2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Треугольники в нормированном пространстве
Сообщение28.12.2009, 23:17 
Аватара пользователя
Пусть $X$ --- нормированное пространство над $\mathbb{R}$, $u,v \in X$ и
$$M_{u,v} = \{ x \in X : \| x - u \| + \|  v - x \| = \| v - u \| \}.$$
Что можно сказать про множество $M_{u,v}$ кроме того, что оно выпукло, ограничено и замкнуто? В частности, верно ли, что пространство $X$ гильбертово тогда и только тогда, когда множество $M_{u,v}$ одноэлементно при всех $u,v \in X$?

 
 
 
 Re: Треугольники в нормированном пространстве
Сообщение29.12.2009, 01:47 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп в сообщении #276085 писал(а):
В частности, верно ли, что пространство $X$ гильбертово тогда и только тогда, когда множество $M_{u,v}$ одноэлементно при всех $u,v \in X$?
Нет: $M_{u,v}$ всегда содержит отрезок $[u,v]$. :)
На ум почему-то приходят слова "строго выпуклое пространство" (хотя определение по ссылке неправильное).

 
 
 
 Re: Треугольники в нормированном пространстве
Сообщение29.12.2009, 07:24 
RIP в сообщении #276128 писал(а):
(хотя определение по ссылке неправильное).

А в чём неправильность-то -- только в том, что пропущены слова "или $x=\lambda y$"? Ну это не неправильность, а всего лишь неаккуратность.

 
 
 
 Re: Треугольники в нормированном пространстве
Сообщение29.12.2009, 08:07 
Аватара пользователя
RIP в сообщении #276128 писал(а):
Профессор Снэйп в сообщении #276085 писал(а):
В частности, верно ли, что пространство $X$ гильбертово тогда и только тогда, когда множество $M_{u,v}$ одноэлементно при всех $u,v \in X$?
Нет: $M_{u,v}$ всегда содержит отрезок $[u,v]$. :)
На ум почему-то приходят слова "строго выпуклое пространство" (хотя определение по ссылке неправильное).

Прошу прощения :oops: Конечно же, имелась в виду не одноточечность $M_{u,v}$ а наличие в этом множестве точек, не лежащих на отрезке $[u,v]$. Типа наличие треугольников (со всеми тремя различными вершинами), у которых сумма длин двух каких-то сторон равна третьей стороне.

 
 
 
 Re: Треугольники в нормированном пространстве
Сообщение29.12.2009, 08:15 
вот отсутствие таких точек ровно и называется строгостью нормы -- не более и не менее. А гильбертовость тут не при чём (хотя из гильбертовости, конечно, строгость следует).

 
 
 
 Re: Треугольники в нормированном пространстве
Сообщение29.12.2009, 08:29 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #276157 писал(а):
А гильбертовость тут не при чём

Приведите тогда пример не гильбертовой нормы, в которой $M_{u,v} = [u,v]$ для всех $u$ и $v$.

 
 
 
 Re: Треугольники в нормированном пространстве
Сообщение29.12.2009, 08:44 
Любая строгая норма; например, $\|\vec x\|_3=\sqrt[3]{\sum_k|x_k|^3}$.

 
 
 
 Re: Треугольники в нормированном пространстве
Сообщение29.12.2009, 10:23 
Аватара пользователя
То есть надо, чтобы граница единичного шара не содержала отрезков. Понятно, спасибо.

 
 
 
 Re: Треугольники в нормированном пространстве
Сообщение29.12.2009, 10:25 
Необходимо и достаточно, чтобы замкнутый шар был строго выпуклым.

 
 
 
 Re: Треугольники в нормированном пространстве
Сообщение29.12.2009, 10:47 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #276154 писал(а):
А в чём неправильность-то -- только в том, что пропущены слова "или $x=\lambda y$"?
Да (или потребовать $x\ne0$).

ewert в сообщении #276154 писал(а):
Ну это не неправильность, а всего лишь неаккуратность.
В определениях надо быть очень аккуратным. Согласно их определению, строго выпуклым является только нулевое пространство.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group