Как проще всего найти проекцию прямой на плоскость?

[oleg-spbu]

Дано уравнение прямой в каноническом виде

$$\dfrac{x-x_0}{l}=\dfrac{y-y_0}{m}=\dfrac{z-z_0}{n}$$

И общее уравнение плоскости

$$Ax+By+Cz+D=0$$

И вообще - что значит проекция прямой на плоскость?
Проекция вектора на ось - ясно что значит
Можно найти угол между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости

[neverland]

Проекция точки на плоскость -- это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Множество проекций точек прямой на плоскость образуют проекцию этой прямой. Взять две точки на прямой, найти точки являющиеся проекциями, и по ним написать уравнение нужной вам прямой.

[ewert]

Логически проще всего -- так.

Взять две точки на прямой (это стандартно). И спроецировать каждую из них на плоскость (тоже стандартно). И провести прямую через две получившиеся точки (а уж насколько это стандартно -- так и не описать словами).

Возможны разные оптимизации. Скажем, в качестве одной из точек взять пересечение прямой и плоскости (тогда её и проецировать-то не придётся). При этом возможен исключительный случай -- когда прямая параллельна плоскости; ну тогда и вообще вторая-то точка и не нужна.

[meduza]

Можно с векторами. (Но наверняка сложней будет.) Если $M(x,y,z)$ -- точка на искомой проекции, $M_0$ -- точка пересечения плоскости с прямой (если не пересекаются, то там еще легче),$\vec a = (l,m,n),\ \vec n = (A,B,C)$, то $(\overrightarrow{M_0 M},\vec n)=0$ и $(\overrightarrow{M_0 M},\vec n,\vec a)=0$.

[Профессор Снэйп]

В условии, скорее всего, пропущено одно слово --- прямоугольная (или ортогональная) проекция. А то ведь если прямая не параллеьна плоскости, так можно вообще взять проекцию вдоль этой прямой, получится точка

Если плоскость задана уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, то $(A, B, C)$ --- вектор, ортогональный к плоскости. Пусть

$$ \mathbf{n} = \left( \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}, \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}, \frac{C}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \right) $$

Пусть $\mathbf{r}_0$ --- какая-нибудь точка плоскости. Тогда для произвольного $\mathbf{r} \in \mathbb{R}^3$ ортогональная проекция $\mathbf{r}$ на нашу плоскость будет равна $(\mathbf{r} -\mathbf{r}_0) - \big((\mathbf{r} -\mathbf{r}_0\big) \cdot \mathbf{n})\mathbf{n} + \mathbf{r}_0$ (точка обозначает скалярное произведение).

Запишите уравнение прямой в параметрическом виде $\{ \mathbf{v} + t\mathbf{w} : t \in \mathbb{R} \}$. Затем подставьте в уравнение проекции и сразу найдите параметрическое уравнение проекции. Ну а затем, при необходимости, переходите от параметрического уравнения к каноническому. Если прямая не параллельна плоскости, то в качестве $\mathbf{r}_0 = \mathbf{v}$ можно взять точку пересечения прямой и плоскости, кое-что подсократится.

[oleg-spbu]

neverland в сообщении #272782 писал(а):

Проекция точки на плоскость -- это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Множество проекций точек прямой на плоскость образуют проекцию этой прямой. Взять две точки на прямой, найти точки являющиеся проекциями, и по ним написать уравнение нужной вам прямой.

Спасибо, ясно, осталось только понять - как находить проекцию точки на плоскость

-- Вс дек 20, 2009 01:20:21 --

ewert в сообщении #272783 писал(а):

Логически проще всего -- так.

Взять две точки на прямой (это стандартно). И спроецировать каждую из них на плоскость (тоже стандартно). И провести прямую через две получившиеся точки (а уж насколько это стандартно -- так и не описать словами).

Возможны разные оптимизации. Скажем, в качестве одной из точек взять пересечение прямой и плоскости (тогда её и проецировать-то не придётся). При этом возможен исключительный случай -- когда прямая параллельна плоскости; ну тогда и вообще вторая-то точка и не нужна.

Стандартно, но математически пока неясно как искать

-- Вс дек 20, 2009 01:22:15 --

meduza в сообщении #272803 писал(а):

Можно с векторами. (Но наверняка сложней будет.) Если $M(x,y,z)$ -- точка на искомой проекции, $M_0$ -- точка пересечения плоскости с прямой (если не пересекаются, то там еще легче),$\vec a = (l,m,n),\ \vec n = (A,B,C)$, то $(\overrightarrow{M_0 M},\vec n)=0$ и $(\overrightarrow{M_0 M},\vec n,\vec a)=0$.

Да, так посложнее...
А что значит $(\overrightarrow{M_0 M},\vec n,\vec a)$ Тройное скалярное произведение?

-- Вс дек 20, 2009 01:23:27 --

Профессор Снэйп в сообщении #272871 писал(а):

В условии, скорее всего, пропущено одно слово --- прямоугольная (или ортогональная) проекция. А то ведь если прямая не параллеьна плоскости, так можно вообще взять проекцию вдоль этой прямой, получится точка

Если плоскость задана уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, то $(A, B, C)$ --- вектор, ортогональный к плоскости. Пусть

$$ \mathbf{n} = \left( \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}, \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}, \frac{C}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \right) $$

Пусть $\mathbf{r}_0$ --- какая-нибудь точка плоскости. Тогда для произвольного $\mathbf{r} \in \mathbb{R}^3$ ортогональная проекция $\mathbf{r}$ на нашу плоскость будет равна $(\mathbf{r} -\mathbf{r}_0) - \big((\mathbf{r} -\mathbf{r}_0\big) \cdot \mathbf{n})\mathbf{n} + \mathbf{r}_0$ (точка обозначает скалярное произведение).

Запишите уравнение прямой в параметрическом виде $\{ \mathbf{v} + t\mathbf{w} : t \in \mathbb{R} \}$. Затем подставьте в уравнение проекции и сразу найдите параметрическое уравнение проекции. Ну а затем, при необходимости, переходите от параметрического уравнения к каноническому. Если прямая не параллельна плоскости, то в качестве $\mathbf{r}_0 = \mathbf{v}$ можно взять точку пересечения прямой и плоскости, кое-что подсократится.

А что значит тут $\vec r$ ?

-- Вс дек 20, 2009 01:39:49 --

Я не очень понял, как находить проекцию точки на плоскость....
Уравнение прямой

$$\dfrac{x-x_0}{l}=\dfrac{y-y_0}{m}=\dfrac{z-z_0}{n}$$

И общее уравнение плоскости

$$Ax+By+Cz+D=0 ; (\gamma)$$

Хотелось бы найти проекцию точки $M_0(x_0,y_0,z_0)$ на плоскость $\gamma$

У прямой , проходящей через точку $M_0$ и перпендикулярной плоскости $\gamma$ направляющим вектором должна служить нормаль к плоскости

$$\dfrac{x-x_0}{A}=\dfrac{y-y_0}{B}=\dfrac{z-z_0}{C}$$

Пусть точка $M_1(x_1,y_1,z_1)$ является проекцией точки $M_0$ на плоскость
Т.к. точка $M_1$ принадлежит $(\gamma)$, то уравнение плоскости можно записать

$$A(x-x_1)+B(y-y_1)+C(z-z_1)=0 $$

-- Вс дек 20, 2009 01:43:42 --

По идее $A=x_1-x_0$ $B=y_1-y_0$ $C=z_1-z_0$

отсюда можно найти координаты точки $M_1$

[neverland]

oleg-spbu в сообщении #273161 писал(а):

\
Спасибо, ясно, осталось только понять - как находить проекцию точки на плоскость
\

Вектор нормали есть -- он в уравнении плоскости задан, точку на прямой выбрать тоже можем. Перпендикуляр к плоскости через точку проведем.

Цитата:

А что значит $(\overrightarrow{M_0 M},\vec n,\vec a)$ Тройное скалярное произведение?

Это значит, что прямая перпендикулярная плоскости перпендикулярна любой прямой в этой плосокости.

[ewert]

oleg-spbu в сообщении #273161 писал(а):

У прямой , проходящей через точку $M_0$ и перпендикулярной плоскости $\gamma$ направляющим вектором должна служить нормаль к плоскости

$$\dfrac{x-x_0}{A}=\dfrac{y-y_0}{B}=\dfrac{z-z_0}{C}$$

Правильно. Теперь припишите к этой цепочке справа "$=t$" и выразите $x$, $y$ и $z$ через $t$ -- это и будут рекомендованные Вам параметрические уравнения прямой, перпендикулярной к плоскости. Подставьте их в уравнение плоскости, найдите значение параметра $t$, ну а за ним и $x,\ y,\ z$.

[meduza]

oleg-spbu в сообщении #273161 писал(а):

А что значит $(\overrightarrow{M_0 M},\vec n,\vec a)$ Тройное скалярное произведение?

Это смешанное произведение: $(\vec a \vec b \vec c)\equiv \vec a\cdot(\vec b \times \vec c)$. (Хотя "тройное скалярное" -- это вроде синоним).
$(\overrightarrow{M_0 M},\vec n)=0$ значит, что вектор $\overrightarrow{M_0 M}$ лежит в плоскости (по сути это и есть уравнение плоскости, поэтому вместо него можно написать ваше $Ax+By+Cz+D=0$), а $(\overrightarrow{M_0 M},\vec n,\vec a)=0$ -- что вектор нормали к плоскости, прямая и ее проекция лежат в одной плоскости. Отсюда уравнение проекции однозначно определяется.

[vvvv]

Проще всего - запишите уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую и перпендикулярно заданной плоскости.
Две плоскости и определяют искомую прямую, тем более, что в задаче не оговорено в каком виде должна быть записана проеция

[oleg-spbu]

ewert в сообщении #273209 писал(а):

oleg-spbu в сообщении #273161 писал(а):

У прямой , проходящей через точку $M_0$ и перпендикулярной плоскости $\gamma$ направляющим вектором должна служить нормаль к плоскости

$$\dfrac{x-x_0}{A}=\dfrac{y-y_0}{B}=\dfrac{z-z_0}{C}$$

Правильно. Теперь припишите к этой цепочке справа "$=t$" и выразите $x$, $y$ и $z$ через $t$ -- это и будут рекомендованные Вам параметрические уравнения прямой, перпендикулярной к плоскости. Подставьте их в уравнение плоскости, найдите значение параметра $t$, ну а за ним и $x,\ y,\ z$.

Спасибо! Получилось так

$$ \left\{ \begin{array}{l} x=At+x_0\\ y=Bt+y_0\\ z=Ct+z_0\\ \end{array} \right $$

$$A(At+x_0)+B(Bt+y_0)+C(Ct+z_0)+D$$

$$(A^2+B^2+C^2)t+Ax_0+B_y_0+Cz_0+D=0$$

$$t=-\dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}$$

Координаты проекции точки

$$ \left\{ \begin{array}{l} x_1=-A\dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}+x_0\\ y_1=-B\dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}t+y_0\\ z_1=-C\dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}t+z_0\\ \end{array} \right $$

А как мы найдем вторую точку, чтобы проецировать?))

[ewert]

Пересеките аналогичным образом исходную прямую с плоскостью -- вот и получите вторую точку.

[oleg-spbu]

vvvv в сообщении #273266 писал(а):

Проще всего - запишите уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую и перпендикулярно заданной плоскости.
Две плоскости и определяют искомую прямую, тем более, что в задаче не оговорено в каком виде должна быть записана проеция

А как же ее записать? Да, через прямую и точку, не лежащую на ней проходит только одна плоскость. Через три точки проходит только одна плоскость. Но у нас только 2 точки...

[ewert]

oleg-spbu в сообщении #273367 писал(а):

А как же ее записать?

А нормальный вектор к той плоскости -- ортогонален как направляющему вектору исходной прямой, так и нормальному вектору исходной плоскости, ну и...

Правда, точку пересечения прямой и плоскости всё равно искать придётся -- даже для получения общих уравнений той нищастной прямой.

[oleg-spbu]

Цитата:

Правда, точку пересечения прямой и плоскости всё равно искать придётся -- даже для получения общих уравнений той нищастной прямой.

У нас есть 2 уравнения и три неизвестных (уравнение прямой, пересекающей плоскость и плоскости, проходящую через найденную точку). Не хватает еще одного уравнения...