Школьная задача

[Digitex]

Помогите, пожалуйста, решить задачу:
Доску прокатывают по двум каткам. Какой путь относительно дороги пройдет доска, когда она займет конечное положение, показанное на рисунке? Длина доски 10 м, расстояние между катками 6 м.


Я думаю, что ответ - 4 м. Но как это доказать? В чём подвох здесь?

[gris]

Правый каток ни к чему ( он просто указывает положение левого).

Определите, на сколько сдвинется край доски относительно левого катка, и на сколько сдвинется левый каток относительно дороги. И сложите результаты.
Подвох в понятии систем координат и их относительном перемещении.

Покатайте линейку по круглым карандашам и увидите всё в натуральном виде.

[Digitex]

Относительно левого катка доска сдвинется на 4 см.
А как найти второе слагаемое?

[gris]

Вот правильно. Обратите, кстати, внимание, что радиус катка не задан. Значит от него ничего не зависит. (Ещё одно кстати - что картинка не соответствует тексту задачи. На ней расстояние между катками - 4 метра ).

Ну так вот. Каток под доской поворачивается на некоторый угол. При этом он катится по дороге. И как соотносится дуга, прокатившаяся по доске, с дугой, прокатившейся по дороге?
Для нагладности представьте, что каток сделал один оборот под доской. На какое расстояние он отъедет вперёд?

[Digitex]

Дуга, прокатившаяся по доске, в 2 раза меньше дуги, прокатившейся по дороге, т.е. левый каток сдвинется на 2*4=8 м.
Итого: 4+8=12 м. Так верно?

[gris]

Почему же она в два раза меньше?
Поставьте красную точку на катке в точке касания с дорогой и синюю в точке касания с доской. Прокатите каток так, чтобы синяя точка сделала полный оборот. Что будет с красной точкой?

[Digitex]

Красная точка тоже сделает один оборот. И какой вывод можно сделать?

[gris]

Что дуги равны. Расстояние, на которое сместится доска относительно катка равно длине дуги, которую опишет синяя точка, что равно длине дуги, которую опишет красная точка, что равно расстоянию, на которое сдвинется каток.

[ewert]

да зачем обороты, дуги... Просто есть известный кинематический факт (и его надо помнить): скорость движения верхней точки на ободе колеса ровно вдвое больше, чем скорость его центра. И вот при таких-то скоростях левый край доски должен догнать левое колесо. Из этого и исходите.

[Digitex]

ewert, gris, спасибо вам за ценные советы.
Итоговый ответ: относительно дороги доска пройдет 4+4=8 м. Верно?

[ewert]

Верно.

[gris]

А самое простое решение - с линейкой и карандашом. Зря Вы не попробовали.

А кинематический факт это жесть. Ведь тогда скорость нижней точки колеса равна нулю и колесо вообще не сдвинется с места. Ужас! Ужас!

[ewert]

(Оффтоп)

gris в сообщении #280244 писал(а):

Ведь тогда скорость нижней точки колеса равна нулю и колесо вообще не сдвинется с места.

gris, не сбивайте человека с толку. Ведь он(а) может подумать, что тут и впрямь какой-то подвох. А зачем?...

[Виктор Ширшов]

ewert в сообщении #280232 писал(а):

Просто есть известный кинематический факт (и его надо помнить): скорость движения верхней точки на ободе колеса ровно вдвое больше, чем скорость его центра.

ewert. Может этот кинематический факт применить на небесное колесо: Землю? Подумайте. У меня такая идея жарится.

[ewert]

Виктор Ширшов в сообщении #280288 писал(а):

ewert. Может этот кинематический факт применить на небесное колесо: Землю? Подумайте.

И не подумаю.