Уникальные свойства чисел

[AD]

Lyosha в сообщении #279411 писал(а):

А ведь отношение "меньше"--оно же вроде нерефлексивно?

Хотите сказать, что наименьших элементов вообще не бывает, потому что никто не может быть меньше себя?
Тогда/иначе уточняйте Ваше определение наименьшего элемента.

[Lyosha]

AD в сообщении #279544 писал(а):

Хотите сказать, что наименьших элементов вообще не бывает, потому что никто не может быть меньше себя?
Тогда/иначе уточняйте Ваше определение наименьшего элемента.

Ну,из того что никто не может быть меньше себя не следует,что наименьших чисел не бывает.

А по поводу наименьших...Просто понятие наименьшее число у меня ассоциировалось с отношением меньше(хотя,это ни к чему не обязывает).Если же это понятие связывать с отношением не больше,то в одноэлементом множестве содержится наименьший элемент(число).

[AD]

Lyosha в сообщении #279556 писал(а):

Ну,из того что никто не может быть меньше себя не следует,что наименьших чисел не бывает.

Ну вот и расскажите же мне, почему не следует, и причем тут количество элементов в множестве. Пока что ничего не понял в Вашем последнем тексте.

[Lyosha]

AD в сообщении #279586 писал(а):

Ну вот и расскажите же мне, почему не следует, и причем тут количество элементов в множестве. Пока что ничего не понял в Вашем последнем тексте.

Не следует потому,что я пользовался следующим определением.

Определение 1.Наименьшим числом во множестве некоторых чисел называется такое число,которое меньше каждого другого числа из этого множества.

Т.е.в данном случае,чтобы назвать число наименьшим необходимо наличие других чисел в этом множестве.И если во множестве содержится более одного числа,то среди них найдётся число,меньшее каждого другого числа.

Если же воспользоваться следующим определением.

Определение 2.Наименьшим числом во множестве некоторых чисел называется число,не превосходящее любое число из этого множества.

То в данном случае одноэлементное множество будет содержать наименьший элемент,т.к. для любого числа справедливо что оно не больше самого себя.

Просто когда я утверждал,что одноэлементное множество не имеет наименьший элемент,я неосознанно пользовался определением 1.Отсюда и возникшие разногласия.

[Бодигрим]

Обычно элемент множества называют наименьшим, если не существует другого элемента, который был бы меньше данного.

[Lyosha]

Lyosha в сообщении #279631 писал(а):

Определение 2.Наименьшим числом во множестве некоторых чисел называется число,не превосходящее любое число из этого множества.

Бодигрим в сообщении #279642 писал(а):

Обычно элемент множества называют наименьшим, если не существует другого элемента, который был бы меньше данного.

По-моему,эти определения эквивалентны.

[Xaositect]

Элемент $m$ называется наименьшим, если $\forall x (m\leq x)$.
Элемент $m$ называется минимальным, если $\neg \exists x (x < m)$.

Если у нас порядок линейный, то эти понятия совпадают, если нет - то могут различаться.

Определения 1 и 2 у Lyosha равносильны - если в множестве кроме $m$ ничего нет, то он меньше всех остальных элементов (квантор общности по пустому множеству).

[AD]

А, кажется, дошло, в чём дело. Lyosha просто у нас не любит Vacuous truth'ы.

[Sashamandra]

Сначала нужно определить "элементарное свойство числа". Назовем "элементарным свойством числа" такое свойство, для выражения которого не требуется использовать имена чисел (константы). Например, наименьшее натуральное число. Тогда можно доказать, что все натуральные числа уникальным. Это так, потому что "быть следующим за наименьшим числом" является элементарным свойством. "Быть следующим за следующим за наименьшим числом" также является элементарным свойством. И так далее...

[Nik_Nikols]

Dialectic в сообщении #278935 писал(а):

Как известно все натуральные числа отличаются между собой ... Про многие числа мне известно, что только они во всей вселенной обладают определёнными свойствами, которыми более ни одно число не обладает. Но верно ли это вообще для всех чисел?

Интересно, когда-то я задавался подобным вопросом, и пытался придать ему более или менее точный смысл. Сложно отрицать, что в постановке вопроса есть некоторая идея. Кажется, что аккуратно балансируя между "естественностью" и "нетривиальностью", таки можно найти приемлемую для обсуждения (по крайней мере в курилке) форму вопроса.

Эсскиз: Пусть $M(L)$ - класс всех моделей языка $L$, $\mathcal{F}$ - некоторая функция из $M(L)$ в класс кардиналов, $\mathbb{S}$ - некоторое семейство классов $S\subseteq M(L)$.

Класс $S$ $\mathcal{F}$-определяет натуральное $n$, если для всех моделей $M\in S$ имеет место $ \mathcal{F}(M)=n$. Вариант: для всех моделей $M\in S$ имеет место $\mathcal{F}(M)\leq n$; еще вариант: для всех конечных моделей $M\in S$ имеет место $\mathcal{F}(M)\leq n$. Какой из вариантов разумнее, не знаю.

Будем говорить, что натуральное (или любой кардинал) $n$ $\mathcal{F}$-уникально относительно $\mathbb{S}$, если $\mathbb{S}$ содержит класс $S$, который определяет $n$.

Для некоторых семейств $\mathbb{S}$ подклассов $M(L)$ вопрос о количестве $\mathcal{F}$-уникальных чисел выглядит достаточно осмысленным и, быть может, в некоторой степени отражает интуитивное содержание заданного вопроса.

В качестве естественной функции $\mathcal{F}$ может, конечно, выступать мощность модели (хотя, впрочем, и число образующих, и иные непервопорядковые характеристики). Остановимся пока на мощности.

Поскольку говорится о неких свойствах чисел, хочется видеть на первый случай синтаксически охарактеризованные классы $\mathbb{S}$. Очевидно, общий первопорядковый случай, состоящий в рассмотрении всех аксиоматизируемых (или конечно аксиоматизируемых) классов, тривиален: любое $n$ является единственной мощностью моделей теории "существует ровно $n$ элементов" в языке с единственным символом равенства.

Этот тривиальный случай, впрочем, наводит на некоторую мысль (слегка уводящую в сторону). Формула "существует ровно $n$ элементов" довольно длинная. Ограничимся формулами произвольного языка первого порядка длины длины не более $k$, т.е. рассмотрим семейство $\mathbb{S}_{k}$ классов моделей формул длины не больше k. Очевидно, определена функция, ставящая в соответствие каждому $k$ максимальное число $n$, $\mathcal{F}$-уникальное относительно $\mathbb{S}_{k}$, где $\mathcal{F}$ - мощность (при любом варианте определения уникальности). Как ведет себя такая функция? Предположние навскидку: растет быстрее любой рекурсивной (при каких-то ограничениях на язык).

Другой из многочисленных вопросов подобного характера. Рассмотрим семейство классов всех 2-порожденных групп (полугрупп, группоидов etc.), заданных одним тождеством (или конечным множеством тождеств). Как в этом случае обстоит дело с количеством уникальных чисел в смысле мощности (или в смысле, к примеру, мощности минимальных по включению алгебр)?
(Здесь мы лишили себя возможности явно задать количество элементов).

Т.е., как кажется, осмысленных интерпретаций первоначального вопроса много. А вот может ли быть общий подход?

[General]

Цитата:

Интересно, когда-то я задавался подобным вопросом

+1

Вот, к примеру, на Арбузе что было:
http://arbuz.uz/z_numbers.html

D качестве первого приближения, думаю, можно поступить так. Выделить некоторые интересные подмножества натуральных чисел: простые, квадраты, треугольные, числа Фибоначчи и т.п.
Если пересечение нескольких из этих подмножеств имеет в себе единственные элемент, число n, то число n будет иметь уникальное свойство.

Если же в пересечении нескольких интересных подмножеств будет не один элемент, то там можно будет выделить наименьший и, если пересечение конечно, то и наибольший - это тоже будут уникальные свойства чисел.

[PaxVobiscum]

А если задачу сформулировать так:
Существует ли счётная последовательность предикатов $P(n)$ заданных на множестве натуральных чисел, удовлетворяющая следующим условиям:
1. $\forall i \forall n ((P_i (n) \Longleftrightarrow n=i ) \wedge P_i(i))$
2. $\forall i \forall j \forall n \forall k (i \neq j \Longrightarrow \neg (P_i (n) \Longleftrightarrow P_j(k) )$
Тогда предикаты типа $n-1<n<n+1$ отпадают.
Это то что имелось ввиду?

[General]

А что если каждое свойство числа n оценить некоей мерой интересности по нечёткой шкале?

[Dialectic]

AD в сообщении #278981 писал(а):

Народ, о чём Вы спорите-то? Общеизвестно же.

Теорема. Каждое натуральное число уникально.

Доказательство. Действительно, обозначим $X=\{n\in\mathbb{N}: n\ \textbf{не}\text{ уникально}\}$. Предположим, что $X\neq\varnothing$. Тогда в $X$ найдется минимальный элемент $x=\min X\in X$. Но тогда $x$ обладает уникальным свойством быть наименьшим из неуникальных чисел, и потому $x\notin X$. Противоречие возникло из-за того, что мы предположили, что $X\neq\varnothing$. Значит, $X=\varnothing$, что и завершает доказательство. $\square$.

:[|||||]:

Это красиво. Как теперь доказать, что каждое число обладает бесконечным количеством уникальных свойств?

[AGu]

Dialectic в сообщении #296324 писал(а):

Это красиво.

Ага, симпатичный стёб.

Dialectic в сообщении #296324 писал(а):

Как теперь доказать, что каждое число обладает бесконечным количеством уникальных свойств?

Включаясь в стёб, замечу, что все уникальные свойства фиксированного числа попарно эквивалентны, так как если $\varphi$ и $\psi$ — уникальные свойства числа $n$, то для любого $m$ мы имеем $\varphi(m)\Leftrightarrow(m=n)\Leftrightarrow\psi(m)$. Стало быть, «логически различных» уникальных свойств у одного и того же числа не бывает. Ну а «синтаксически различных» — действительно бесконечно много: если $\varphi$ — уникальное свойство какого-либо числа, то, например, $\varphi\,\&\,\varphi\,\&\,\cdots\,\&\,\varphi$ — тоже уникальное свойство этого же числа.