Нет проблем?

[бобыль]

Как вы думаете, почему уравнения, как правило, выглядят проще своих решений? И почему с этим мирятся?

Почему сплошь и рядом задачи формулируются в элементарных терминах, но для их решения приходится прибегать к неэлементарным методам и новым понятиям? Даже для решения квадратных уравнений потребовалось изобретать новые, "мнимые" числа (однако почему-то для высших степеней их оказалось уже достаточно). Про ВТФ и говорить нечего.

Почему считается нормальным, что обратные операции сложнее исходных? Сравните умножение и деление, вспомните кодирование и декодирование.

Может быть тут есть проблема? и мы не все правильно делаем? Ведь есть же задачи, поставленные корректно в одних метриках и некорректно в других, хотя корректность и некорректность - это все же не совсем то, о чем спрашивается...

Вот и сами эти вопросы: задавать-то я их назадавал, но что на них можно ответить?..

[Someone]

бобыль писал(а):

И почему с этим мирятся?

А что Вы предлагаете?

[бобыль]

Возможно, уравнения потому трудно решать, что их слишком легко составили, это плата за легкомыслие.

Возьмем алгебраические уравнения и их решения в радикалах или отсутствие таких решений. Мало того, что радикалы - это уже сложно, да их еще и недостаточно. С другой стороны, они вроде бы обратны и поэтому адекватны степени. Значит, вряд ли их можно заменить чем-то другим, одновременно более простым и исчерпывающим. Скорее сами уравнения следует переформулировать в других терминах, как-то посложнее, чтобы сама их формулировка в значительной мере содержала и их решение и не предполагала радикалов. Может, уравнения требуется неким образом регуляризовать?..

А возможно, это написала моя глупость.

[dmd]

Думаю, основная проблема в убогости математического синтаксиса, убогость эта - в недостаточной динамичности, точнее в недостаточном отражении динамичности рассматриваемых мат.объектов. Например, как вводят определение функции - как отражение одного множества на другое!!!? Это же статичная фотография, всё равно что мертвеца сфоткали:). И это при том, что дальше функции должны играть основную роль в матане - сфере сплошной динамики. Дело тут с одной стороны в шаблонном использовании текущего мат.синтаксиса, с другой - в его принципиальной недостаточности отражать динамику. Ведь на самом деле любое нелинейное изменение от состояния к состоянию ветвится по структуре треугольника Паскаля, и в этом заключается грандиозная по своей динамичности картина изменений даже у самой простой нелинейности. Но текущий мат.синтаксис не способен этого отразить. Потому что это синтаксис средневековых математиков, которые рассматривали в основном статичные мат.объекты. Но сейчас уже 21-й век, думаю - грядет синтаксисная революция в математике.

[незваный гость]

dmd писал(а):

точнее в недостаточном отражении динамичности рассматриваемых мат.объектов

И в чем же Вы видите недостаточность? В том, что Вам лень ввести "время" как параметр? Нужна динамика, рассмотрите $f_t(x)$ или $f(t; x)$, нужно многомерное время — $f_{\bar{t}}(x)$ или $f(\bar{t}; x)$.

У математики вообще нет жесткого синтаксиса. Есть принятая система нотации. Но при образованиии новых областей математики часто появляется и новая нотация, которая ранее не существовала. Могу заметить, что современная нотация матана заметно отличается от нотации отцов-основателей: вряд ли бы Ферма сумел сходу понять современную формулировку своих собственных теорем матана.

[dmd]

Время тут ни причём. Связывать динамику только со временем - пример статичного подхода. В абстрактном мат.рассмотрении любые меняющиеся величины (переменные) равнозначны, время ни чем не лучше любой другой переменной для астрактной математики. Думаю всё таки, что у современной математики есть жесткий синтаксический каркас с четкими границами, за пределами которых - плохо описуемая в этом каркасе динамика.

[незваный гость]

Что-то я плохо Вас понимаю (хотя про время — согласен, именно это меня и удивило). Пример бы динамики поконкретнее, чтобы синтаксиса не хватало.

[бобыль]

Не хотел в этой ветке говорить про ВТ Ферма, но в другой ветке мой вопрос отнесли к "околонаучному флейму", поэтому скажу.

Перепишем уравнение Ферма следующим образом:

$$50 \cdot (1 + x/100)^n + 50 \cdot (1 + y/100)^n = 50 \cdot (1 + z/100)^n .&&

Какой у него содержательный смысл? Ну, например, такой: мы берем в долг две одинаковые суммы денег, здесь по 50 единиц, на одинаковое число лет n под, вообще говоря разные, x и y процентов, одну сумму проедаем, а другую сумму отдаем в рост под z процентов, чтобы по истечении того же времени, пусть n = 3 года, вернуть обе наши долговые суммы с процентами. Теорема Ферма говорит, что это невозможно. Но почему же?

Для начала два простых возражения:

(1) нет необходимости соблюдать равенство, достаточно, чтобы правая часть превышала левую; превышение нам даже выгодно, однако не будем жадничать и положим, например, z = 5%, если х = 2% и у = 3%, и

(2) проесть половину взятой в долг суммы - это слишком жирно, хватит с нас и 5 единиц из 100.

Тогда

$$50 \cdot 102^3 + 50 \cdot 103^3 < 95 \cdot 105^3 .&&

С другой стороны,

$$50 \cdot 102^3 + 50 \cdot 103^3 > 95 \cdot 104^3 .&&

Разве это неразумно? Чем вам не решение? Коммерческие банки делают так постоянно.

[Yuri Gendelman]

бобыль писал(а):

Теорема Ферма говорит, что это невозможно. Но почему же?
...
Тогда
$$50 \cdot 102^3 + 50 \cdot 103^3 < 95 \cdot 105^3 .&&
С другой стороны,
$$50 \cdot 102^3 + 50 \cdot 103^3 > 95 \cdot 104^3 .&&
Разве это неразумно? Чем вам не решение? Коммерческие банки делают так постоянно.

Это разумно, но не имеет отношения к ВТ Ферма.
ВТ Ферма утверждает, что уравнение $x^n + y^n = z^n$ при n > 4 не имеет рациональных решений. Считать, что это уравнение не имеет приближенных решений - это уже Ваша личная, причем неверная, ее (ВТФ) интерпретация.
И коммерческие банки тоже с Вами не согласны.

По поводу основного вопроса:

бобыль писал(а):

Как вы думаете, почему уравнения, как правило, выглядят проще своих решений? И почему с этим мирятся?

Тут есть определенная аналогия с утверждением о том что один, не помню кто, может задать столько вопросов, что сто, не помню кого, не ответят. Почему с этим мирятся? Сам удивляюсь. С другой стороны - а что делать? Вопросы порой попадаются интересные. Например ВТФ.

[бобыль]

Хорошо, пусть моя содержательная интепретация ВТФ разумна, но неверна (!). Это еще не все, мысль моего "флейма" (слово, мне не очень понятное слово, но обидное) идет дальше...

Предложите, пожалуйста, свою собственную содержательную интерпретацию ВТФ, не математическую, а мало-мальски экономическую, физическую, химическую или иную, но такую, чтобы небольшие житейские возражения не могли обесценить эту интерпретацию полностью, т.е. чтобы она была в этом смысле устойчивой. Если предложите, то честь Вам и хвала. С радостью поизучаю ее. Ну а если не предложите, то объясните мне, еще раз пожалуйста, что бы эта неудача могла означать?

P.S. А что касается одного дурака и десяти умных, то ведь я о том и спрашивал, почему наука так устроена и мирится с тем, что дурак способен задавать содержательные вопросы, т.е. в ней нет подобающей "защиты от дурака"?

[Руст]

В книге Рибенбойма "Последняя теорема Ферма" имеется 10 эквивалентных ВТФ формулировок. В том числе геометрическая: Если в треугольнике АВС угол А прямой, длина стороны АВ равна 2 и сумма длин сторон АВ+ВС является n - ой степенью рационального числа, то длина стороны АС иррациональна. (стр. 265)
Есть и интересная комбинаторная переформулировка (стр. 268).

[Yuri Gendelman]

бобыль писал(а):

P.S. А что касается одного дурака и десяти умных, то ведь я о том и спрашивал, почему наука так устроена и мирится с тем, что дурак способен задавать содержательные вопросы, т.е. в ней нет подобающей "защиты от дурака"?

Не надо передергивать. В известной русской пословице говорится именно о дурацких вопросах. Это Вы подсунули сюда: "дурак способен задавать содержательные вопросы". Отнюдь. Чтобы задать действительно содержательный вопрос, нужен талант.

бобыль писал(а):

Хорошо, пусть моя содержательная интепретация ВТФ разумна, но неверна (!).

По моему мнению у Вас нет никакой интепретации. Ваши рассуждения не имеют отношения к ВТФ. Поясню на примере: из агебры известно, что решение уравнения 5-й степени не может быть записано в радикалах. Ну и что? Уравнения любой степени, и даже трансцендентные, решаются численными методами. Даже для ур-ний 3-й степени никто не использует формулу Кардано. И в коммерческих банках тоже об этом знают!

бобыль писал(а):

Предложите, пожалуйста, свою собственную содержательную интерпретацию ВТФ, не математическую, а мало-мальски экономическую, физическую, химическую или иную, но такую, чтобы небольшие житейские возражения не могли обесценить эту интерпретацию полностью, т.е. чтобы она была в этом смысле устойчивой. Если предложите, то честь Вам и хвала. С радостью поизучаю ее. Ну а если не предложите, то объясните мне, еще раз пожалуйста, что бы эта неудача могла означать?

Какие же это "житейские возражения полностью обесценивают ВТФ"? То, что Вы описали в "задаче о двух кредитах и одной инвестиции", не имеет отношения к ВТФ: формула та же, но требования к решению другие.

[бобыль]

Yuri Gendelman писал(а):

Какие же это "житейские возражения полностью обесценивают ВТФ"? То, что Вы описали в "задаче о двух кредитах и одной инвестиции", не имеет отношения к ВТФ: формула та же, но требования к решению другие.

Вы закавычили то, чего я не говорил. Они обесценивают не ВТФ, а ее интерпретации. А что это означает для самой ВТФ? - это другой вопрос. Вы ничего не поняли. То, что моя интерпертация неудачна, мне как раз наруку. Но одной неудачной интерпретации мне мало. Предложите, пожалуйста, свою, мало-мальски экономическую, мало-мальски интересную и удачную. Мы ее покритикуем, не одному же мне все время подставляться. Если таких не окажется - то чего же здесь хорошего?! Можете не спешить, я подожду...

[Yuri Gendelman]

бобыль писал(а):

Yuri Gendelman писал(а):

Какие же это "житейские возражения полностью обесценивают ВТФ"? То, что Вы описали в "задаче о двух кредитах и одной инвестиции", не имеет отношения к ВТФ: формула та же, но требования к решению другие.

Вы закавычили то, чего я не говорил. Они обесценивают не ВТФ, а ее интерпретации.
...
Вы ничего не поняли.

Прощу прощения, если это помешало кому-то правильно Вас понять, но в кавычках у меня не цитата, а "фраза по мотивам". Все цитаты - в тегах quote. И я таки ничего не понял! Пусть тот, кто понял, бросит в меня камень.
Я не знаю, что Вы считаете "содержательной интерпретацией ВТФ" (не цитата!). IMHO Ваша задача не имеет отношения к несчастной теореме.

бобыль писал(а):

Даже для решения квадратных уравнений потребовалось изобретать новые, "мнимые" числа (однако почему-то для высших степеней их оказалось уже достаточно).

А Вы разве не знаете почему достаточно?

бобыль писал(а):

Как вы думаете, почему уравнения, как правило, выглядят проще своих решений? И почему с этим мирятся?

Я не только мирюсь с этим. Я этому очень рад. Если бы ответы на некоторые простые вопросы не были сложнее самих вопросов, то наука не разивалась бы.

[бобыль]

Yuri Gendelman писал(а):

Я не только мирюсь с этим. Я этому очень рад. Если бы ответы на некоторые простые вопросы не были сложнее самих вопросов, то наука не разивалась бы.

Тут надо стремиться к золотой середине.