Помогите доказать существование предела последовательности

[Sonic86]

А все! Я все понял! Это метод сжимающих отображений! И сходится он потому, что модуль производной меньше 1 в предельной точке!
Спасибо, что ответили на мои глупые вопросы

[jetyb]

Maslov в сообщении #274415 писал(а):

Sonic86 в сообщении #274409 писал(а):

jetyb писал(а):
$x_n > \sqrt{\frac{40}{3}}$

А откуда это взялось? Вообще-то $\lim\limits_{n\to\infty}x_n = \sqrt 5$.

Вследствие неверного применения неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим.

[ewert]

Sonic86 в сообщении #274428 писал(а):

А все! Я все понял! Это метод сжимающих отображений! И сходится он потому, что модуль производной меньше 1 в предельной точке!

Не так всё просто. Надо ещё попасть в окрестность сжимаемости. А это вовсе не факт, что попадём, и это произойдёт не сразу -- по моим прикидкам, не ранее третьей итерации. И до неё надо ещё дотерпеть (т.е. посчитать предыдущие итерации вручную -- ни из каких общих соображений факт попадания вроде бы не следует, это дело случая).

[RIP]

Хмм. При $n\ge2$ имеем $x_n\ge2/3\sqrt{10}$, поэтому $|x_{n+1}-\sqrt5|=|x_n-\sqrt5|\cdot\frac{|x_n-2\sqrt5|}{3x_n}\le(1/\sqrt2-1/3)|x_n-\sqrt5|$.
Это для $x_1>0$ (в силу нечётности, этого достаточно).

[ewert]

RIP в сообщении #274608 писал(а):

Хмм. При $n\ge2$ имеем $x_n\ge2/3\sqrt{10}$, поэтому

Хмм. Дальнейшее даже излишне -- на множестве $[{2\over3}\sqrt{10};\,+\infty)$ функция явно сжимающая: $f'(x)={1\over3}(1-{10\over x^2})\in[-{5\over12};\,{1\over3})$ (если я опять не напутал в арифметике)