2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Помогите доказать существование предела последовательности
Сообщение23.12.2009, 01:16 


23/12/09
6
Народ, пожалуйста, помогите доказать существование предела! Никак не могу его разобрать, доказал что последовательность ограничена, а дальше как об стену горох =(

$x_{1} = 10$, $x_{n+1} = \frac{1}{3}(x_{n} + \frac{10}{x_{n}})$, $\lim\limits_{x\to\infty} (x_{n}) = ?$

К сожалению, от этого зависит зачет =(

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать существование предела последовательности
Сообщение23.12.2009, 01:28 
Заблокирован


19/06/09

386
$x_n>\sqrt{\frac{40}{3}}$
$x_{n+1}<x_n<\frac{x_n}{3}+$ХЗ

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать существование предела последовательности
Сообщение23.12.2009, 01:33 


23/12/09
6
x_{n+1} = \frac{\sqrt10}{3}(\frac{x_{n}}{\sqrt10} + \frac{\sqrt10}{x_{n}})$
В скобках сумма двух взаимно обратных чисел, и по теореме, она всегда >= 2
Отсюда следует, что последовательность ограничена снизу. Но как доказать, что она убывает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать существование предела последовательности
Сообщение23.12.2009, 03:31 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
Не зацикливайтесь на доказательстве того, что последовательность убывает: она не монотонна.
А вообще, это просто формула итерационного вычисления методом Герона $\sqrt{5}$ методом Герона :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать существование предела последовательности
Сообщение23.12.2009, 03:47 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
Подпоследовательности можно рассмотреть ( с четными/нечетными номерами ). Из них одна монотонно убывает, другая монотонно возрастает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать существование предела последовательности
Сообщение23.12.2009, 12:12 


23/12/09
6
Цитата:
А вообще, это просто формула итерационного вычисления методом Герона

У формулы Герона перед скобками стоит 1\2, в тех номерах где стоит 1\2 предел очень быстро находится, а с 1\3 никак =\

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать существование предела последовательности
Сообщение23.12.2009, 13:05 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
Да, не прав я насчёт Герона. В Героне $x_{n+1} = \dfrac{1}{2} \dfrac{x_n^2 + 5}{x_n}$, а здесь $x_{n+1} = \dfrac{1}{3} \dfrac{x_n^2 + 10}{x_n}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать существование предела последовательности
Сообщение23.12.2009, 13:11 
Заслуженный участник


08/04/08
8557
(фигня удалена)

-- Ср дек 23, 2009 14:18:13 --

Можно ввести переменную $y_n = x_n - x_{n+1}$, подставить и доказать, что она больше нуля.
Только это выглядит немного глупо... общность не видна...

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать существование предела последовательности
Сообщение23.12.2009, 13:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13437
с Территории
Общность начинается со слов "сжимающее отображение" и "потому что производная".

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать существование предела последовательности
Сообщение23.12.2009, 14:02 
Заслуженный участник


08/04/08
8557
ИСН писал(а):
Общность начинается со слов "сжимающее отображение" и "потому что производная".

то есть это все-таки метод Ньютона?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать существование предела последовательности
Сообщение23.12.2009, 14:05 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
Sonic86 в сообщении #274392 писал(а):
Можно ввести переменную $y_n = x_n - x_{n+1}$, подставить и доказать, что она больше нуля.
Этого нельзя доказать, потому что $y_n$ знакопеременна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать существование предела последовательности
Сообщение23.12.2009, 14:12 
Заслуженный участник


08/04/08
8557
Maslov писал(а):
Этого нельзя доказать, потому что $y_n$ знакопеременна.

jetyb писал(а):
$x_n > \sqrt{\frac{40}{3}}$

$x_{n+1} = \frac13 (x_n + \frac{10}{x_n})$
$x_{n+2} = \frac13 (x_{n+1} + \frac{10}{x_{n+1}})$
$x_{n+1}-x_{n+2} = \frac13 (x_n-x_{n+1})(1- \frac{10}{x_nx_{n+1}})$
Поскольку $1- \frac{10}{x_nx_{n+1}} > 1- \frac34 > 0$, то $sign (x_{n+2}-x_{n+1}) = sign (x_{n+1}-x_{n})$.
Правильно? М.б. это для некоторого $n \geq n_0$?

-- Ср дек 23, 2009 15:25:55 --

А нет! Действительно знакочередующаяся! Значит это все фигня...

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать существование предела последовательности
Сообщение23.12.2009, 14:31 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
Sonic86 в сообщении #274409 писал(а):
jetyb писал(а):
$x_n > \sqrt{\frac{40}{3}}$

А откуда это взялось? Вообще-то $\lim\limits_{n\to\infty}x_n = \sqrt 5$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать существование предела последовательности
Сообщение23.12.2009, 14:51 
Заслуженный участник


08/04/08
8557
А, ну в таком случае как раз получается $sign(y_{n+1}) = - sign (y_n)$!

-- Ср дек 23, 2009 15:55:49 --

Ну в таком случае из того же неравенства получается $|y_{n+1}|<\frac13|y_n| \cdot a_n$, где $a_n < 3$ с некоторого шага. Тогда отсюда сходимость :?: причем экспоненциальная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать существование предела последовательности
Сообщение23.12.2009, 15:00 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
Sonic86 в сообщении #274419 писал(а):
Ну в таком случае из того же неравенства
Из какого "того же"?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group