Окружности на поверхности сферы.

[Батороев]

gris
По-моему, Вы не правы.
"Раздувая" многогранник (без искажения геометрической формы), Вы получаете параллельное перемещение и одновременное увеличение размеров правильных многоугольников граней (в этом плане, ромбододекаэдр не годится).
В тот момент, когда сечение шара плоскостью грани станет окружностью, вписанной в грань, то будет выполнено условие топик-стартера.
Т.к. центры сферы и многогранника, а также центры многоугольника и сечения шара на всем протяжении "раздувания" совпадают, то каких-либо искажений и смещений быть не может.

[gris]

Вот уж отнюдь. Я имел в виду как раз раздувание с нарушением формы. Впрочем, может быть я запутался? И автор имеет в виду совсем другое?
Я понял, что он хочет разбить поверхность сферы на равные круги, числом более двух, а я никак не могу себе этого представить. Этого не может быть, вопиют моё геометрическое воображение и апельсин, над которым я поставил опыт.
Если слова "покрывают всю поверхность сферы" означают нечто другое, например, что ни одну окружность нельзя подвинуть в сторону при неподвижности других, что они составляют прочный каркас, то это пусть автор скажет точно и формализованно.

[Yu_K]

gris
А если на сфере построить правильный тетраэдр (четыре одинаковых сферических треугольника) и вписать в каждый треугольник по окружности. Получим 4 круга на сфере.

[gris]

Они не будут покрывать всю поверхность сферы.

[Yu_K]

http://scriptures.ru/india/tamilnadu/au ... lle007.htm - прямо Ауровиль какой-то хочется ТС сотворить. Но тогда надо определяться либо покрывают круги сферу, либо касаются в одной точке.

[Padawan]

Возьмём два соприкасающихся круга. В окрестности точки касания между ними есть зазор, куда ни один из оставшихся не влезет (если кругов конечное число). Значит этот зазор останентся непокрытам. Странно что автору вообще такого захотелось "Они не знают чего они хочут"...

[Батороев]

gris в сообщении #282932 писал(а):

Вот уж отнюдь. Я имел в виду как раз раздувание с нарушением формы. Впрочем, может быть я запутался? И автор имеет в виду совсем другое?
Я понял, что он хочет разбить поверхность сферы на равные круги, числом более двух, а я никак не могу себе этого представить. Этого не может быть, вопиют моё геометрическое воображение и апельсин, над которым я поставил опыт.
Если слова "покрывают всю поверхность сферы" означают нечто другое, например, что ни одну окружность нельзя подвинуть в сторону при неподвижности других, что они составляют прочный каркас, то это пусть автор скажет точно и формализованно.

Как я понял, автора интересует, можно ли в шаре выделить $n$ одинаковых шаровых сегмента, касающихся друг друга в одной точке? И чему равно минимальное значение $n$?
Т.е. я исхожу из Вашей последней версии вопроса.

[gris]

Батороев, в таком случае n любое число. Например, 2. Это уже предлагалось. Нет, тут всё сложнее. Тут надо, чтобы не знаю что.

[Батороев]

$n=2$ автор уже ранее опротестовал. Он заявил, что касание должно быть в одной точке.

[gris]

А можно просто нарисовать круг, а рядом с ним такой же. Чтобы они имели только одну общую точку.

[Батороев]

Наверное необходимо добавить предлагавшееся Вами ранее ключевое слово "несдвигаемые".
Впрочем, чего мы маемся? Автор, поди, давно спит.

[yurk84]

Уважаемые господа! Как я понял из новых сообщений, ещё не все до конца поняли что требуется сделать. А потому, я предлагаю для лучшего понимания условия задачи всё тоже самое проделать не в объёме, а на плоскости. Для этого возьмём простой круг ( окружность ) и попробуем вписать в него две, три, может быть четыре окружности ( и так далее ), которые соприкасаются между собой и все вместе соприкасаются с общим для них кругом, в который все они вписаны.

P.S. Кстати, фото http://scriptures.ru/india/tamilnadu/au ... lle007.htm уже отражает то, что требуется по условию задачи, за исключением того, что круги на сфере там НЕ соприкасаются между собой. Если даже они бы и соприкасались, зазоры всё равно будут иметь место, но это обстоятельство нас уже НЕ ДОЛЖНО ВОЛНОВАТЬ. Главное, чтобы эти круги также как на снимке равномерно покрывали всю площадь сферы, а не находились только лишь на какой-то её части, как кто-то уже здесь предлагал.

[Padawan]

Тогда $n=4$. Центры в вершинах правильного тетраэтдра, вписанного в сферу. (раздутие тетраэдра, если я правильно понял предыдущие сообщения)

[gris]

Вообще если речь зашла о мячах, то стоит взглянуть на адидасный европас Чемпионата Европы 2008.
Там по вершинам додекаэдра расположены 12 чёрных кругов. Они, правда, недостаточно большие, но дело в том, что обычно рисунок на мяче формируется по деталям выкройки. А эти детали соединены швами. А угол между швами в точке стыка должен быть по возможности тупым, иначе катальные и аэродинамические свойства мяча не будут удовлетворять взыскательным требованиям современных футболистов, которые требуют, чтобы мяч сам залетал в ворота противника.
Выкройки с криволинейными краями сложнее обрабатывать, но при этом достигается большая прочность покрышки. Если покрышку изготовлять из соприкасающихся окружностей и треугольных вставок, то углы между швами будут достигать нуля градусов, что приведёт к появлению на поверхности мяча особых точек.
Если речь идёт о нанесении рисунка красками на поверхность мяча, то, разумеется, все вышеприведённые соображения не актуальны, тем более, что я насчёт швов выдумал, если честно. Но на мяче чемпионата мира 1990 года нанесён рисунок по стандартному футбольному мячу именно в виде 12 соприкасающихся окружностей.
Что касается 4-х кругов по тетраэдру, то обратите внимание на Ябулани - официальный мяч предстоящего чемпионата мира.
Вам бы подойти к стадиону после матча и поинтересоваться проблематикой у выходящих знатоков футбола.

[Yu_K]

Да уж... все таки "покрывают" (но с зазорами) и касаются в одной точке. Действительно ли $n$ любое? Три не получится и ряд других чисел наверное выпадет.

Фото мячиков

http://www.gazeta.lv/story/5129.html - Европас
http://www.soccer.ru/news/146076.shtml - Ябулани