О методе бесконечного спуска.

[Коровьев]

grisania в сообщении #270631 писал(а):

Предположим, что него установлено существование конечного числа рациональных решений без сведения к уравнению Ферма

Из теории эллиптических кривых это уже установлено, правда как, не знаю. Ранг этой кривой Ферма равен нулю, следовательно уравнение не имеет бесконечных серий решений в рациональных числах.

[ananova]

Арифметические ограничения для уравнения ($432=3^3*4^2$):
x, y - нечетные;
если y кратно 3, то и x кратно 3 (чего не может быть для ВТФ, т.к. следует, если x и y являются гипотетическими решениями ВТФ для n=3, то следует, что и z кратно 3).
Делаю вывод, что данная кривая Мордела соответствует Первому случаю ВТФ, когда x,y,z не кратны 3.
Этот случай ВТФ swedka доказывает в три строчки.
Таким образом, в целых числах решений нет для этой кривой, при условии, что эта кривая Мордела выведена из уравнения ВТФ.

[Коровьев]

ananova в сообщении #270866 писал(а):

Делаю вывод, что данная кривая Мордела соответствует Первому случаю ВТФ, когда x,y,z не кратны 3.

Нет, это не верно.
$x,y $ не те, что в уравнении Ферма.
Эта кривая Мордела получена из уравнения Ферма путём так называемой проективной замены координат. Проще - заменой переменных.

[age]

ananova
Данная кривая Морделла соответствует лишь случаю $x^3+y^3=(x+1)^3$

[ananova]

age,
благодарю за уточнение.
Допуская, что в таком уравнении и $x$, и $y$ кратно 3, следует, что правая часть уравнения не кратна 3. Делаю вывод, что кривая Морделла, действительно другая проекция ВТФ. Ведь у нее - если левая часть кратна 3, то и правая кратна 3.
Странная проекция, однако. Буду думать.

[grisania]

ananova в сообщении #270866 писал(а):

-------------------------------------------
Делаю вывод, что данная кривая Мордела соответствует Первому случаю ВТФ, когда x,y,z не кратны 3.
Этот случай ВТФ swedka доказывает в три строчки.
-------------------

Доказательства swedki Первого Случая ВТФ для тройки в три строчки я не видел, но изумительное доказательство в три строчки на форуме дал Гаджимурат:
см. сообщение #253878"
Жаль, что Гаджимурат его не оформил до конца, а перешел сразу к Первому Случаю ВТФ для пятерки.

Было бы любопытно его сравнить с доказательством swedki.

[Коровьев]

Превращение уравнения Ферма в эллиптическую кривую Морделла показано в книге В.В.Острика Рациональные и эллиптические кривые

$ a^3 + b^3 = c^3 $

$ x = \frac{a}{c},y = \frac{b}{c} $

$ x^3 + y^3 = 1 $

$ x = s - t,y = t$

$ s^3 - 3st(s - t) = 1 $

$ s = \frac{1}{{3u}},t = \frac{{6v + 1}}{{6u}}$

$ v^2 = u^3 - \frac{1}{{108}}$

$ (2^3 3^2 v)^2 = (2^2 3^3 u)^3 - 432 $

$ Y^2 = X^3 - 432$

[ananova]

Цитата:

Доказательства swedki Первого Случая ВТФ для тройки в три строчки я не видел, но изумительное доказательство в три строчки на форуме дал Гаджимурат....

Было бы любопытно его сравнить с доказательством swedki.

swedka скомпилировала и подсократила чье-то доказательство сама. Ее результат можно посмотреть тут:
post261157.html#p261157

Похожий результат Перрена (1885 г.) можно найти у Рибенбойма на странице 255 (изд-во Мир, 2003 год).

[shwedka]

ananova в сообщении #271343 писал(а):

swedka скомпилировала и подсократила чье-то доказательство сама.

Я никогда не утверждала, что доказательство мое. Всего лишь изложение мое.

[ananova]

В курсе. В силу краткости - результат очевидно заслуживает внимания.

[Батороев]

ananova в сообщении #271343 писал(а):

Цитата:

Доказательства swedki Первого Случая ВТФ для тройки в три строчки я не видел, но изумительное доказательство в три строчки на форуме дал Гаджимурат....

Было бы любопытно его сравнить с доказательством swedki.

swedka скомпилировала и подсократила чье-то доказательство сама. Ее результат можно посмотреть тут:
post261157.html#p261157

Добавлю другие три строчки:
Остатки кубов чисел, не кратных трем: $a^3; b^3 \equiv \pm 1\pmod 9$.
Суммы двух кубов, не кратные трем: $a^3+b^3\equiv \pm 2 \pmod 9$.
$c^3\not\equiv \pm 2\pmod 9$.

[shwedka]

Тоже красиво

[yk2ru]

И наверное даже проще.

[Руст]

На самом деле это проходит для многих p. Достаточно выписать остатки $1^p=1, 2^p\mod p^2,...,((p-1)/2)^p\mod p^2$ и смотреть нет ли сравнения $1+x^p=(x+1)^p\mod p^2$ для числа $(p-1/2)^p\not =(p^2\pm 1)/2 \mod p^2$. Если нет, то первый случай для этого $p$ уже доказано сравнением по модулю $p^2$. Это имеется в книге Рибенбойма. Не знаю сколько таких простых. Но оно проходит для $p=3,5,11,...$

[Батороев]

Еще одно симпатичное тождество (получаемое из тождества, которое использовала shwedka).
Может, кому-нибудь пригодится.

$$3(x+y)(z-x)(z-y)=(x+y-z)^3$$

$$27x^2y^2z^2(x+y)(z-x)(z-y)=9x^2y^2z^2(x+y-z)^3$$

$$ 3xy(x+y)\cdot 3xz(z-x)\cdot 3yz(z-y)=9x^2y^2z^2(x+y-z)^3$$

$$[(x+y)^3-(x^3+y^3)]\cdot[(z^3-x^3)-(z-x)^3]\cdot[(z^3-y^3)-(z-y)^3]=9x^2y^2z^2(x+y-z)^3$$

$$[(x+y)^3-z^3]\cdot[y^3-(z-x)^3]\cdot[x^3-(z-y)^3]=9x^2y^2z^2(x+y-z)^3$$

$$(x+y-z)\cdot[(x+y)^2+(x+y)z+z^2]\cdot(z-x-y)\cdot[y^2+y(z-x)+(z-x)^2]\cdot(z-x-y)\cdot[x^2+x(z-y)+(z-y)^2] = 9x^2y^2z^2(x+y-z)^3$$

$$ [(\frac{x+y}{z})^2+(\frac{x+y}{z})+1]\cdot[(\frac{z-x}{y})^2+(\frac{z-x}{y})+1]\cdot[(\frac{z-y}{x})^2+(\frac{z-y}{x})+1]=9$$

(1)