2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 13  След.
 
 По определению 3
Сообщение10.01.2010, 09:14 
    По определению гиперболических функций (см., например справочник по специальным функциям, формулы 4.5.1 и 4. 5. 2) $$ sh z = \frac{e^z - e^{-z}}2   \eqno (1) $$, $$ch z =\frac{e^z + e^{-z}}2     \eqno   (2) $$. Сравнивая эти две формулы с аналогичными формулами для $\sin z$ и $\cos z$, замечаем, что в определении этих функций, присутствует мнимая единица $i$. Не трудно убедиться, что, подставив в ряд для $e^z$ вместо $z$, $jz$, где $j = \sqrt{1}$, получим $$e^{jz} = ch z + j sh z     \eqno   (3) $$. Аналогично, получим
    $$e^{-jz} = ch z - jsh z    \eqno   (4) $$. Тогда из (3) и (4), получим уточненные формулы (1) и (2): $$ sh z = \frac{e^{jz} - e^{-jz}}2      \eqno   (1^*)$$ и $$chz =\frac{e^{jz} + e^{-jz}}{2j}    \eqno   (2^*)$$. Полученные формулы полностью идентичны соответствующим формулам для $\sin z$ и $\cos z $. В частности, подставляя в формуле (3) вместо $z$ $\pi$, получим $$e^{j \pi} =ch \pi + j sh \pi     \eqno   (5) $$ Аналогичные изменения претерпят формула Муавра и другие формулы, содержащие гиперболические функции. В связи с аналогией с тригонометрическими функциями возникает предположение, что, кроме комплексных чисел, существуют и комплексные иррациональные числа с гиперболической формой записи. А может быть этот вопрос исследован и я зря “маюсь” с этой иррациональной единицей, а все вышеизложенное “очередная моя бессмыслица ”? Может оставить все, как есть и эту иррациональную единицу приравнивать $1$, по определению арифметического корня, а от поправок справочных формул отказаться?

 
 
 
 Re: По определению 3
Сообщение10.01.2010, 09:17 
Yarkin в сообщении #279139 писал(а):
А может быть этот вопрос исследован и я зря “маюсь” с этой иррациональной единицей, а все вышеизложенное “очередная моя бессмыслица ”?

Это уже прогресс.

 
 
 
 Re: По определению 3
Сообщение10.01.2010, 11:56 
Аватара пользователя
Ну-у-у вряд ли. Скорее он ждёт, что кто-то станет его разубеждать
Yarkin в сообщении #279139 писал(а):
Может оставить все, как есть и эту иррациональную единицу приравнивать $1$

Есть ещё один вариант - приравнять к $-1$, то есть арифметическим квадратным корнем из положительного числа назвать отрицательное число, квадратом которого является подкоренное число.

 
 
 
 Re: По определению 3
Сообщение11.01.2010, 22:45 
Аватара пользователя
 !  Тема в таком виде не содержит ничего дискуссионного. Отсутствует содержательный заголовок. Автор переписывает известные формулы из справочников, добавляя банальности вроде$$e^{1z}=\ch z + 1\sh z\eqno(3).$$
Тема переносится в "Помогите решить/разобраться, т.е. на промежуточную остановку по дороге в конкретный тематический раздел. Конкретный.

Предполагается, что на этой остановке автору, возможно, ответят на вопросы
Yarkin в сообщении #279139 писал(а):
А может быть этот вопрос исследован и я зря “маюсь” с этой иррациональной единицей?...
Может оставить все, как есть...
либо угадают и помогут внятно сформулировать его мысли.

 
 
 
 Re: По определению 3
Сообщение11.01.2010, 23:32 
Аватара пользователя
Википедия: Двойные числа?

 
 
 
 Re: По определению 3
Сообщение12.01.2010, 00:27 
Xaositect в сообщении #279633 писал(а):
Вот это имеет смысл, хотя мне обычно хватало обозначений $\pm$ и $\mp$. ;)
Но меня смущает слово "иррациональная", которое постоянно использует Yarkin. Этот ли смысл он имеет в виду?

 
 
 
 Re: По определению 3
Сообщение12.01.2010, 11:39 
Нужно различать 1 и +1. $\sqrt{1}=j,\sqrt{+1}=\{+j1,-j1\},\sqrt{-1}=ij$
Мы расслоили натуральные числа на положительные и отрицательные. Таким же образом мы расслаиваем натуральные на иррациональные и еще какието(пока название не ввели).

 
 
 
 Re: По определению 3
Сообщение12.01.2010, 16:29 
AKM в сообщении #279624 писал(а):
[mod]Тема в таком виде не содержит ничего дискуссионного. Отсутствует содержательный заголовок. Автор переписывает известные формулы из справочников, добавляя банальности вроде$$e^{1z}=\ch z + 1\sh z\eqno(3).$$

    Оценочка! А формулы у меня такой нет. А если мои формулы где-то имеются, укажите. А в справочники и учебники мои поправки придется внести.

-- Вт янв 12, 2010 16:34:47 --

Xaositect в сообщении #279633 писал(а):

    Я об этом не знал. Спасибо за указание. Совпадает только начало. Делителей нуля у нас нет.


-- Вт янв 12, 2010 16:41:50 --

venco в сообщении #279648 писал(а):
Но меня смущает слово "иррациональная", которое постоянно использует Yarkin. Этот ли смысл он имеет в виду?
    Зачем смущаться. Я показал, что иррациональные числа имеют такой же статус, как и мнимые числа. Почитайте мое последнее сообщение в теме STilda"Что за дела"

 
 
 
 Re: По определению 3
Сообщение12.01.2010, 16:49 
Аватара пользователя
Yarkin в сообщении #279746 писал(а):
Я об этом не знал. Спасибо за указание. Совпадает только начало. Делителей нуля у нас нет.

Так вы посчитайте $(1+j)(1-j)$ по своим формулам.

 
 
 
 Re: По определению 3
Сообщение12.01.2010, 17:04 
Аватара пользователя
STilda в сообщении #279686 писал(а):
Нужно различать 1 и +1. $\sqrt{1}=j,\sqrt{+1}=\{+j1,-j1\},\sqrt{-1}=ij$

зачем различать 1 и +1 если это одно и то же число? если это не так, то покажите чем они различаются.
STilda в сообщении #279686 писал(а):
Мы расслоили натуральные числа на положительные и отрицательные. Таким же образом мы расслаиваем натуральные на иррациональные и еще какието(пока название не ввели).

ммм вопрос: как натуральное число может быть отрицательным, ну и тем более как онон может быть иррациональным? (ну либо я както неправильно понимаю ваше "расслоили")

 
 
 
 Re: По определению 3
Сообщение12.01.2010, 17:08 
Yarkin в сообщении #279746 писал(а):
Я показал, что иррациональные числа имеют такой же статус, как и мнимые числа.

Прежде чем говорить о статусе: Вы уверены, что знаете, какие числа называются иррациональными?...

 
 
 
 Re: По определению 3
Сообщение13.01.2010, 23:01 
Xaositect писал(а):
Yarkin в сообщении #279746 писал(а):
Я об этом не знал. Спасибо за указание. Совпадает только начало. Делителей нуля у нас нет.

Так вы посчитайте $(1+j)(1-j)$ по своим формулам.
Не желаете ли ознакомиться с результатами Ваших предшественников в этом вопросе? ^_^
bot в сообщении #65927 (Ср май 16, 2007 12:50:28) писал(а):
получится алгебра над полем с делителями нуля: $(j-1)(j+1)=0$.

 
 
 
 Re: По определению 3
Сообщение14.01.2010, 10:28 
bot в сообщении #279173 писал(а):
Есть ещё один вариант - приравнять к $-1$, то есть арифметическим квадратным корнем из положительного числа назвать отрицательное число, квадратом которого является подкоренное число.

    Оба эти ошибочные варианты используются.


-- Чт янв 14, 2010 10:44:16 --

Xaositect в сообщении #279759 писал(а):
Так вы посчитайте $(1+j)(1-j)$ по своим формулам.

    $(1+j)(1-j)=1^2-1\ne 0$ так как единица $1^2$ отличается от единицы $1$ по качеству. Они равны по модулю.

 
 
 
 Re: По определению 3
Сообщение14.01.2010, 10:59 
$1+1\neq 2$, так как двойка $1+1$ отличается от двойки $2$ по качеству. Они равны по модулю. Я правильно понял?

 
 
 
 Re: По определению 3
Сообщение14.01.2010, 11:03 
AD в сообщении #280300 писал(а):
Не желаете ли ознакомиться с результатами Ваших предшественников в этом вопросе?

Xaositect в сообщении #279759 писал(а):
Так вы посчитайте $(1+j)(1-j)$ по своим формулам.

    $(1+j)(1-j)=1^2-1\ne 0$ так как единица $1^2$ отличается от единицы $1$ по качеству.


-- Чт янв 14, 2010 11:10:29 --

ewert в сообщении #279765 писал(а):
Прежде чем говорить о статусе: Вы уверены, что знаете, какие числа называются иррациональными?...

    Это очень хорошо описано у И. В. Арнольда Теоретическая арифметика, в параграфах 30-32. Основная идея: Аксиома Архимеда, предельные переходы, сечение Дедекинда.

 
 
 [ Сообщений: 184 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 13  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group