Пределы последовательностей (вопросы на понимание)

[e2e4]

Метод Руста состоял в домножении произведения на такой множитель, чтобы он вместе с (1+a) давал бы формулу разности квадратов. После применения формулы, получалось, что разность квадратов уже можно применить ко второму члену произведения и т.д. В результате получалось следующее выражение:
$\frac{1-a^4^n}{1-a}$, а при стремлении n к бесконечности, в случае |a|<1 слагаемое $a^4^n$ является бесконечно малым, и выражение приобретало вид 1/(1-a).
В данной задаче я не вижу, как можно применить этот метод. Но вам, когда вы немного поработаете с пределами, станет ясно, что даже если первые несколько членов "хорошо так" убывают, это вовсе не означает, что предел этой последовательности будет равен нулю. Банальные вычисления в екселе натолкнули меня на мысль, что данный предел равен 0,5. Логарифмировав ваше произведение, получается следующее:
$ln(x_n) = ln(x_n_-_1) + ln(1+\frac{1}{n+1}) + ln(1-\frac{1}{n+1})$, видно, что при стремлении n к бесконечности подлогарифмические выражения стремятся к 1, а сам логарифм ессесно к 0. Дальше я не придумал что делать, ждем Руста

[Руст]

Это тоже тривиальный пример $(1-\frac{1}{k^2})=\frac{k+1}{k}\frac{k-1}{k}, поэтому произведение таких членов даст

$$\prod_{k=2}^n (1-\frac{1}{k^2})=\frac{n+1}{2}\frac{1}{n}=\frac{n+1}{2n},$$

т.е. предел равен 1/2.

[Bobris]

Добрый вечер! Снова проблема... Докажите, что число 1 не является пределом последовательности $x_n=(-1)^n+n^{-1}$. Если я не ошибаюсь, данную последовательность можно переписать так:
$x_n=(-1)^n+\frac 1 n$. Тогда получим $$\lim_{n\to \infty}x_n=\lim_{n\to \infty}(-1)^n+\lim_{n\to \infty}\frac 1 n$. Очевидно, что

$$\lim_{n\to \infty}\frac 1 n=0$$

. Остается

$$\lim_{n\to \infty}(-1)^n$$

. Предельные точки: -1, 1, как ни крути. А ведь доказать надо, что 1 не является пределом данной последовательности. Или же все верно: не только 1 - предел данной последовательности.

[Highwind]

Bobris писал(а):

Добрый вечер! Снова проблема... Докажите, что число 1 не является пределом последовательности $x_n=(-1)^n+n^{-1}$. Если я не ошибаюсь, данную последовательность можно переписать так:
$x_n=(-1)^n+\frac 1 n$. Тогда получим $$\lim_{n\to \infty}x_n=\lim_{n\to \infty}(-1)^n+\lim_{n\to \infty}\frac 1 n$. Очевидно, что

$$\lim_{n\to \infty}\frac 1 n=0$$

. Остается

$$\lim_{n\to \infty}(-1)^n$$

. Предельные точки: -1, 1, как ни крути. А ведь доказать надо, что 1 не является пределом данной последовательности. Или же все верно: не только 1 - предел данной последовательности.

$$\lim_{n\to \infty}(-1)^n$$

? А у энтой последовательности вообще нет предела. Не существует. Поэтому и число 1 не является пределом последовательности.

Вы енто определение рубите:

\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } x_n = a\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\forall \,\varepsilon > 0\,\,\,\,\exists N(\varepsilon )\,\,|\,\,\,\forall n \geqslant N\,\,\,\,\left| {x_n - a} \right| < \varepsilon \]

[Bobris]

Highwind, а, ну тогда это предельные точки. Вводишь в любую четную степень - получаешь $1$, в нечетную -
$-1$.
[EDIT]: Значит, все правильно?:)) Спасибо!:))

[Highwind]

Bobris писал(а):

Значит, все правильно?)

Bobris, ну в том плане, что не является, все правильно.

Вы еще не курили Харди?

[Bobris]

Highwind,

Цитата:

Вы еще не курили Харди?

Курим. Скачал, сегодня первую главу распечатал. Изучаю.) Также логарифмы по Выгодскому смотрю.)

[Highwind]

Bobris писал(а):

Highwind,

Цитата:

Вы еще не курили Харди?

Курим. Скачал, сегодня первую главу распечатал. Изучаю.) Также логарифмы по Выгодскому смотрю.)

Это та, шо про действительные переменные? Ну чтож, пользительно

[Bobris]

Highwind,

Цитата:

Это та, шо про действительные переменные?

Да, именно она. Ещё раз спасибо за литературу и за помощь. Грызу гранит науки, времени терять нельзя.)

[Bobris]

Найти предел:

$$\lim_{n\to \infty}\frac{n^2+3n-2}{1+2+3+...n}$$

Не знаю, как найти предел. Числитель не сворачивается, со знаменателем тоже проблема. По формуле суммы геометрической прогрессии

$$S_n=\frac{1-2^n}{1-2}=2^n-1$$

. А что сделать с числителем? Пробовал разделить числитель на n^2, а преобразованный знаменатель - на 2^n, тогда предел равен 2. Но проверял - последовательность растет, начиная от 2. Я вообще не очень уверен, что ряд, который в знаменателе, сходится...

[Highwind]

Ноль был бы этот предел. Показательная функция растет быстрее полинома. Но у вас тут непонятно откуда она вылезла.

p.s. Если бы ряд сходился, то тогда предел был бы бесконечность. А енто арифметическая прогрессия, она не сходится никуда, у нее член растет, как говорилось в анекдоте. Хотя кое-что мне подсказывает, шо вы сумму ее не так посчитали.

Сходится - это значит имеет конечную сумму.

[MMyaf]

$$\lim_{n\to \infty}\frac{n^2+3n-2}{1+2+3+...n}$$

В знаменателе арифметическая прогрессия.

$$\lim_{n\to \infty}\frac{n^2+3n-2}{\frac{(n+1)*n}{2}}$$

. Делим числитель и знаменатель на $n^2$.
Получаем

$$\lim_{n\to \infty}\frac{1+\frac{3}{n}-\frac{2}{n^2}}{\frac{1+\frac{1}{n}}{2}}$$

. А дальше сам.

[Bobris]

Highwind, да, я тоже чувствую, что что-то не так посчитал... Слишком стремительно увеличивается эта показательная функция, а ряд медленнее возрастает.
MMyaf, спасибо! Но дальше сам смотрю - опять 2 получается. Там все функции дробно-линейные и стремятся к нулю, остается отношение 2/1=2.

[Highwind]

А шо удивительного? Ну 2 и 2. А то, шо вы вместо суммы арифметической, использовали сумму геометрической прогрессии, енто ужо понятно. Кстати, там не все функции дробно-линейные. Как же $2/n^2$?

[Bobris]

Highwind, а там даже не $\frac 2 {n^2}$, а $\frac 4 {n^2}$ (ещё 2 в знаменателе). Сейчас построил график данной функции - помню, что я с похожей уже встречался. А как её можно обозвать?:)
P. S. Но вроде суть дела это не меняет - все равно ведь её предел равен 0.