Окружности на поверхности сферы.

[yurk84]

Друзья! Помогите, пожалуйста, ответить на один интересующий не только меня вопрос по геометрии: какое минимальное количество равных и обязательно соприкасающихся друг с другом сферических кругов может разместиться на всей поверхности шара ( если это в принципе возможно ) ?
Данный вопрос возник в связи с необходимостью точного описания рисунка на футбольном мяче.
Спасибо за внимание, Юрий

Я сам лично не уверен на все 100%, но думаю, что если представить себе симметричный рисунок, то число вариантов по идее должно равняться числу правильных многогранников. Поэтому достаточно взять любой из них и описать вокруг него сферу. В моём случае это должен быть тетраэдр, поскольку он имеет минимальное количество вершин и граней из всех правильных пирамид. В соответствии с этим и количество интересующих меня шаровых сегментов на футбольном мяче тоже должно быть таким же, хотя на мой взгляд одних только приведённых мною рассуждений я считаю недостаточно для получения убедительного ответа на поставленный ранее вопрос. А вы как думаете?

[ewert]

точный рисунок на мяче не имеет никакого отношения к данной экстремальной задаче -- там просто выбрали додекаэдр в совокупности с икосаэдром лишь потому, что это симметрично и к тому же красиво.

[yurk84]

Меня, к сожалению, интересует не тот классический рисунок футбольного мяча, который выбрали до меня когда-то, а тот, который я собираюсь сам определить сейчас, то есть не в виде правильных 5-ти и 6-ти угольников, а в виде одних только равных и соприкасающихся окружностей на всей поверхности мяча. Вопрос только в том, сколько таких кругов может быть по-минимуму?

[gris]

Минимально может быть два круга, соприкасающиеся по всей своей границе

[venco]

gris в сообщении #282786 писал(а):

Минимально может быть два круга, соприкасающиеся по всей своей границе

Один, соприкасающийся сам с собой по всей своей границе.

[gris]

просто я подумал, что раз в вопросе упоминаются сферический круг и сферическая окружность, то между ними должна быть разница. Окружность это пересечение сферы с секущей плоскостью, а круг это множество точек на сфере, лежащее по одну сторону от окружности. Не так?

[yurk84]

По-моему сферический круг - это круг, расположенный на поверхности сферы в виде шарового сегмента.
Я извиняюсь, но чтобы быть правильно понятым, прошу не смешивать по смыслу слово "соприкосновение" со словами "соединение" или "совмещение", иначе ответ на мой вопрос может свестись к простому получению двух полусфер ( что собственно и произошло ), а это изначально не отвечало моему замыслу, так как это решение было бы слишком очевидным.

[venco]

Тогда четыре - как в тетраэдре.

-- Пт янв 22, 2010 16:14:41 --

Хотя, я не вижу, по какому условию не проходят три круга, расположенные по большому кругу.

[Батороев]

Я, например, не вижу, по какому условию не проходит 1 круг?!

А в общем случае, наверное, нужно исходить из следующих соображений (http://rcio.pnzgu.ru/personal/54/1/1/prim.htm):

Цитата:

Проектируя границу правильного многогранника из его центра на описанную сферу, мы получаем разбиение сферы на равные правильные многоугольники (проекции граней многогранника). Обратно, для всякого разбиения сферы на равные правильные многоугольники выпуклый многогранник, вершинами которого служат вершины разбиения, является правильным.

Полученный выше результат означает, что имеется ровно пять правильных многогранников. Это известные с древних времен тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр.

[yurk84]

Цитата:

Я, например, не вижу, по какому условию не проходит 1 круг?!

Уважаемые участники Форума!
Мне до сих пор не понятно с чего Вы предполагаете 1 и 2 круга? Ведь в условии моей задачи речь идёт о равных, а само главное о соприкасающихся кругах. Поясню: два смежных круга на поверхности сферы ( шара ) касаются друг друга ТОЛЬКО в одной ТОЧКЕ. А потому один круг и две полусферы, касающиеся по всей длине не подходят по условию задачи. Надеюсь, после этого моего разъяснения мне кто-нибудь ответит: "Сколько решений имеет эта задача?"

[gris]

С этого надо было и начинать - с чёткого определения всех понятий, которые Вы задействуете в задаче. А то у Вас и круг, и окружность, и шаровой сегмент.
И опять же ответ к Вашей задаче - 2 круга. Нарисуем на сфере круг, а рядом с ним касающийся его такой же круг. Условия задачи выполнены.
Не понятно, какому условию должно удовлетворять множество кругов на сфере.

Вся беда в том, что только два круга, соприкасающиеся по экватору шара, заполняют собой всю поверхность сферы. Все остальные расположения кругов оставляют на сфере непокрытые участки. Вы слепите шарик из пластилина и попробуйте отрезать от него кусочки.

Либо засучите рукава и совершенно точно определите то, что Вы хотите.

Позволю себе некоторое рассуждение. Если вписать в сферу выпуклый многогранник, а потом спроектировать его рёбра на сферу из её центра, то есть грубо говоря надуть многогранник, то мы получим разбиение всей поверхности сферы на сферические многоугольники. Если многогранник взять симметричный и красивый ( додекаэдр, ромбододекаэдр и т.п.), то мы будем получать красивые разбиения, то есть мячи.
Но при этом все многогранники никак нельзя сделать "сферическими окружностями". То есть раскрасить сферу более, чем двумя красками так, чтобы получилось более двух цветных кругов - не получиться :cry:

[AKM]

Отделено от темы "Стереометрия: правильные пирамиды".

yurk84,

не захватывайте чужие темы!
В карантине, отредактировав своё первое сообщение, Вы сможете сопроводить его адекватным заголовком.

-- Сб янв 23, 2010 13:39:57 --

Впрочем, ладно, обойдёмся без карантинов --- попробую сам придумать заголовок...

[Батороев]

Проверьте мои рассуждения.

Пусть имеется правильный тетраэдр, вписанный в шар.
"Сдувая" шар, всегда можно добиться того, что диаметры сечений круговых секторов снизятся до диаметров окружностей, вписанных в грани тетраэдра.

[yurk84]

gris в сообщении #282874 писал(а):

С этого надо было и начинать - с чёткого определения всех понятий, которые Вы задействуете в задаче. А то у Вас и круг, и окружность, и шаровой сегмент.
И опять же ответ к Вашей задаче - 2 круга. Нарисуем на сфере круг, а рядом с ним касающийся его такой же круг. Условия задачи выполнены.
Не понятно, какому условию должно удовлетворять множество кругов на сфере.

Круги должны быть абсолютно одинаковыми, покрывать всю площадь сферы ( шара ), а также как я уже разъяснил выше только лишь соприкасаться друг с другом ( два смежных круга соприкасаются только в одной точке).

[gris]

Тогда повторю сказанное мной. Это невозможно.