2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Уникальные свойства чисел
Сообщение09.01.2010, 19:02 


27/08/06
579
maxal в сообщении #278963 писал(а):
Чтобы ответить на этот вопрос нужно чётко определить, что такое "этикетка".

Это интуитивное понятие. Определить не могу.
Можно конечно сказать, что это упорядоченная совокупность знаков, называемых буквами, и обладающая способностью предоставить мыслящему субъекту информацию, владея которой он мог бы однозначно отличить это число от всех других и никогда не ошибиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уникальные свойства чисел
Сообщение09.01.2010, 19:06 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Dialectic в сообщении #278968 писал(а):
Можно конечно сказать, что это упорядоченная совокупность знаков, называемых буквами, и обладающая способностью предоставить мыслящему субъекту информацию, владея которой он мог бы однозначно отличить это число от всех других и никогда не ошибиться.

Ну тогда запись числа в десятичной системе счисления является его уникальной этикеткой.

-- Sat Jan 09, 2010 11:12:12 --

Dialectic в сообщении #278968 писал(а):
Это интуитивное понятие. Определить не могу.

Это переводит ваш вопрос в разряд "принесите мне то, не знаю что".

 Профиль  
                  
 
 Re: Уникальные свойства чисел
Сообщение09.01.2010, 19:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Dialectic в сообщении #278964 писал(а):
Xaositect в сообщении #278959 писал(а):
Если да, то для каждого числа есть нетривиальное свойство, которое его выделяет. Сейчас попробую что-нибудь хитрое придумать :)

Было бы интересно!

Вот - любое число можно охарактеризовать отношением, полученным из отношения равенства, делимости и функции $\pi(x)$(количество простых чисел, меньших $x$) с помощью отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, кванторов .
Вроде у меня получилось разложить на простые множители с помощью этой фигни. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уникальные свойства чисел
Сообщение09.01.2010, 19:20 


27/08/06
579
Xaositect в сообщении #278975 писал(а):
Dialectic в сообщении #278964 писал(а):
Xaositect в сообщении #278959 писал(а):
Если да, то для каждого числа есть нетривиальное свойство, которое его выделяет. Сейчас попробую что-нибудь хитрое придумать :)

Было бы интересно!

Вот - любое число можно охарактеризовать отношением, полученным из отношения равенства, делимости и функции $\pi(x)$(количество простых чисел, меньших $x$) с помощью отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, кванторов .
Вроде у меня получилось разложить на простые множители с помощью этой фигни. :)

Давате рассмотрим какой-нибудь пример. Ну например для числа 7.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уникальные свойства чисел
Сообщение09.01.2010, 19:25 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Народ, о чём Вы спорите-то? Общеизвестно же.

Теорема. Каждое натуральное число уникально.

Доказательство. Действительно, обозначим $X=\{n\in\mathbb{N}: n\  \textbf{не}\text{ уникально}\}$. Предположим, что $X\neq\varnothing$. Тогда в $X$ найдется минимальный элемент $x=\min X\in X$. Но тогда $x$ обладает уникальным свойством быть наименьшим из неуникальных чисел, и потому $x\notin X$. Противоречие возникло из-за того, что мы предположили, что $X\neq\varnothing$. Значит, $X=\varnothing$, что и завершает доказательство. $\square$.

:[|||||]:

 Профиль  
                  
 
 Re: Уникальные свойства чисел
Сообщение09.01.2010, 19:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Для 7 просто
$x = 7 \equiv (x \text{ - простое } \&\ \pi(x) = 3)$
$y = 3 \equiv (y \text{ - простое } \&\ \pi(x) = 1)$
$z = 1 \equiv \forall t (z\mid t)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уникальные свойства чисел
Сообщение09.01.2010, 19:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
А набор простых делителей является "тривиальным" свойством?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уникальные свойства чисел
Сообщение09.01.2010, 19:38 


27/08/06
579
maxal в сообщении #278971 писал(а):
Ну тогда запись числа в десятичной системе счисления является его уникальной этикеткой.

Да, является. Ууухх. Сейчас попробую уточнить: пусть имеется счётное количество переменных $x_i$ и множество натуральных чисел N, пусть мы эти переменные можем складывать и умножать между собой и на натуральные числа. Доказать, что для каждого числа n, существует такое нелинейное уравнение, связывающее как минимум две переменные, единственным решением которого, является набор чисел $<a_1,a_2,...,a_n>$ и таких что для любого $i$ $a_i$ может принимать только одно из двух значений $x$ или $y$, причём $n=x+1$ и $y=x+2$.
Пока так...

 Профиль  
                  
 
 Re: Уникальные свойства чисел
Сообщение09.01.2010, 19:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Ну, это совсем просто. Диофантовыми уравнениями можно задать любое рекурсивно-перечислимое множество.

-- Сб янв 09, 2010 19:48:45 --

К тому же, приведенные характеризации 2 и 26 не такого вида :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уникальные свойства чисел
Сообщение09.01.2010, 19:51 


27/08/06
579
Xaositect в сообщении #278991 писал(а):
Ну, это совсем просто. Диофантовыми уравнениями можно задать любое рекурсивно-перечислимое множество.

Т.е. диофантовыи уравнениями можно задать множество корней, которые в точности задают только указанные элементы и ни одного больше? Вы не забыли, что в уранении должны быть как минимум две переменные?

-- Сб янв 09, 2010 20:52:44 --

Xaositect в сообщении #278991 писал(а):
К тому же, приведенные характеризации 2 и 26 не такого вида :)

Совершенно верно. Но пришлось пойти на упрощение, по требыванию maxal.

-- Сб янв 09, 2010 20:59:56 --

да, такие уравнения легко написать. Глупо поставил задачу. Ладно, пойду думать как правильней сформулировать вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уникальные свойства чисел
Сообщение09.01.2010, 20:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Ну вот:
$(x=0, y=1) \equiv y - 1 = 3xy$(Проверьте, но вроде не наглючил. Единственный возможный вариант, когда $y-1$ делится на $3y$ - это $y=1$)
$(x=-1, y=1) \equiv y - 1 = 3(x+1)y$
$(x=n-1, y=n+1) \equiv (y-n)-1 = 3(x-n+1)(y-n)$

-- Сб янв 09, 2010 20:09:00 --

Dialectic в сообщении #278993 писал(а):
Совершенно верно. Но пришлось пойти на упрощение, по требыванию maxal.

Тут такая проблема: как только разрешаете что-то более-менее мощное - Вы приближаетесь к возможности построить машину Тьюринга.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уникальные свойства чисел
Сообщение09.01.2010, 20:10 


22/10/09
404
AD в сообщении #278981 писал(а):
Народ, о чём Вы спорите-то? Общеизвестно же.

Теорема. Каждое натуральное число уникально.

Доказательство. Действительно, обозначим $X=\{n\in\mathbb{N}: n\  \textbf{не}\text{ уникально}\}$. Предположим, что $X\neq\varnothing$. Тогда в $X$ найдется минимальный элемент $x=\min X\in X$. Но тогда $x$ обладает уникальным свойством быть наименьшим из неуникальных чисел, и потому $x\notin X$. Противоречие возникло из-за того, что мы предположили, что $X\neq\varnothing$. Значит, $X=\varnothing$, что и завершает доказательство. $\square$.

:[|||||]:

Сдаётся мне,что Ваше доказательство неполное.Кроме того,что предположили $X\neq\varnothing$,ещё предположили,что $X$ содержит более одного элемента(иначе в нём не было бы наименьшего).Теперь,если$X$ содержит единственный элемент,то этим это число и будет уникально(единственное неуникальное число).Кажется получилось полное доказательство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уникальные свойства чисел
Сообщение09.01.2010, 20:14 
Заблокирован


14/02/09

1545
город Курганинск
Dialectic в сообщении #278935 писал(а):
Как известно все натуральные числа отличаются между собой

Ага. Числом единиц, что заметил(а) meduza

 Профиль  
                  
 
 Re: Уникальные свойства чисел
Сообщение09.01.2010, 21:49 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Lyosha в сообщении #278999 писал(а):
Кроме того,что предположили ,ещё предположили,что содержит более одного элемента(иначе в нём не было бы наименьшего).
Почему же? Он сам и наименьший. :roll:
Это принято так. Все же говорят, что вполне упорядоченное множество - это когда любое непустое подмножество содержит наименьший элемент, и одноэлементные подмножества не выделяют ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Уникальные свойства чисел
Сообщение10.01.2010, 23:21 


22/10/09
404
AD в сообщении #279044 писал(а):
Lyosha в сообщении #278999 писал(а):
Кроме того,что предположили ,ещё предположили,что содержит более одного элемента(иначе в нём не было бы наименьшего).
Почему же? Он сам и наименьший. :roll:

А ведь отношение "меньше"--оно же вроде нерефлексивно?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 50 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group