По определению 3

[Yarkin]

По определению гиперболических функций (см., например справочник по специальным функциям, формулы 4.5.1 и 4. 5. 2)
$$ sh z = \frac{e^z - e^{-z}}2 \eqno (1) $$
,
$$ch z =\frac{e^z + e^{-z}}2 \eqno (2) $$
. Сравнивая эти две формулы с аналогичными формулами для $\sin z$ и $\cos z$, замечаем, что в определении этих функций, присутствует мнимая единица $i$. Не трудно убедиться, что, подставив в ряд для $e^z$ вместо $z$, $jz$, где $j = \sqrt{1}$, получим
$$e^{jz} = ch z + j sh z \eqno (3) $$
. Аналогично, получим

$$e^{-jz} = ch z - jsh z \eqno (4) $$
. Тогда из (3) и (4), получим уточненные формулы (1) и (2):
$$ sh z = \frac{e^{jz} - e^{-jz}}2 \eqno (1^*)$$
и
$$chz =\frac{e^{jz} + e^{-jz}}{2j} \eqno (2^*)$$
. Полученные формулы полностью идентичны соответствующим формулам для $\sin z$ и $\cos z $. В частности, подставляя в формуле (3) вместо $z$ $\pi$, получим
$$e^{j \pi} =ch \pi + j sh \pi \eqno (5) $$
Аналогичные изменения претерпят формула Муавра и другие формулы, содержащие гиперболические функции. В связи с аналогией с тригонометрическими функциями возникает предположение, что, кроме комплексных чисел, существуют и комплексные иррациональные числа с гиперболической формой записи. А может быть этот вопрос исследован и я зря “маюсь” с этой иррациональной единицей, а все вышеизложенное “очередная моя бессмыслица ”? Может оставить все, как есть и эту иррациональную единицу приравнивать $1$, по определению арифметического корня, а от поправок справочных формул отказаться?

[ewert]

Yarkin в сообщении #279139 писал(а):

А может быть этот вопрос исследован и я зря “маюсь” с этой иррациональной единицей, а все вышеизложенное “очередная моя бессмыслица ”?

Это уже прогресс.

[bot]

Ну-у-у вряд ли. Скорее он ждёт, что кто-то станет его разубеждать

Yarkin в сообщении #279139 писал(а):

Может оставить все, как есть и эту иррациональную единицу приравнивать $1$

Есть ещё один вариант - приравнять к $-1$, то есть арифметическим квадратным корнем из положительного числа назвать отрицательное число, квадратом которого является подкоренное число.

[AKM]

Тема в таком виде не содержит ничего дискуссионного. Отсутствует содержательный заголовок. Автор переписывает известные формулы из справочников, добавляя банальности вроде

$$e^{1z}=\ch z + 1\sh z\eqno(3).$$

Тема переносится в "Помогите решить/разобраться, т.е. на промежуточную остановку по дороге в конкретный тематический раздел. Конкретный.

Предполагается, что на этой остановке автору, возможно, ответят на вопросы

Yarkin в сообщении #279139 писал(а):

А может быть этот вопрос исследован и я зря “маюсь” с этой иррациональной единицей?...
Может оставить все, как есть...

либо угадают и помогут внятно сформулировать его мысли.

[Xaositect]

Википедия: Двойные числа?

[venco]

Xaositect в сообщении #279633 писал(а):

Википедия: Двойные числа?

Вот это имеет смысл, хотя мне обычно хватало обозначений $\pm$ и $\mp$.
Но меня смущает слово "иррациональная", которое постоянно использует Yarkin. Этот ли смысл он имеет в виду?

[STilda]

Нужно различать 1 и +1. $\sqrt{1}=j,\sqrt{+1}=\{+j1,-j1\},\sqrt{-1}=ij$
Мы расслоили натуральные числа на положительные и отрицательные. Таким же образом мы расслаиваем натуральные на иррациональные и еще какието(пока название не ввели).

[Yarkin]

AKM в сообщении #279624 писал(а):

[mod]Тема в таком виде не содержит ничего дискуссионного. Отсутствует содержательный заголовок. Автор переписывает известные формулы из справочников, добавляя банальности вроде

$$e^{1z}=\ch z + 1\sh z\eqno(3).$$

Оценочка! А формулы у меня такой нет. А если мои формулы где-то имеются, укажите. А в справочники и учебники мои поправки придется внести.

-- Вт янв 12, 2010 16:34:47 --

Xaositect в сообщении #279633 писал(а):

Википедия: Двойные числа?

Я об этом не знал. Спасибо за указание. Совпадает только начало. Делителей нуля у нас нет.

-- Вт янв 12, 2010 16:41:50 --

venco в сообщении #279648 писал(а):

Но меня смущает слово "иррациональная", которое постоянно использует Yarkin. Этот ли смысл он имеет в виду?

Зачем смущаться. Я показал, что иррациональные числа имеют такой же статус, как и мнимые числа. Почитайте мое последнее сообщение в теме STilda"Что за дела"

[Xaositect]

Yarkin в сообщении #279746 писал(а):

Я об этом не знал. Спасибо за указание. Совпадает только начало. Делителей нуля у нас нет.

Так вы посчитайте $(1+j)(1-j)$ по своим формулам.

[BapuK]

STilda в сообщении #279686 писал(а):

Нужно различать 1 и +1. $\sqrt{1}=j,\sqrt{+1}=\{+j1,-j1\},\sqrt{-1}=ij$

зачем различать 1 и +1 если это одно и то же число? если это не так, то покажите чем они различаются.

STilda в сообщении #279686 писал(а):

Мы расслоили натуральные числа на положительные и отрицательные. Таким же образом мы расслаиваем натуральные на иррациональные и еще какието(пока название не ввели).

ммм вопрос: как натуральное число может быть отрицательным, ну и тем более как онон может быть иррациональным? (ну либо я както неправильно понимаю ваше "расслоили")

[ewert]

Yarkin в сообщении #279746 писал(а):

Я показал, что иррациональные числа имеют такой же статус, как и мнимые числа.

Прежде чем говорить о статусе: Вы уверены, что знаете, какие числа называются иррациональными?...

[AD]

Xaositect писал(а):

Yarkin в сообщении #279746 писал(а):

Я об этом не знал. Спасибо за указание. Совпадает только начало. Делителей нуля у нас нет.

Так вы посчитайте $(1+j)(1-j)$ по своим формулам.

Не желаете ли ознакомиться с результатами Ваших предшественников в этом вопросе? ^_^

bot в сообщении #65927 (Ср май 16, 2007 12:50:28) писал(а):

получится алгебра над полем с делителями нуля: $(j-1)(j+1)=0$.

[Yarkin]

bot в сообщении #279173 писал(а):

Есть ещё один вариант - приравнять к $-1$, то есть арифметическим квадратным корнем из положительного числа назвать отрицательное число, квадратом которого является подкоренное число.

Оба эти ошибочные варианты используются.

-- Чт янв 14, 2010 10:44:16 --

Xaositect в сообщении #279759 писал(а):

Так вы посчитайте $(1+j)(1-j)$ по своим формулам.

$(1+j)(1-j)=1^2-1\ne 0$ так как единица $1^2$ отличается от единицы $1$ по качеству. Они равны по модулю.

[AD]

$1+1\neq 2$, так как двойка $1+1$ отличается от двойки $2$ по качеству. Они равны по модулю. Я правильно понял?

[Yarkin]

AD в сообщении #280300 писал(а):

Не желаете ли ознакомиться с результатами Ваших предшественников в этом вопросе?

Xaositect в сообщении #279759 писал(а):

Так вы посчитайте $(1+j)(1-j)$ по своим формулам.

$(1+j)(1-j)=1^2-1\ne 0$ так как единица $1^2$ отличается от единицы $1$ по качеству.

-- Чт янв 14, 2010 11:10:29 --

ewert в сообщении #279765 писал(а):

Прежде чем говорить о статусе: Вы уверены, что знаете, какие числа называются иррациональными?...

Это очень хорошо описано у И. В. Арнольда Теоретическая арифметика, в параграфах 30-32. Основная идея: Аксиома Архимеда, предельные переходы, сечение Дедекинда.