По определению 3

[Yarkin]

BapuK в сообщении #286128 писал(а):

определите с этой $E$ существование $a^{-1}\forall a$, пока нет единицы со свойством $1*a=a*1=a, \forall a$ нельзя определить обратный, покажите такую единицу
Yarkin, вводя иррациональную единицу, вы на самом деле много чего меняете и мало что оставляете неизменным

Хорошее понимание. Еще надо осознать, что не вводить ее нельзя. Нельзя приравнивать однозначное значение - многозначному. Это исправление ошибки математиков, которые должны были ее обнаружить. Это возвращение к определению числа по Пифагору, т. е. сближение с природой. Это введение в математику качества. Это исправление грубых ошибок по вычислению модуля и решению алгебраических уравнений. Начиная с квадратного уравнения, мы все решения записываем неправильно. Это доказательство ВТФ в две строчки и осознание Пифагоровских троек. Да, все не перечислиш. Никуда не денешься – придется изменять. Я считаю, что моя точка зрения, с которой я пришел на Форум, подтвердилась. Надо идти дальше. Все еще сырое. Окончательных выводов еще никто не делал. Тот, кто оценил масштабы предстоящих изменений в математике, не должны в наших (я имею в виду себя и STilda ) сырых набросках искать изъяны и обвинять нас в «вранье». Я просил и помощи, и критики. Хорошую взбучку устроила нам shwedka и Ваши замечания првильны. Надо все это исправлять и переходить к правильной математике. Это работа для целого поколения математиков. Сиеминутно она не решается.


shwedka в сообщении #286142 писал(а):

Пока что получается, что $1^2=1$, вопреки Вашему заявлению.



Вы доказали, что $1^2 = 1.$ Выражение слева означает, что число, перед которым оно стоит подвергся операции умножения. Выражение справа – что число, перед которым оно стоит, никаким операциям не подвергался. Допустим, что это Ваше доказательство правильно. Тогда $1^2 - 1 = (1-j)(1+j) =0$, тогда, либо $j = 1$, либо $j = -1.$ Оба равенства пртиворечат определению иррациональной единицы $j.$

[shwedka]

Yarkin в сообщении #286398 писал(а):

Допустим, что это Ваше доказательство правильно. Тогда $1^2 - 1 = (1-j)(1+j) =0$, тогда, либо $j = 1$, либо $j = -1.$ Оба равенства пртиворечат определению иррациональной единицы $j.$

В чем противоречие? Повторите определение и покажите противоречие.

-- Пн фев 08, 2010 08:31:50 --

Yarkin в сообщении #286398 писал(а):

Еще надо осознать.......

Вот если бы Вы, коллега, были бы столь же многословны при писании математических постов (этот фрагмент таковым не является), цены бы Вам не было... А так, лишь только что-то конкретное, сразу вы буквы экономите.

[STilda]

Yarkin, мы же хотим, чтобы $x*y=z*y$ влекло за собой $x=z$ или не хотим? Если хотим то появится единичный объект $O*O=O$, $O*a=a$.

На самом деле в реальности существует оба варианта:
1. 2 метра + 3 метра = 5 метров. Тут качество результата такое же как и качество аргументов. $2i+3i=5i$, тут для качества $i+i=i$. Почему это не беспокоит? Так как здесь нету никакого взаимодействия $i+i$. Тут идет чистое количество.
2. 2 метра * 3 метра = 6 метров квадратных. Тут качество результата поменялось. $2E*3E=6E^2$.
3. Предлагаю здесь выписать все, что можно делать в системе не имеющей единицы. Чтобы наглядно увидеть для чего она используется.
4. Yarkin, я думаю, что вы против единицы потому, что вы наделили ее такой же размерностью как и другие числа. Тоесть, понятное дело, (1 метр) не может быть единицей. Мне кажется, единицу МОЖНО ввести, но она должна потерять свою размерность, тоесть быть безкачественной. Она стоит в стороне от остальных объектов системы. Поэтому ось вещественных чисел - это неправильно, так как на ней объекты 1, 0.2, 5 выглядят как одинакового качества. А на самом деле единица 1 не имеет размерности, а 0.2 и 5 имеют противоположные размерности. Ось подходит для чисел которые можно складывать и отнимать, и то, нужно выколоть ноль оттуда, он не имеет размерности. Для чисел которые умножаются нужна другая система координат.
5. Забыл, что хотел сказать

[shwedka]

shwedka в сообщении #286412 писал(а):

тогда, либо $j = 1$, либо $j = -1.$

Да, это тоже Вам доказать придется.
Иначе говоря, что изобретаемое Вами исчисление недочисел не содержит делителей нуля.

[p51x]

STilda
Еще раз: чем вас не устраивает физическое понятие размерности?

STilda в сообщении #286438 писал(а):

На самом деле в реальности существует оба варианта:
1. 2 метра + 3 метра = 5 метров. Тут качество результата такое же как и качество аргументов. $2i+3i=5i$, тут для качества $i+i=i$. Почему это не беспокоит? Так как здесь нету никакого взаимодействия $i+i$. Тут идет чистое количество.

А может просто дистрибутивность обычных операций? $2m+3m=(2+3)m=5m$?

STilda в сообщении #286438 писал(а):

2. 2 метра * 3 метра = 6 метров квадратных. Тут качество результата поменялось. $2E*3E=6E^2$.

Тут поменялась размерность физической величины.

[STilda]

p51x в сообщении #286458 писал(а):

STilda Еще раз: чем вас не устраивает физическое понятие размерности?

Вопрос конечно хороший, нужно пораскинуть мозгами.
Все таки физ величины отдельно а алгебраические операции отдельно. Это не хорошо. За трансформацией физ величины в алгебраическом выражении невозможно уследить. Например, производная - предел отношения - ну не видно из математики что физ величина поменялась. А выражение $x(t)+dx(t)/dt$? Что это за хренька вообще? Взял я преобразование фурье от сигнала, взял я ротор векторного поля... физика меняется, математика не отображает изменения. А может ли она отобразить это? Вопрос всем.
Какой физ величине соответствует комплексная мнимая единица $i$? Есть ли среди физ величин единичная? Есть ли метрам противоположная размерность? С другой стороны, а может ли быть алгебра без единицы? А без обратных элементов? Что математика может без этих понятий? Физ величины алгебраически - это просто многочлен с 7 разными переменными (сущестует 7 базовых физ величин). И многочлен этот без свободного члена!

Задача очень прикладная. Так, получив формулу, получив результат по ней, я не могу сказать, он вообще соответствует хоть чему-либо в реальности? Могу ли я вообще наблюдать этот результат хоть как-то? Ну вообще, он имеет значение или нет?

Я например занимаюсь распознаванием речи. Нужно мне придумать формулу-оператор на речевом сигнале, чтоб выделить нужную характеристику. Интонационная окраска, особенности голоса диктора, его настроение, текст сообщения, громкость и так далее - это все различные размерности, они в мозге не перемешиваются. А математика мне разрешает сделать преобразование фурье от сигнала и сложить потом его с самим сигналом, прологарифмировать, взять синус, поделить, умножить... компот полный... Как получить нужную мне характеристику сигнала? Как мне говорить, что результат данной формулы не зависит от голоса диктора (не имеет примесей других размерностей)? Наша математика слишком скудная, чтоб описать все это.

-- Пн фев 08, 2010 15:49:42 --

p51x в сообщении #286458 писал(а):

А может просто дистрибутивность обычных операций? $2m+3m=(2+3)m=5m$?

Нет конечно. Это все равно что $-2-3=(2+3)*(-)$. Минус $(-)$ это не число, и нет такого дистрибутивного закона, что в скобках чистые количества а за скобками чистая размерность. Это элементы разных пространств. И в $3m$ нет операции умножения. Это неделимая сущность.

[Xaositect]

STilda в сообщении #286485 писал(а):

Все таки физ величины отдельно а алгебраические операции отдельно. Это не хорошо. За трансформацией физ величины в алгебраическом выражении невозможно уследить. Например, производная - предел отношения - ну не видно из математики что физ величина поменялась. А выражение $x(t) + dx(t)/dt$? Что это за хренька вообще? Взял я преобразование фурье от сигнала, взял я ротор векторного поля... физика меняется, математика не отображает изменения. А может ли она отобразить это? Вопрос всем.

Если $t$ - это время, то это $x(t) + (1\mathrm{s})(dx(t)/dt)$. В таких выражениях всегда есть размерный коэффициент, если это не приводит к путанице, его опускают. Если нам вздумается измерять время в часах, то уравнение пробразуется в $x(t) + (\frac{1}{3600}\mathrm{h})(dx(t)/dt)$. Поэтому в диффурах редко когда рассматривают уравнения с конкретными числами, там всегда $x(t) + c(dx(t)/dt)$

Цитата:

Какой физ величине соответствует комплексная мнимая единица ? Есть ли среди физ величин единичная? Есть ли метрам противоположная размерность? С другой стороны, а может ли быть алгебра без единицы? А без обратных элементов? Что математика может без этих понятий? Физ величины алгебраически - это просто многочлен с 7 разными переменными (сущестует 7 базовых физ величин). И многочлен этот без свободного члена!

Физ.величина - это не многочлен от 7 переменных.
Физ.величина - это $A = \{A\}\left[A\right]$, где $\{A\}$ - это значение величины(число), а $\left[A\right]$ - это единица величины.
У каждой физ. величины есть размерность - это выражение $L^lM^mT^t\dots$, составленное из размерностей базовых величин. Складывать и сравнивать можно лишь величины одинаковой размерности.
Есть еще безразмерные величины, имеющие размерность $1 = L^0M^0T^0\dots$, например, величина угла (это отношение дуги к радиусу, т.е. ничем не отличается от отношения, скажем, 6 яблок к 3 яблокам).

[bot]

STilda в сообщении #286485 писал(а):

Это все равно что $-2-3=(2+3)*(-)$. Минус $(-)$ это не число, и нет такого дистрибутивного закона, что в скобках чистые количества а за скобками чистая размерность. Это элементы разных пространств. И в $3m$ нет операции умножения. Это неделимая сущность.

$(-)$ - это, конечно, не число, а операция взятия противоположного. Одна из аксиом, определяющих поле: $x+(-x)=(-x)+x=0$.

Отсюда и из других аксиом получаем:
$0=(1+(-1))\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x= x+(-1)\cdot x $
$\Rightarrow -x=-x+(x+(-1)\cdot x) =(-x+x)+(-1)\cdot x=0+(-1)\cdot x=(-1)\cdot x$,

то есть $-x=(-1)\cdot x$.

Здесь использовано поглощающее свойство нуля $0\cdot x=0$, которое обычно не включают в аксиомы поля - оставляю его доказательство в качестве простого упражнения.

Так что $-2-3=(-1)\cdot 2+ (-1)\cdot 3= (-1)\cdot (2+3) = -(2+3)=-5$ и никаких новых сущностей в стиле Яркина плодить не нужно.

[Yarkin]

shwedka в сообщении #286218 писал(а):

Да, как там с подробным ответом на мой вопросик?

Yarkin в сообщении #279139 писал(а):

По определению гиперболических функций (см., например справочник по специальным функциям, формулы 4.5.1 и 4. 5. 2)
$$ sh z = \frac{e^z - e^{-z}}2 \eqno (1) $$
,
$$ch z =\frac{e^z + e^{-z}}2 \eqno (2) $$
. Сравнивая эти две формулы с аналогичными формулами для $\sin z$ и $\cos z$, замечаем, что в определении этих функций, присутствует мнимая единица $i$. Не трудно убедиться, что, подставив в ряд для $e^z$ вместо $z$, $jz$, где $j = \sqrt{1}$, получим
$$e^{jz} = ch z + j sh z \eqno (3) $$
. Аналогично, получим

$$e^{-jz} = ch z - jsh z \eqno (4) $$
. Тогда из (3) и (4), получим уточненные формулы (1) и (2):
$$ sh z = \frac{e^{jz} - e^{-jz}}2 \eqno (1^*)$$
и
$$chz =\frac{e^{jz} + e^{-jz}}{2j} \eqno (2^*)$$
. Полученные формулы полностью идентичны соответствующим формулам для $\sin z$ и $\cos z $. В частности, подставляя в формуле (3) вместо $z$ $\pi$, получим
$$e^{j \pi} =ch \pi + j sh \pi \eqno (5) $$
Аналогичные изменения претерпят формула Муавра и другие формулы, содержащие гиперболические функции. В связи с аналогией с тригонометрическими функциями возникает предположение, что, кроме комплексных чисел, существуют и комплексные иррациональные числа с гиперболической формой записи.

В математике, как и в физике, имеются свои единицы, которые характеризуют модель числа. Например, мы хорошо знакомы с единичными векторами. Среди числовых единиц нам известна $1$ и мнимая единица $i$, где

$$ i = \sqrt {-1},$$

т. е. определяется через единицу.
Обобщим определения МЕ: положим

$$ j_n = \sqrt [n] {1}, i_n = \sqrt [n] {-1}$$

Для отличия МЕ, которая будет учитывать качественное изменение модели числа от обычной (количественной или порядковой) единицы, примем по предложению Stilda и исправления ошибок, которые обнаружила shwedka обозначение $1 = E.$ Теперь определение единицы останется без изменения, а для МЕ $ E $ можно принять следующее определение:

$$a \cdot E = E \cdot a = a , \forall a \ne E$$
и
$a = E \cdot a = a \cdot E, \forall a \ne E; = E, $ если $ a = E$
Для МЕ $ E $ действует определение степени и по определению, при $n > 1, E^n \ne E.$

[shwedka]

Yarkin в сообщении #286755 писал(а):

обобщим определения МЕ: положим

$$ j_n = \sqrt [n] {1}, i_n = \sqrt [n] {-1}$$

Прекрасно.Определение есть.
Доказательства единственности не вижу.
Правил действий не вижу.
Доказательства, что $j_2\ne1$ не вижу.

[shwedka]

Yarkin в сообщении #286755 писал(а):

Для МЕ $ E $ действует определение степени и по определению, при $n > 1, E^n \ne E.$

Вам еще нужно проверить непротиворечивость этой системы, с такой аксиомой.

Проверить ассоциативность и дистрибутивность такой алгебры, если Вы хотите такие свойства сохранить. Если Вы готовы их потерять, то гуляйте со своей теорией подальше от народных масс.

Если же Вы их сохраняете, то мои два рассуждения, показывающие в новых обозначениях,
что $E^2=E$,

демонстрируют всего лишь противоречивость Вашей системы. Тоже хорошо.

[Yarkin]

shwedka в сообщении #286771 писал(а):

Yarkin в сообщении #286755 писал(а):

обобщим определения МЕ: положим

$$ j_n = \sqrt [n] {1}, i_n = \sqrt [n] {-1}$$

Прекрасно.Определение есть.
Доказательства, что $j_2\ne1$ не вижу.

Прежде всего договоримся, что для $n=1$ и $n=2,$ нижние индексы опускаем: $j_1 = 1 = E, j_2 = j.$
Теорема 1 $j \ne 1$. Доказательство от противного. Допустим, что $j = 1,$ тогда $j^2 = 1^2$ или $E = E^2,$ но это равенство противоречит определению. Следовательно $j \ne 1$

shwedka в сообщении #286771 писал(а):

Доказательства единственности не вижу.

Теорема. МЕ $ (-j; j) $ являются единственными корнями уравнения $x^2 - 1 = 0.$ Доказательство. 1) Доказательство решения. Подставляя $x = ±j$ в уравнение, получим $(±j)^2 - 1 = 1 - 1 = 0.$ 2) Доказательство единственности. Допустим, что существует другая пара МЕ $(-e; e)$, удовлетворяющих этому уравнению. Тогда должно быть $(±e)^2 - 1 = 0$ , тогда $e^2 -1 = 0$ или $(e - j)(e + j) = 0,$ откуда получаем, что, либо $e = -j,$ либо $e = j$. Единственность доказана.

[p51x]

Yarkin в сообщении #286755 писал(а):

Обобщим определения МЕ: положим

$$ j_n = \sqrt [n] {1}, i_n = \sqrt [n] {-1}$$

Хорошо. Пусть $n=1$, тогда получается, что либо в $Y^1$ существуют два базисных вектора, либо $i=cj$.

-- Вт фев 09, 2010 23:33:59 --

Yarkin в сообщении #286804 писал(а):

являются единственными корнями уравнения

Вы не можете использовать уравнения, т.к. у вас не определены операции.

-- Вт фев 09, 2010 23:38:58 --

Yarkin в сообщении #286755 писал(а):

и
$a = E \cdot a = a \cdot E, \forall a \ne E; = E, $ если $ a = E$
Для МЕ $ E $ действует определение степени и по определению, при $n > 1, E^n \ne E.$[/list]

Т.е. $a=E \mapsto E \cdot E=E$ и $E^2 \ne E$?

-- Вт фев 09, 2010 23:41:51 --

Yarkin в сообщении #286804 писал(а):

тогда $j^2 = 1^2$ или $E = E^2,$

Докажите, что $j^2=E$.

[shwedka]

Yarkin в сообщении #286804 писал(а):

тогда $j^2 = 1^2$ или $E = E^2,$ но это равенство противоречит определению.

Не считается.
Имеется два доказательства того, что $E = E^Вас2,$.
Они показывают, что Ваша система определений противоречива.
Если Вы с этим несогласны,
указывайте ошибку в доказательстве.

Yarkin в сообщении #286804 писал(а):

тогда $e^2 -1 = 0$ или $(e - j)(e + j) = 0,$ откуда получаем, что, либо $e = -j,$ либо $e = j$.

Опять не считается. Сначала докажите, что в Вашей арифметике нет делителей нуля.

[Yarkin]

shwedka в сообщении #286814 писал(а):

указывайте ошибку в доказательстве.

Ошибка в первом доказательстве.

shwedka в сообщении #286033 писал(а):

$(a+1)\cdot 1=a+1;\ \ (a+1)\cdot 1=a\cdot 1+1\cdot 1=a+1^2$

Неверно. $a\cdot 1+1\cdot 1=a+1$ по определению.

shwedka в сообщении #285894 писал(а):
Тогда объясняйте!
$a\ne1,\ a\ne0$
$1\cdot1\cdot a=1^2\cdot a;\ 1\cdot1\cdot a=1\cdot a\cdot 1=1\cdot a$

Операция $1\cdot1\cdot a$ не определялась.

shwedka в сообщении #286814 писал(а):

Опять не считается. Сначала докажите, что в Вашей арифметике нет делителей нуля.

Никакую новую арифметику я не строю, а указываю ошибки в имеющейся из-за того, что математики ухитрились многозначное значение заменить однозначным. Поэтому никаких делителей нуля здесь Вы не найдете. И мне это доказывать не надо. Я показал, что из-а этой ошибки математики не смогли определить другие одномерные, двухмерные и пространственные «числа». Из-за этой ошибки математики считают, что пифагоровы тройки удовлетворяю уравнению $x^2 + y^2 = z^2 $ и не могут доказать ВТФ. И Вы отлично это понимаете. МЕ, которые я предлагаю, математики обязаны ввести, для исправления этой ошибки. То, что Вы назвали «парадоксами» - их не сосчитать из-за этой ошибки.
И еще одно. Я придерживаюсь определения числа по Пифагору. То, что я называю (абстрактными) моделями чисел или векторами все упорно называют числами и Вы не исключение. К моделям Ваши требования неприменимы, а вот к значениям этих моделей все это предъявлять можно. Например, представить модель, обратную данной я не могу.