Треугольники в нормированном пространстве

[Профессор Снэйп]

Пусть $X$ --- нормированное пространство над $\mathbb{R}$, $u,v \in X$ и

$$M_{u,v} = \{ x \in X : \| x - u \| + \| v - x \| = \| v - u \| \}.$$

Что можно сказать про множество $M_{u,v}$ кроме того, что оно выпукло, ограничено и замкнуто? В частности, верно ли, что пространство $X$ гильбертово тогда и только тогда, когда множество $M_{u,v}$ одноэлементно при всех $u,v \in X$?

[RIP]

Профессор Снэйп в сообщении #276085 писал(а):

В частности, верно ли, что пространство $X$ гильбертово тогда и только тогда, когда множество $M_{u,v}$ одноэлементно при всех $u,v \in X$?

Нет: $M_{u,v}$ всегда содержит отрезок $[u,v]$.
На ум почему-то приходят слова "строго выпуклое пространство" (хотя определение по ссылке неправильное).

[ewert]

RIP в сообщении #276128 писал(а):

(хотя определение по ссылке неправильное).

А в чём неправильность-то -- только в том, что пропущены слова "или $x=\lambda y$"? Ну это не неправильность, а всего лишь неаккуратность.

[Профессор Снэйп]

RIP в сообщении #276128 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #276085 писал(а):

В частности, верно ли, что пространство $X$ гильбертово тогда и только тогда, когда множество $M_{u,v}$ одноэлементно при всех $u,v \in X$?

Нет: $M_{u,v}$ всегда содержит отрезок $[u,v]$.
На ум почему-то приходят слова "строго выпуклое пространство" (хотя определение по ссылке неправильное).

Прошу прощения Конечно же, имелась в виду не одноточечность $M_{u,v}$ а наличие в этом множестве точек, не лежащих на отрезке $[u,v]$. Типа наличие треугольников (со всеми тремя различными вершинами), у которых сумма длин двух каких-то сторон равна третьей стороне.

[ewert]

вот отсутствие таких точек ровно и называется строгостью нормы -- не более и не менее. А гильбертовость тут не при чём (хотя из гильбертовости, конечно, строгость следует).

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #276157 писал(а):

А гильбертовость тут не при чём

Приведите тогда пример не гильбертовой нормы, в которой $M_{u,v} = [u,v]$ для всех $u$ и $v$.

[ewert]

Любая строгая норма; например, $\|\vec x\|_3=\sqrt[3]{\sum_k|x_k|^3}$.

[Профессор Снэйп]

То есть надо, чтобы граница единичного шара не содержала отрезков. Понятно, спасибо.

[ewert]

Необходимо и достаточно, чтобы замкнутый шар был строго выпуклым.

[RIP]

ewert в сообщении #276154 писал(а):

А в чём неправильность-то -- только в том, что пропущены слова "или $x=\lambda y$"?

Да (или потребовать $x\ne0$).

ewert в сообщении #276154 писал(а):

Ну это не неправильность, а всего лишь неаккуратность.

В определениях надо быть очень аккуратным. Согласно их определению, строго выпуклым является только нулевое пространство.