Функция, непрерывная в рац. точках и разрывная в иррациональ

[Someone]

LynxGAV писал(а):

Ecли Вы не уверены, а я спрашиваю, то нужен кто-то третий. Может Someone поможет..

Это не отсебятина. Фактически от такого "определения" мы начали плясать в курсе "Относительности и космологии". Начали с тензоров в n-мерном пространстве, определенных на (дифференциальных) многообразиях.
Понятно, в одном курсе не вместить диф. геом., топологию, общую относительность, космологию и гравитацию и многое нам не досказали, но все же, что это такое. Пойду ругаться =)))

"Кто-нибудь" поможет... Вообще, $n$-мерным (топологическим) многообразием называется линейно связное топологическое пространство, каждая точка которого имеет открытую окрестность, гомеоморфную открытому шару пространства $\mathbb R^n$. Многообразие с краем определяется аналогично, но у части точек окрестность может быть гомеоморфна полушару (граница, отделяющая одну половину шара от другой, включается). Я дальше буду говорить о многообразии без края. Как модифицировать это для многообразия с краем - сообразите сами. Обычно также предполагается, что многообразие метризуемо и сепарабельно (последнее означает, что в многообразии существует счётное всюду плотное множество; я не помню, какое соотношение между метризуемостью и сепарабельностью для топологических многообразий). Однако существуют несепарабельные и неметризуемые топологические многообразия.

Пусть $M$ - $n$-мерное многообразие. Открытое множество $U\subseteq M$ вместе с гомеоморфизмом $\varphi_U\colon U\to B_U$ на шар $B_U\subseteq R^n$ называется картой. Поскольку в $\mathbb R^n$ есть координаты, гомеоморфизм $\varphi_U$ позволяет перенести эти координаты в множество $U$. Набор карт, покрывающий всё многообразие, называется атласом.

Пусть есть две карты $(U,\varphi_U\colon U\to B_U)$ и $(V,\varphi_V\colon V\to B_V)$, и пусть $W=U\cap V\ne\Lambda$. Тогда $U_{\varphi}=\varphi_U W$ и $V_{\varphi}=\varphi_V W$ есть открытые подмножества пространства $\mathbb R^n$, и можно определить гомеоморфизм $\psi_{UV}\colon U_{\varphi}\to V_{\varphi}$ формулой $\psi_{UV}\vec x=\varphi_V\varphi_U^{-1}\vec x$ для всех $\vec x\in U_{\varphi}$. Заметим, что $\psi_{UV}$ и $\psi_{VU}$ - взаимно обратные гомеоморфизмы. Эти гомеоморфизмы определяют пересчёт координат от одной карты к другой (на их общей части).

Если у нас есть атлас, то такие гомеоморфизмы определены для всех пар карт с непустыми пересечениями. Для топологического многообразия никакой гладкости этих гомеоморфизмов не предполагается. Если все переходные гомеоморфизмы $m$ раз дифференцируемы, то многообразие называется $m$ раз дифференцируемым.

В разной литературе могут быть всякие нюансы в определениях, но смысл в этом. Кроме того, с многообразиями связано большое число всяких понятий. Читайте литературу.

[LynxGAV]

To dm.

Спасибо, конечно, за ссылки, но я до того, как задать вопрос, сама консультировалась у "Э. Вейштейна". А в Википедии есть "Словарь терминов общей топологии".

To Someone.

У Вас дар к преподаванию. Большое спасибо. Но не все так печально и врать я не буду, карты и атласы нам давали. И все было бы не так плохо, если бы с общего формализма мы резко не перескочили на вот то "определение", дабы не усложнять задачу. Обычный тензорный анализ. Но я честно верила, что большего нам не надо.

Топология встречалась в частности в релятивистской космологии, например, при рассмотрении геометрии трехмерного пространства постоянной кривизны. Там и подавно не надо было особого ума иметь, чтобы представить цилиндрическую топологию простанства-времени $\mathbb{R}\times{S}^3$ (где $\mathbb{R}$ представляет одномерное космическое время; случай k=+1). Как и то, что радиальные геодезические линии замыкаются.

Цитата:

В разной литературе могут быть всякие нюансы в определениях, но смысл в этом. Кроме того, с многообразиями связано большое число всяких понятий. Читайте литературу.

Cразу чувствуется тон преподавателя.

Когда же мне захотелось больше "почитать" по топологии, в библиотеке я обнаружила два огромных стеллажа с "монографо-учебниками" (диф. геом., топология, гравитация,...все в куче). И подумала, что высказались по этому поводу все кому не лень... И если "в средине" книги я находила то, что мне "подходило" для подготовки к предмету, то была непринятна терминология. А как-то читать еще две главы, чтобы разобраться что к чему, не было времени. Или переводить это все на тот язык, которым нам объясняли. Причем система обозначений менялась от книги к книге...

И к счастью или несчастью, сейчас меня топология никаким боком не касается.

[Гость]

Someone писал(а):

Freez[e] писал(а):

Коротко но есть непонятные моменты...
разъясните неродивому перваку
1) почему все точки х и у должны удовлетворять |f(x)-f(y)|<1/n ??
2) если можно дайте док-во для иррациональных чисел, сто они не образуют множества перыой категории

1) Прежде всего, я нигде не говорил, что все точки $x$ и $y$ удовлетворяют этому неравенству. Я говорил об объединении интервалов, все точки которых удовлетворяют этому неравенству. Такие интервалы существуют всегда, когда функция имеет точки непрерывности. Если $x_0\in\mathbb{R}$ - точка непрерывности функции $f(x)$, то, по определению, для любого $n\in\mathbb{N}$ существует такое число $\delta>0$, что для всех $x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$ выполняется неравенство $|f(x)-f(x_0)|<\frac{1}{2n}$. Тогда для любых x,y\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$ получаем

$$|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(x_0)+f(x_0)-f(y)|$$

$$\leqslant|f(x)-f(x_0)|+|f(y)-f(x_0)|<\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}=\frac{1}{n}$$

,
откуда следует, что интервал $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ содержится в нашем множестве $U_n$ вместе с точкой непрерывности $x_0$. Так как мы предположили, что функция $f(x)$ непрерывна во всех рациональных точках, отсюда следует, что открытое (как объединение интервалов) множество $U_n$ содержит все рациональные точки и, следовательно, всюду плотно на числовой прямой, а его дополнение $F_n=\mathbb{R}\setminus U_n$ замкнуто и нигде не плотно.

2) Пусть нам задана последовательность нигде не плотных множеств $F_n\subseteq\mathbb{R}$, $n\in\mathbb{N}$. Нужно доказать, что множество иррациональных чисел не содержится в $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}F_n$. Напротив, заранее будем предполагать, что множество рациональных чисел содержится в этом объединении. Если это вдруг не так, то перечислим все рациональные числа в виде последовательности $\{r_n:n\in\mathbb{N}\}$ (надеюсь, Вы знаете, как это сделать) и заменим каждое из множеств $F_n$ множеством $F_n\cup\{r_n\}$; при этом все наши множества останутся нигде не плотными.
Так как множество $F_1$ нигде не плотно, существует отрезок $[a_1,b_1]\subseteq\mathbb{R}\setminus F_1$, длина которого удовлетворяет неравенству $0<b_1-a_1\leqslant 1$.
Предположим, что для некоторого $n\in\mathbb{N}$ уже построен отрезок $[a_n,b_n]\subseteq\mathbb{R}\setminus F_n$, длина которого удовлетворяет неравенству $0<b_n-a_n\leqslant\frac{1}{n}$.
Так как множество $F_{n+1}\cap(a_n,b_n)$ нигде не плотно, существует отрезок $[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq[a_n,b_n]\setminus F_{n+1}$, длина которого удовлетворяет неравенству $0<b_{n+1}-a_{n+1}\leqslant\frac{1}{n+1}$, и мы можем продолжать построение неограниченно.
Кроме перечисленных свойств, наше построение обеспечивает выполнение условия
$$[a_1,b_1]\supseteq[a_2,b_2]\supseteq[a_3,b_3]\supseteq\ldots\supseteq[a_n,b_n]\supseteq\ldots$.
По теореме о стягивающейся последовательности отрезков (надеюсь, Вы её помните), существует единственная точка $q_0\in\mathbb{R}$, принадлежащая всем отрезкам $[a_n,b_n]$, $n\in\mathbb{N}$. Точка $q_0$, по построению, не принадлежит $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}F_n$ и, в частности, не является рациональным числом.
Таким образом, множество иррациональных чисел не содержится в $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}F_n$ и, следовательно, не является множеством первой категории.

Как я понял второй пункт доказывается методом мат. индукции верно?
И вообще обясните что мы сдесь доказываем.

[Гость]

А как доказать что если множество открыто и всюду плотно то его дополнение замкнуто и нигде не плотно!

меня интересует доказательство доказательство что если множество всюду плотно то его дополнение нигде не плотно.

[Someone]

Anonymous писал(а):

Someone писал(а):

Freez[e] писал(а):

Коротко но есть непонятные моменты...
разъясните неродивому перваку
1) почему все точки х и у должны удовлетворять |f(x)-f(y)|<1/n ??
2) если можно дайте док-во для иррациональных чисел, сто они не образуют множества перыой категории

1) ...
2) ...

Как я понял второй пункт доказывается методом мат. индукции верно?
И вообще обясните что мы сдесь доказываем.

Как это - что? Что спрашивали. В первом пункте разъясняется, что вовсе не все точки $x$, $y$ удовлетворяют данному неравенству, а только точки, принадлежащие некоторым интервалам. Причём, если функция непрерывна в некоторой точке, то обязательно найдётся такой интервал, содержащий эту точку. А во втором - что множество иррациональных точек числовой прямой не является множеством первой категории, то есть, не является объединением счётного семейства нигде не плотных множеств. Здесь с помощью индукции определяются отрезки $[a_n,b_n]$, $n\in\mathbb N$. То есть, здесь не доказательство по индукции, а построение по индукции.

[Someone]

Anonymous писал(а):

А как доказать что если множество открыто и всюду плотно то его дополнение замкнуто и нигде не плотно!

По определению.

Anonymous писал(а):

меня интересует доказательство доказательство что если множество всюду плотно то его дополнение нигде не плотно.

А это просто неверно, так что и доказывать нечего. Пример - множество рациональных чисел на числовой прямой всюду плотно, а его дополнение - множество иррациональных чисел - тоже всюду плотно.

[Гость]

Someone писал(а):

Anonymous писал(а):

А как доказать что если множество открыто и всюду плотно то его дополнение замкнуто и нигде не плотно!

По определению.

Anonymous писал(а):

меня интересует доказательство доказательство что если множество всюду плотно то его дополнение нигде не плотно.

А это просто неверно, так что и доказывать нечего. Пример - множество рациональных чисел на числовой прямой всюду плотно, а его дополнение - множество иррациональных чисел - тоже всюду плотно.

А как это по определинию? Разве есть такое определение? Ну-ка расскажи а...

[Гость]

А когда мы доказывали что множество иррациональных точек не явл. множ. первой по Бэру категории, сначала писали (Напротив заранее будем предпологать, что множество рац. чисел сод. в этом множ...)! дак вот можно это не писать? Или это объязательно?

А можно этот пункт по-подробней написать? Пожалуйста!!!!!!!!!!
За ранее длагодарен!!!

[PUZATIK]

А можно данную задачку по другому доказать, или это единственное докозательство?
Если можно то пожалуйста напишите как.

[Someone]

Anonymous писал(а):

А как это по определинию? Разве есть такое определение? Ну-ка расскажи а...

Рассказывал уже. И литературу указывал. Так что читайте и думайте.

[Someone]

Anonymous писал(а):

А когда мы доказывали что множество иррациональных точек не явл. множ. первой по Бэру категории, сначала писали (Напротив заранее будем предпологать, что множество рац. чисел сод. в этом множ...)! дак вот можно это не писать? Или это объязательно?

А можно этот пункт по-подробней написать? Пожалуйста!!!!!!!!!!
За ранее длагодарен!!!

Нам же нужно найти ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ число, не содержащееся в $\bigcup_{n\in\mathbb N}F_n$. Простейший способ обеспечить, чтобы $q_0\in\bigcap_{n\in\mathbb N}[a_n,b_n]$ было иррациональным, состоит в том, чтобы заранее исключить все рациональные числа, присоединив их к $\bigcup_{n\in\mathbb N}F_n$.

[Chuvak]

Someone писал(а):

2) Пусть нам задана последовательность нигде не плотных множеств $F_n\subseteq\mathbb{R}$, $n\in\mathbb{N}$. Нужно доказать, что множество иррациональных чисел не содержится в $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}F_n$. Напротив, заранее будем предполагать, что множество рациональных чисел содержится в этом объединении. Если это вдруг не так, то перечислим все рациональные числа в виде последовательности $\{r_n:n\in\mathbb{N}\}$ (надеюсь, Вы знаете, как это сделать) и заменим каждое из множеств $F_n$ множеством $F_n\cup\{r_n\}$; при этом все наши множества останутся нигде не плотными.
Так как множество $F_1$ нигде не плотно, существует отрезок $[a_1,b_1]\subseteq\mathbb{R}\setminus F_1$, длина которого удовлетворяет неравенству $0<b_1-a_1\leqslant 1$.
Предположим, что для некоторого $n\in\mathbb{N}$ уже построен отрезок $[a_n,b_n]\subseteq\mathbb{R}\setminus F_n$, длина которого удовлетворяет неравенству $0<b_n-a_n\leqslant\frac{1}{n}$.
Так как множество $F_{n+1}\cap(a_n,b_n)$ нигде не плотно, существует отрезок $[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq[a_n,b_n]\setminus F_{n+1}$, длина которого удовлетворяет неравенству $0<b_{n+1}-a_{n+1}\leqslant\frac{1}{n+1}$, и мы можем продолжать построение неограниченно.
Кроме перечисленных свойств, наше построение обеспечивает выполнение условия
$$[a_1,b_1]\supseteq[a_2,b_2]\supseteq[a_3,b_3]\supseteq\ldots\supseteq[a_n,b_n]\supseteq\ldots$.
По теореме о стягивающейся последовательности отрезков (надеюсь, Вы её помните), существует единственная точка $q_0\in\mathbb{R}$, принадлежащая всем отрезкам $[a_n,b_n]$, $n\in\mathbb{N}$. Точка $q_0$, по построению, не принадлежит $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}F_n$ и, в частности, не является рациональным числом.
Таким образом, множество иррациональных чисел не содержится в $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}F_n$ и, следовательно, не является множеством первой категории.

1. Объясните пожалуйста, откуда взелись отрезки $[a_1,b_1]\subseteq\mathbb{R}\setminus F_1$? Это следует из определения нигде не плотного множества?

2. И как перечислить все рациональные числа в виде последовательности $\{r_n:n\in\mathbb{N}\}$? Я не знаю!

[Someone]

Chuvak писал(а):

1. Объясните пожалуйста, откуда взелись отрезки $[a_1,b_1]\subseteq\mathbb{R}\setminus F_1$? Это следует из определения нигде не плотного множества?

Определение. Множество $M\subseteq\mathbb R$ называется нигде не плотным в $\mathbb R$, если для каждого интервала $(a,b)\subseteq\mathbb R$ существует интервал $(\alpha,\beta)\subseteq(a,b)\setminus M$.

Теперь поступаем так. Берём, например, интервал $(0,1)$. Поскольку множество $F_1$ нигде не плотно, существует интервал $(\alpha_1,\beta_1)\subseteq(0,1)\setminus F_1$. Положим $a_1=\alpha_1+\frac{\beta_1-\alpha_1}{3}$ и $b_1=a_1+\min\{\frac{\beta_1-\alpha_1}{3},1\}$.

Поскольку множество $F_2$ нигде не плотно, существует интервал $(\alpha_2,\beta_2)\subseteq(a_1,b_1)\setminus F_2$. Положим $a_2=\alpha_2+\frac{\beta_2-\alpha_2}{3}$ и $b_2=a_2+\min\{\frac{\beta_2-\alpha_2}{3},\frac{1}{2}\}$.

И так далее. Кстати, здесь все эти "$\min$" лишние, поскольку при таком способе построения $0<b_1-a_1\leqslant\frac{1}{3}$ и $0<b_{n+1}-a_{n+1}\leqslant\frac{b_n-a_n}{3}$, поэтому $0<b_n-a_n\leqslant\frac{1}{3^n}$

Chuvak писал(а):

2. И как перечислить все рациональные числа в виде последовательности $\{r_n:n\in\mathbb{N}\}$? Я не знаю!

Каждое рациональное число $r$ можно единственным способом записать в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$ (если $r\geqslant 0$) или $-\frac{m}{n}$ (если $r<0$), где $m\geqslant 0$ и $n>0$ - целые числа. Назовём высотой рационального числа $r=\pm\frac{m}{n}$ сумму $h(r)=m+n$.
Заметим, что для каждого целого $h\geqslant 1$ существует лишь конечное число рациональных чисел высоты $h$:
$h=1$: $\frac{0}{1}$;
$h=2$: $-\frac{1}{1}$, $\frac{1}{1}$;
$h=3$: $-\frac{2}{1}$, $-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{1}$;
$h=4$: $-\frac{3}{1}$, $-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{3}{1}$;
для $h=5$ будет 8 чисел, для $h=6$ - 4 числа, и так далее.

Теперь перечисляем рациональные числа в том порядке, как они выписаны выше: в порядке возрастания высоты, а при одинаковой высоте - в порядке возрастания их самих.

[PUZATIK]

А можно данную задачку по другому докoзать, или это единственное докозательство?
Если можно то пожалуйста напишите как.

[Гость]

Someone писал(а):

Определение. Множество $M\subseteq\mathbb R$ называется нигде не плотным в $\mathbb R$, если для каждого интервала $(a,b)\subseteq\mathbb R$ существует интервал $(\alpha,\beta)\subseteq(a,b)\setminus M$.

Теперь поступаем так. Берём, например, интервал $(0,1)$. Поскольку множество $F_1$ нигде не плотно, существует интервал $(\alpha_1,\beta_1)\subseteq(0,1)\setminus F_1$. Положим $a_1=\alpha_1+\frac{\beta_1-\alpha_1}{3}$ и $b_1=a_1+\min\{\frac{\beta_1-\alpha_1}{3},1\}$.

Поскольку множество $F_2$ нигде не плотно, существует интервал $(\alpha_2,\beta_2)\subseteq(a_1,b_1)\setminus F_2$. Положим $a_2=\alpha_2+\frac{\beta_2-\alpha_2}{3}$ и $b_2=a_2+\min\{\frac{\beta_2-\alpha_2}{3},\frac{1}{2}\}$.

И так далее. Кстати, здесь все эти "$\min$" лишние, поскольку при таком способе построения $0<b_1-a_1\leqslant\frac{1}{3}$ и $0<b_{n+1}-a_{n+1}\leqslant\frac{b_n-a_n}{3}$, поэтому $0<b_n-a_n\leqslant\frac{1}{3^n}$

За объяснение конечно же БОЛЬШОЕ СПАСИБО, но нельзя ли чуточку по подробнее написать. Я нефига не понял причём сдесь $a_2=\alpha_2+\frac{\beta_2-\alpha_2}{3}$ и $b_2=a_2+\min\{\frac{\beta_2-\alpha_2}{3},\frac{1}{2}\}$! Я спрашивал про отрезки $[a1,b1], [a2,d2]$