Уникальные свойства чисел

[Dialectic]

maxal в сообщении #278963 писал(а):

Чтобы ответить на этот вопрос нужно чётко определить, что такое "этикетка".

Это интуитивное понятие. Определить не могу.
Можно конечно сказать, что это упорядоченная совокупность знаков, называемых буквами, и обладающая способностью предоставить мыслящему субъекту информацию, владея которой он мог бы однозначно отличить это число от всех других и никогда не ошибиться.

[maxal]

Dialectic в сообщении #278968 писал(а):

Можно конечно сказать, что это упорядоченная совокупность знаков, называемых буквами, и обладающая способностью предоставить мыслящему субъекту информацию, владея которой он мог бы однозначно отличить это число от всех других и никогда не ошибиться.

Ну тогда запись числа в десятичной системе счисления является его уникальной этикеткой.

-- Sat Jan 09, 2010 11:12:12 --

Dialectic в сообщении #278968 писал(а):

Это интуитивное понятие. Определить не могу.

Это переводит ваш вопрос в разряд "принесите мне то, не знаю что".

[Xaositect]

Dialectic в сообщении #278964 писал(а):

Xaositect в сообщении #278959 писал(а):

Если да, то для каждого числа есть нетривиальное свойство, которое его выделяет. Сейчас попробую что-нибудь хитрое придумать

Было бы интересно!

Вот - любое число можно охарактеризовать отношением, полученным из отношения равенства, делимости и функции $\pi(x)$(количество простых чисел, меньших $x$) с помощью отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, кванторов .
Вроде у меня получилось разложить на простые множители с помощью этой фигни.

[Dialectic]

Xaositect в сообщении #278975 писал(а):

Dialectic в сообщении #278964 писал(а):

Xaositect в сообщении #278959 писал(а):

Если да, то для каждого числа есть нетривиальное свойство, которое его выделяет. Сейчас попробую что-нибудь хитрое придумать

Было бы интересно!

Вот - любое число можно охарактеризовать отношением, полученным из отношения равенства, делимости и функции $\pi(x)$(количество простых чисел, меньших $x$) с помощью отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, кванторов .
Вроде у меня получилось разложить на простые множители с помощью этой фигни.

Давате рассмотрим какой-нибудь пример. Ну например для числа 7.

[AD]

Народ, о чём Вы спорите-то? Общеизвестно же.

Теорема. Каждое натуральное число уникально.

Доказательство. Действительно, обозначим $X=\{n\in\mathbb{N}: n\ \textbf{не}\text{ уникально}\}$. Предположим, что $X\neq\varnothing$. Тогда в $X$ найдется минимальный элемент $x=\min X\in X$. Но тогда $x$ обладает уникальным свойством быть наименьшим из неуникальных чисел, и потому $x\notin X$. Противоречие возникло из-за того, что мы предположили, что $X\neq\varnothing$. Значит, $X=\varnothing$, что и завершает доказательство. $\square$.

:[|||||]:

[Xaositect]

Для 7 просто
$x = 7 \equiv (x \text{ - простое } \&\ \pi(x) = 3)$
$y = 3 \equiv (y \text{ - простое } \&\ \pi(x) = 1)$
$z = 1 \equiv \forall t (z\mid t)$

[meduza]

А набор простых делителей является "тривиальным" свойством?

[Dialectic]

maxal в сообщении #278971 писал(а):

Ну тогда запись числа в десятичной системе счисления является его уникальной этикеткой.

Да, является. Ууухх. Сейчас попробую уточнить: пусть имеется счётное количество переменных $x_i$ и множество натуральных чисел N, пусть мы эти переменные можем складывать и умножать между собой и на натуральные числа. Доказать, что для каждого числа n, существует такое нелинейное уравнение, связывающее как минимум две переменные, единственным решением которого, является набор чисел $<a_1,a_2,...,a_n>$ и таких что для любого $i$ $a_i$ может принимать только одно из двух значений $x$ или $y$, причём $n=x+1$ и $y=x+2$.
Пока так...

[Xaositect]

Ну, это совсем просто. Диофантовыми уравнениями можно задать любое рекурсивно-перечислимое множество.

-- Сб янв 09, 2010 19:48:45 --

К тому же, приведенные характеризации 2 и 26 не такого вида

[Dialectic]

Xaositect в сообщении #278991 писал(а):

Ну, это совсем просто. Диофантовыми уравнениями можно задать любое рекурсивно-перечислимое множество.

Т.е. диофантовыи уравнениями можно задать множество корней, которые в точности задают только указанные элементы и ни одного больше? Вы не забыли, что в уранении должны быть как минимум две переменные?

-- Сб янв 09, 2010 20:52:44 --

Xaositect в сообщении #278991 писал(а):

К тому же, приведенные характеризации 2 и 26 не такого вида

Совершенно верно. Но пришлось пойти на упрощение, по требыванию maxal.

-- Сб янв 09, 2010 20:59:56 --

да, такие уравнения легко написать. Глупо поставил задачу. Ладно, пойду думать как правильней сформулировать вопрос.

[Xaositect]

Ну вот:
$(x=0, y=1) \equiv y - 1 = 3xy$(Проверьте, но вроде не наглючил. Единственный возможный вариант, когда $y-1$ делится на $3y$ - это $y=1$)
$(x=-1, y=1) \equiv y - 1 = 3(x+1)y$
$(x=n-1, y=n+1) \equiv (y-n)-1 = 3(x-n+1)(y-n)$

-- Сб янв 09, 2010 20:09:00 --

Dialectic в сообщении #278993 писал(а):

Совершенно верно. Но пришлось пойти на упрощение, по требыванию maxal.

Тут такая проблема: как только разрешаете что-то более-менее мощное - Вы приближаетесь к возможности построить машину Тьюринга.

[Lyosha]

AD в сообщении #278981 писал(а):

Народ, о чём Вы спорите-то? Общеизвестно же.

Теорема. Каждое натуральное число уникально.

Доказательство. Действительно, обозначим $X=\{n\in\mathbb{N}: n\ \textbf{не}\text{ уникально}\}$. Предположим, что $X\neq\varnothing$. Тогда в $X$ найдется минимальный элемент $x=\min X\in X$. Но тогда $x$ обладает уникальным свойством быть наименьшим из неуникальных чисел, и потому $x\notin X$. Противоречие возникло из-за того, что мы предположили, что $X\neq\varnothing$. Значит, $X=\varnothing$, что и завершает доказательство. $\square$.

:[|||||]:

Сдаётся мне,что Ваше доказательство неполное.Кроме того,что предположили $X\neq\varnothing$,ещё предположили,что $X$ содержит более одного элемента(иначе в нём не было бы наименьшего).Теперь,если$X$ содержит единственный элемент,то этим это число и будет уникально(единственное неуникальное число).Кажется получилось полное доказательство.

[Виктор Ширшов]

Dialectic в сообщении #278935 писал(а):

Как известно все натуральные числа отличаются между собой

Ага. Числом единиц, что заметил(а) meduza

[AD]

Lyosha в сообщении #278999 писал(а):

Кроме того,что предположили ,ещё предположили,что содержит более одного элемента(иначе в нём не было бы наименьшего).

Почему же? Он сам и наименьший.
Это принято так. Все же говорят, что вполне упорядоченное множество - это когда любое непустое подмножество содержит наименьший элемент, и одноэлементные подмножества не выделяют ...

[Lyosha]

AD в сообщении #279044 писал(а):

Lyosha в сообщении #278999 писал(а):

Кроме того,что предположили ,ещё предположили,что содержит более одного элемента(иначе в нём не было бы наименьшего).

Почему же? Он сам и наименьший.

А ведь отношение "меньше"--оно же вроде нерефлексивно?