус бесконечности в случае a<-1.

Цитата:

Нет ну надо сперва, конечно выучить логарифмы, а потом уже браться за пределы.
А так, Вы с таким же успехом можете пытаться решать и дифференциальные уравнения.

Насколько я помню, в школе с пределами встречаются раньше логарифмов - когда изучают понятие производной. Но, к сожалению, школьные учителя либо касаются этой темы формально, либо, не касаются вообще. Не вижу никаких препятствий к изучению пределов без изучения логарифмов...

Видите ли уважаемый, это все верно, но в основе Ваших всех выводов о значении предела данного бесконечного произведения лежит один факт, Вами не упоминаемые, но пордразумеваемый, а именно непрерывность показательной и логарифмической функций.

[Highwind]

Sasha2 писал(а):

Видите ли уважаемый, это все верно, но в основе Ваших всех выводов о значении предела данного бесконечного произведения лежит один факт, Вами не упоминаемые, но пордразумеваемый, а именно непрерывность показательной и логарифмической функций.

А причем тут непрерывность показательной и логарифмической функции? К ряду-то это дело никто не сводит.

[Sasha2]

Highwind писал(а):

Sasha2 писал(а):

Видите ли уважаемый, это все верно, но в основе Ваших всех выводов о значении предела данного бесконечного произведения лежит один факт, Вами не упоминаемые, но пордразумеваемый, а именно непрерывность показательной и логарифмической функций.

А причем тут непрерывность показательной и логарифмической функции? К ряду-то это дело никто не сводит.

Без логарифмов это я объяснить не могу.

[Highwind]

Sasha2 писал(а):

Без логарифмов это я объяснить не могу.

Вы лично не можете объяснить? Или для того, чтобы мне объяснить, вы должны использовать логарифмы? Если случай №2, то уж логарифмы-то я знаю

Ежели вы хотите мне впарить критерий абсолютной сходимости для бесконечного произведения, который доказывается с помощью логарифмов, то к энтому делу он не имеет никакого отношения.

[bot]

e2e4 писал(а):

Не вижу никаких препятствий к изучению пределов без изучения логарифмов...

Тем более что без пределов не определишь удовлетворительным образом ни показательную функцию, ни логарифм.

[Руст]

Помню в школе изучали логарифмы и показательные функции безо всяких пределов.

[Bobris]

To all, это не школьные задания. Повторяю, я поступил на 4 курс заочной школы МГУ, для того чтобы изучать математику. Эти же задания даны с расчетом на то, что я буду пользоваться дополнительной литературой или помощью учителей.) Но учителя либо не хотят решать, либо вообще не могут решить данные задачи. Решил обратиться к Мехматовцам. Кому, как не им, в этом здорово разбираться?:))

[незваный гость]

Руст писал(а):

Помню в школе изучали логарифмы и показательные функции безо всяких пределов.

Изучать в школе — запросто, доказать существование $\log 2$ — затруднительно. Школьная математика вообще склонна проходить мимо многих тонких моментов

[Bobris]

Если можно, ещё вопрос. Похожая на предыдущую последовательность $x_n=(1-\frac 1 4)(1-\frac 1 9)(1-\frac 1 {16})...(1-\frac 1 {(n+1)^2})$. Тоже нужно найти предел. Очевидно, что

$$\lim_{n\to \infty}x_n=0$$

. Но как можно это вычислить с помощью формулы (или ещё чего-нибудь)? Я просто проследил, как ведет себя последовательность.

[e2e4]

Bobris писал(а):

Если можно, ещё вопрос. Похожая на предыдущую последовательность $x_n=(1-\frac 1 4)(1-\frac 1 9)(1-\frac 1 {16})...(1-\frac 1 {(n+1)^2})$. Тоже нужно найти предел. Очевидно, что

$$\lim_{n\to \infty}x_n=0$$

. Но как можно это вычислить с помощью формулы (или ещё чего-нибудь)? Я просто проследил, как ведет себя последовательность.

И вовсе не очевидно.
Вообще-то, при нахождении пределов общих формул и правил не существует. Существуют некие приемы, иногда позволяющие, при творческом подходе к решению, взять предел.

[Bobris]

e2e4, я, кстати, пробовал вчерашний метод Руст'а, так, может пройдет. А нет - получается, что

$$\lim_{n\to \infty}x_n=\frac 4 5$$

. А последовательность убывает. И почему Вы считаете, что не 0 предел данной последовательности? Я проследил, как она себя ведет. Она уменьшается: начинает с 0,75, затем 0,6, затем 0,56 и т.д.