О методе бесконечного спуска.

[Батороев]

Гаджимурат в сообщении #280142 писал(а):

А в общем виде,если ур-ние Ф. имело бы целочисленное решение,то
существует такое число $x_1=x+y-z=abcm$ и это число обязательно должно делиться
на $n^2,3,5,7$ .Т.есть $a$ или $b$ или $c$ ,а для 1 случая Ф. $m$ должны делиться на $n^2$ и более.
Если $xyz$ не делятся на $7$ ,то $y-x$ обязательно должно делиться на $7$.
Проверьте это утверждение на $n=2$ (для $n=2$ ,если $xyz$ ,не делится на $7$,то $x+y$ или $y-x$ разделится на $7$.

Насчет делимости на $5$ при $n=3$ ничего путного сказать не могу. Не изучал.
Насчет делимости на $3$ мы уже почти все выяснили (по крайней мере то, что смогли).
Насчет делимости на $7$ замечу, что легко доказывается, что одно из чисел $x, y, z$ обязательно делится на $7$. Для этого достаточно рассмотреть возможные комбинации остатков кубов натуральных чисел по основанию $7$. При этом, если $y$ (или $z$) делится на $7^k$, то и $z-x$ ($x+y$) делится на $7^k$, поэтому рассматривать делимость на $7$ выражения $y-x$ - нет смысла.

В данной теме речь по ходу обсуждения коснулась доказательства делимости на $3$ одного из чисел, входящих в уравнение ВТФ.
Поэтому я и привел свое доказательство этого факта. Затем - уже "до кучи" - дополнил доказательством делимости на $9$.
Далее, как мне кажется, мы с Вами развели флуд.
Боюсь, что появится Коровьев и обидится на нас.
Поэтому предлагаю закругляться.

[Гаджимурат]

Батороев в сообщении #280195 писал(а):

Поэтому предлагаю закругляться.

Согласен.Но я хотел расширить тему и показать,что для 1 случая Ф. ,если $2^{n-1}-1$ делится на $n^2$,то данное условие ставило исследователей в тупик и даже на этом форуме мне приводили
два простых числа,которые не вписывались в общую картину доказательства 1 случая Ф.
А все дело в том,что для 1 случая Ф. должно выполняться условие :существует некое целое число $m$ ,которое
должно делиться на $n^2$ и более.Поэтому $2^{n-1}-1$ должно делится не на $n^2$, а на $n^3$.
Цепочка доказатальств 1 случая Ф. для определенных групп $n$ восстанавливается, зная,ЧТО $m$
должна делится на $n^2$ и более.
Все,все тема закрывается!

[Коровьев]

Батороев в сообщении #280195 писал(а):

Боюсь, что появится Коровьев и обидится на нас.
Поэтому предлагаю закругляться.

А ничего страшного. Коль в меру. Я уже писал, что обсуждение есть дерево.
Мне всётаки интересно - почему многие диафантовые проблемы решаются методом спуска и я не встретил пока, чтобы проблема, решаемая этим методом была решена, скажем, прямо, методом от противного. Хотя в этот метод можно с натяжкой трансформировать и метод спуска. К примеру, пусть... "параметр" минимален, тогда ...существует "параметр" меньше минимального, что противоречит условию.
Всё думал, может кто тут докажет Ферма для трёх другим методом и опровергнется мой тезис:

Цитата:

доказательств даже частных случаев БТФ отличных от метода спуска не существует

А вдруг и правда? Всё было б облегчение начинающим ферматистам.

[grisania]

Коровьев в сообщении #280498 писал(а):

А ничего страшного. Коль в меру. Я уже писал, что обсуждение есть дерево.
Мне всётаки интересно - почему многие диафантовые проблемы решаются методом спуска и я не встретил пока, чтобы проблема, решаемая этим методом была решена, скажем, прямо, методом от противного. Хотя в этот метод можно с натяжкой трансформировать и метод спуска. К примеру, пусть... "параметр" минимален, тогда ...существует "параметр" меньше минимального, что противоречит условию.
Всё думал, может кто тут докажет Ферма для трёх другим методом и опровергнется мой тезис:

Цитата:

доказательств даже частных случаев БТФ отличных от метода спуска не существует

А вдруг и правда? Всё было б облегчение начинающим ферматистам.

Пока на форуме никто не обсуждал ВТФ для тройки через кривые Фрея, т.е. как это делал Великий Уайлс. Может для кривых Фрея не нужен спуск?
Это во-первых, а во вторых теорема для тройки эквивалентна решению в рациональных $1+3{{x}^{2}}=4{{y}^{3}}$ а это уравнение приводится к кривульке Морделла $(36 x)^2 = (12y)^3 - 432$ (см. пост maxal http://dxdy.ru/post248255.html#p248255). Может для кривулек Морделла не нужен спуск? Поскольку неисповедимы пути господни в ВТФ.

[Батороев]

grisania в сообщении #280697 писал(а):

а во вторых теорема для тройки эквивалентна решению в рациональных $1+3{{x}^{2}}=4{{y}^{3}}$

Как мне видится, данное уравнение эквивалентно уравнению: $(m+1)^3-m^3=y^3$, где $ m=\dfrac{x-1}{2}$.
Как оно связано со всей ВТФ для $n=3$?

[grisania]

Батороев в сообщении #280707 писал(а):

grisania в сообщении #280697 писал(а):

а во вторых теорема для тройки эквивалентна решению в рациональных $1+3{{x}^{2}}=4{{y}^{3}}$

Как мне видится, данное уравнение эквивалентно уравнению: $(m+1)^3-m^3=y^3$, где $ m=\dfrac{x-1}{2}$.
Как оно связано со всей ВТФ для $n=3$?

Это хорошо известный факт, см., например:
1. Elementary theory of numbers, Wacław Sierpiński, Warszawa 1964, глава 11, стр. 388, http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=42&wyd=10&jez=pl;
2. Proposition 1.4., Ian Connell, Elliptic Curve Handbook, 1999, p. 117,
http://www.ucm.es/BUCM/mat/doc8354.pdf
Proposition 1.4.1 гласит, что кривая $x^{3}+y^{3}=z^{3}$ бирационально эквивалентна кривой $y^{2}=x^{3}-432$.
3. Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма для любителей, стр. 258., где бирациональную эквивалентность устанавливают элементарными методами.
4. Превращение уравнения Ферма $x^{3}+y^{3}=z^{3}$ в эллиптическую кривую Морделла $y^{2}=x^{3}-432$ показано в книге В.В.Острика Рациональные и эллиптические кривые. См. пост Коровьева http://dxdy.ru/post271193.html#p271193

Заметим, что уравнение в рациональных $1+3{{x}^{2}}=4{{y}^{3}}$ эквивалентно уравнению в целых $z^{6}+3{{x}^{2}}=4{{y}^{3}}$. Неплохая задачка для начинающих ферматиков

Есть хорошая статья, где много чего написано для ВТФ с тройкой, можно сказать монография:
E. S. Selmer, The diophantine equation $ax^{3}+by^{3}+cz^{3}=0$, Acta Math. 85 (1951), 203-362.
http://www.springerlink.com/content/a751782763n06367/
Может кто-нибудь из форумчан имеет доступ к этой статье?

[age]

grisania в сообщении #280697 писал(а):

как это делал Великий Уайлс.

тогда уж великий, не понятый до сих пор Вайлс.

[Батороев]

То, что уравнение Ферма можно привести к эллиптической кривой, я наслышан.
Но где говорится, что уравнение $1+3x^2=4y^3$ можно распространить на всю ВТФ для третьей степени?

Указанное уравнение - это сугубо частный случай ВТФ ($n=3$).
Если бы существовало его решение, то это означало бы только,
что существует решение

$(m+1)^3-m^3=y^3$ (1)

Остальное все - от лукавого.
Пример:

grisania в сообщении #246746 писал(а):

Я порылся в Инете и нашел, что народ в мире эту тему поднимал
http://www.math.washington.edu/~challenge/archive/20090505/index.php
Problem
Find all integer solutions to $1+3{{x}^{2}}=4{{y}^{3}}$.
Solution
http://www.math.washington.edu/~challenge/archive/20090505/flt.pdf
Следовательно, опять сводят к уравнению Ферма для тройки. Один парень за это решение получил приз. Всего было предложено 11 решений.

Цитата:

Problem:
Find all integer solutions to $ 3x^2 + 1 = 4y^3$.
Solution:
The shortest way to do this is to rewrite the equation the following way:
$(1 + x)^3 + (1-x)^3 = (2y)^3$

Определенно видно, что второе слагаемое в левой части - отрицательное.
Поэтому можно переписать:

$(x+1)^3-(x-1)^3=(2y)^3$

Анализируя данное уравнение видно, что $x+1$ и $x-1$ нечетными быть не могут (т.к. их разность тогда должна быть кратна $8$).
Следовательно, они четные. Сокращая все числа на $8$, приходим к уравнению (1).

[age]

grisania в сообщении #270474 писал(а):

Туэ доказал замечательной результат, что неприводимое однородное диофантово уравнение степени больше двух $f(x,y)=c$
может иметь лишь конечное число решений в целых числах.
Следовательно, и уравнение $x^n+y^n=c^n$, а тогда подавно уравнение $x^3+y^3=c^3$ могут иметь лишь конечное число решений в целых числах.

Насколько мне известно, теорема Туэ утверждает что лишь уравнение $x^3+y^3=C$ может иметь конечное число решений. А $x^3+y^3=C$ и $x^3+y^3=z^3$ - согласитесь, разные вещи!

-- Сб янв 16, 2010 15:23:07 --

Батороев в сообщении #280973 писал(а):

То, что уравнение Ферма можно привести к эллиптической кривой, я наслышан.
Но где говорится, что уравнение $1+3x^2=4y^3$ можно распространить на всю ВТФ для третьей степени?

Я тоже так думал.
Кстати, в этой же теме.

[grisania]

Батороев в сообщении #280973 писал(а):

То, что уравнение Ферма можно привести к эллиптической кривой, я наслышан.
Но где говорится, что уравнение $1+3x^2=4y^3$ можно распространить на всю ВТФ для третьей степени?
Указанное уравнение - это сугубо частный случай ВТФ ($n=3$).
Если бы существовало его решение, то это означало бы только,
что существует решение

$(m+1)^3-m^3=y^3$ (1)

Остальное все - от лукавого.

Еще раз - это хорошо известный факт для рациональных, см. Elementary theory of numbers, Wacław Sierpiński, Warszawa 1964, глава 11, стр. 388, http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?to ... 10&jez=pl;

Разве трудно скачать 11-ю главу и заглянуть на стр. 388. Надеюсь, вы Серпинскому верите.
Там написано больше.
Следующие утверждения эквивалентны:
1. Уравнение $1+3x^2=4y^3$ не имеет решения в рациональных, исключая $x=\pm 1,\ y=1$.
2. Уравнение $x^2+x+1=3y^3$ не имеет решения в рациональных, исключая $x=1,\ y=1$.
3. Уравнение $x^3+y^3=1$ не имеет решения в рациональных, исключая $x=1,\ y=0$ и $x=0,\ y=1$.
4. Уравнение $x^3+y^3=z^3$ не имеет решения в рациональных числах $\ne 0$ .

[Батороев]

grisania
Извиняюсь!
Каким то непостижимым образом в течении нескольких дней упорно не замечал слов "в рациональных числах".
Отсюда все мои сомнения.

[grisania]

age в сообщении #280988 писал(а):

grisania в сообщении #270474 писал(а):

Туэ доказал замечательной результат, что неприводимое однородное диофантово уравнение степени больше двух $f(x,y)=c$
может иметь лишь конечное число решений в целых числах.
Следовательно, и уравнение $x^n+y^n=c^n$, а тогда подавно уравнение $x^3+y^3=c^3$ могут иметь лишь конечное число решений в целых числах.

Насколько мне известно, теорема Туэ утверждает что лишь уравнение $x^3+y^3=C$ может иметь конечное число решений. А $x^3+y^3=C$ и $x^3+y^3=z^3$ - согласитесь, разные вещи!

-- Сб янв 16, 2010 15:23:07 --
-------------------------

shwedka мне на это уже указала, shwedka в http://dxdy.ru/post270480.html#p270480
Поэтому я стал выкручиваться как загнанный в угол ферматик - grisania в http://dxdy.ru/post270631.html#p270631

[tapos]

Метод бесконечного спуска основывается на следующем принципе: Если из предположения, согласно которому данное положительное целое число обладает данным множеством свойств, следует, что существует меньшее положительное целое с тем же множеством свойств, то ни одно положительное целое число не может обладать этим множеством свойств (Г.Эдвардс. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. Пер. с англ. В.Л.Калинина и А.И.Склпина. Под ред. Б.Ф.Скубенко. М., Мир, 1980, с.21-22). Привожу подробно источник во избежании дискуссии по этому вопросу.
Метод бесконечного спуска – это метод математической индукции, но сверху вниз (от большего к меньшему). Однако по индукции обязательно необходимо наличие доказательства для наименьшего значения, а за тем из предположения о соблюдении закономерности для некоторого n необходимо доказать соблюдения закономерности для n+1. Поэтому метод бесконечного спуска должен быть дополнением требованием о необходимости доказывания отсутствия или наличия множества свойств для наименьшего значения формулы. Именно здесь лежит главная проблема использования метода бесконечного спуска для доказательства теоремы Ферма. Дело в том, что теорема Ферма имеет решения для показателя степени 1 и 2. Для остальных значений решений нет. А для применения метода математической индукции или метода бесконечного спуска необходимо не менее 3-х значений. Поэтому доказать теорему Ферма методом бесконечного спуска в существующей формулировке невозможно. Однако если добавить метод бесконечного спуска требованием наличия доказательства для наименьшего значения, то теорема Ферма легко доказывается элементарными средствами. Единственная трудность - это доказательство существования наименьшего решения уравнения Ферма. Как не удивительно, но наименьшее решение является функцией от показателя степени. Уравнение Ферма имеет решение только при тех показателях степени, при которых имеет решение уравнение:
$(n + 1)^n + (n+2)^n = (n+3)^n$ Это уравнение имеет решение только при n=2. При больших показателях степени уравнение не имеет решения в силу нарушения четности. В левой части получается нечетное число, а в правой части - четное. Этот результат уже много лет опубликован на сайте: ссылка удалена
Как не удивительно, но приведенное уравнение нельзя применять для показателя степени n=1 потому что формула выведена при условии n>1. =Андрейчиков Николай Иосифович.

Предупреждение за рекламу сторонних ресурсов!

[12d3]

tapos в сообщении #289090 писал(а):

В левой части получается нечетное число, а в правой части - четное.

Возьмите $n=4$. Слева 1921, а справа 2401. Оба нечетные.

[tapos]

Прошу прощения, но формула вычисления наименьшего решения выведена для всех простых чисел n=2, 3, 5, 7, ... Доказательство для n=4, 8, 16 ... опубликовано давно. Однако мне неизвестно доказательство без использования метода бесконечного спуска.