2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Как проще всего найти проекцию прямой на плоскость?
Сообщение18.12.2009, 17:22 
Дано уравнение прямой в каноническом виде
$$\dfrac{x-x_0}{l}=\dfrac{y-y_0}{m}=\dfrac{z-z_0}{n}$$

И общее уравнение плоскости

$$Ax+By+Cz+D=0$$


И вообще - что значит проекция прямой на плоскость?
Проекция вектора на ось - ясно что значит
Можно найти угол между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости

 
 
 
 Re: Как проще всего найти проекцию прямой на плоскость?
Сообщение18.12.2009, 17:31 
Аватара пользователя
Проекция точки на плоскость -- это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Множество проекций точек прямой на плоскость образуют проекцию этой прямой. Взять две точки на прямой, найти точки являющиеся проекциями, и по ним написать уравнение нужной вам прямой.

 
 
 
 Re: Как проще всего найти проекцию прямой на плоскость?
Сообщение18.12.2009, 17:34 
Логически проще всего -- так.

Взять две точки на прямой (это стандартно). И спроецировать каждую из них на плоскость (тоже стандартно). И провести прямую через две получившиеся точки (а уж насколько это стандартно -- так и не описать словами).

Возможны разные оптимизации. Скажем, в качестве одной из точек взять пересечение прямой и плоскости (тогда её и проецировать-то не придётся). При этом возможен исключительный случай -- когда прямая параллельна плоскости; ну тогда и вообще вторая-то точка и не нужна.

 
 
 
 Re: Как проще всего найти проекцию прямой на плоскость?
Сообщение18.12.2009, 18:16 
Аватара пользователя
Можно с векторами. (Но наверняка сложней будет.) Если $M(x,y,z)$ -- точка на искомой проекции, $M_0$ -- точка пересечения плоскости с прямой (если не пересекаются, то там еще легче),$\vec a = (l,m,n),\ \vec n = (A,B,C)$, то $(\overrightarrow{M_0 M},\vec n)=0$ и $(\overrightarrow{M_0 M},\vec n,\vec a)=0$.

 
 
 
 Re: Как проще всего найти проекцию прямой на плоскость?
Сообщение18.12.2009, 20:49 
Аватара пользователя
В условии, скорее всего, пропущено одно слово --- прямоугольная (или ортогональная) проекция. А то ведь если прямая не параллеьна плоскости, так можно вообще взять проекцию вдоль этой прямой, получится точка :)

Если плоскость задана уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, то $(A, B, C)$ --- вектор, ортогональный к плоскости. Пусть
$$
\mathbf{n} = \left( \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}, \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}, \frac{C}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \right)
$$
Пусть $\mathbf{r}_0$ --- какая-нибудь точка плоскости. Тогда для произвольного $\mathbf{r} \in \mathbb{R}^3$ ортогональная проекция $\mathbf{r}$ на нашу плоскость будет равна $(\mathbf{r} -\mathbf{r}_0) - \big((\mathbf{r} -\mathbf{r}_0\big) \cdot \mathbf{n})\mathbf{n} + \mathbf{r}_0$ (точка обозначает скалярное произведение).

Запишите уравнение прямой в параметрическом виде $\{ \mathbf{v} + t\mathbf{w} : t \in \mathbb{R} \}$. Затем подставьте в уравнение проекции и сразу найдите параметрическое уравнение проекции. Ну а затем, при необходимости, переходите от параметрического уравнения к каноническому. Если прямая не параллельна плоскости, то в качестве $\mathbf{r}_0 = \mathbf{v}$ можно взять точку пересечения прямой и плоскости, кое-что подсократится.

 
 
 
 Re: Как проще всего найти проекцию прямой на плоскость?
Сообщение20.12.2009, 00:18 
neverland в сообщении #272782 писал(а):
Проекция точки на плоскость -- это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Множество проекций точек прямой на плоскость образуют проекцию этой прямой. Взять две точки на прямой, найти точки являющиеся проекциями, и по ним написать уравнение нужной вам прямой.


Спасибо, ясно, осталось только понять - как находить проекцию точки на плоскость

-- Вс дек 20, 2009 01:20:21 --

ewert в сообщении #272783 писал(а):
Логически проще всего -- так.

Взять две точки на прямой (это стандартно). И спроецировать каждую из них на плоскость (тоже стандартно). И провести прямую через две получившиеся точки (а уж насколько это стандартно -- так и не описать словами).

Возможны разные оптимизации. Скажем, в качестве одной из точек взять пересечение прямой и плоскости (тогда её и проецировать-то не придётся). При этом возможен исключительный случай -- когда прямая параллельна плоскости; ну тогда и вообще вторая-то точка и не нужна.


Стандартно, но математически пока неясно как искать

-- Вс дек 20, 2009 01:22:15 --

meduza в сообщении #272803 писал(а):
Можно с векторами. (Но наверняка сложней будет.) Если $M(x,y,z)$ -- точка на искомой проекции, $M_0$ -- точка пересечения плоскости с прямой (если не пересекаются, то там еще легче),$\vec a = (l,m,n),\ \vec n = (A,B,C)$, то $(\overrightarrow{M_0 M},\vec n)=0$ и $(\overrightarrow{M_0 M},\vec n,\vec a)=0$.

Да, так посложнее...
А что значит $(\overrightarrow{M_0 M},\vec n,\vec a)$ Тройное скалярное произведение? :shock:

-- Вс дек 20, 2009 01:23:27 --

Профессор Снэйп в сообщении #272871 писал(а):
В условии, скорее всего, пропущено одно слово --- прямоугольная (или ортогональная) проекция. А то ведь если прямая не параллеьна плоскости, так можно вообще взять проекцию вдоль этой прямой, получится точка :)

Если плоскость задана уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, то $(A, B, C)$ --- вектор, ортогональный к плоскости. Пусть
$$
\mathbf{n} = \left( \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}, \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}, \frac{C}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \right)
$$
Пусть $\mathbf{r}_0$ --- какая-нибудь точка плоскости. Тогда для произвольного $\mathbf{r} \in \mathbb{R}^3$ ортогональная проекция $\mathbf{r}$ на нашу плоскость будет равна $(\mathbf{r} -\mathbf{r}_0) - \big((\mathbf{r} -\mathbf{r}_0\big) \cdot \mathbf{n})\mathbf{n} + \mathbf{r}_0$ (точка обозначает скалярное произведение).

Запишите уравнение прямой в параметрическом виде $\{ \mathbf{v} + t\mathbf{w} : t \in \mathbb{R} \}$. Затем подставьте в уравнение проекции и сразу найдите параметрическое уравнение проекции. Ну а затем, при необходимости, переходите от параметрического уравнения к каноническому. Если прямая не параллельна плоскости, то в качестве $\mathbf{r}_0 = \mathbf{v}$ можно взять точку пересечения прямой и плоскости, кое-что подсократится.


А что значит тут $\vec r$ ?

-- Вс дек 20, 2009 01:39:49 --

Я не очень понял, как находить проекцию точки на плоскость....
Уравнение прямой

$$\dfrac{x-x_0}{l}=\dfrac{y-y_0}{m}=\dfrac{z-z_0}{n}$$

И общее уравнение плоскости

$$Ax+By+Cz+D=0  ; (\gamma)$$

Хотелось бы найти проекцию точки $M_0(x_0,y_0,z_0)$ на плоскость $\gamma$

У прямой , проходящей через точку $M_0$ и перпендикулярной плоскости $\gamma$ направляющим вектором должна служить нормаль к плоскости
$$\dfrac{x-x_0}{A}=\dfrac{y-y_0}{B}=\dfrac{z-z_0}{C}$$

Пусть точка $M_1(x_1,y_1,z_1)$ является проекцией точки $M_0$ на плоскость
Т.к. точка $M_1$ принадлежит $(\gamma)$, то уравнение плоскости можно записать
$$A(x-x_1)+B(y-y_1)+C(z-z_1)=0 $$

-- Вс дек 20, 2009 01:43:42 --

По идее $A=x_1-x_0$ $B=y_1-y_0$ $C=z_1-z_0$

отсюда можно найти координаты точки $M_1$

 
 
 
 Re: Как проще всего найти проекцию прямой на плоскость?
Сообщение20.12.2009, 00:54 
Аватара пользователя
oleg-spbu в сообщении #273161 писал(а):
\
Спасибо, ясно, осталось только понять - как находить проекцию точки на плоскость
\

Вектор нормали есть -- он в уравнении плоскости задан, точку на прямой выбрать тоже можем. Перпендикуляр к плоскости через точку проведем.
Цитата:
А что значит $(\overrightarrow{M_0 M},\vec n,\vec a)$ Тройное скалярное произведение? :shock:

Это значит, что прямая перпендикулярная плоскости перпендикулярна любой прямой в этой плосокости.

 
 
 
 Re: Как проще всего найти проекцию прямой на плоскость?
Сообщение20.12.2009, 09:57 
oleg-spbu в сообщении #273161 писал(а):
У прямой , проходящей через точку $M_0$ и перпендикулярной плоскости $\gamma$ направляющим вектором должна служить нормаль к плоскости
$$\dfrac{x-x_0}{A}=\dfrac{y-y_0}{B}=\dfrac{z-z_0}{C}$$

Правильно. Теперь припишите к этой цепочке справа "$=t$" и выразите $x$, $y$ и $z$ через $t$ -- это и будут рекомендованные Вам параметрические уравнения прямой, перпендикулярной к плоскости. Подставьте их в уравнение плоскости, найдите значение параметра $t$, ну а за ним и $x,\ y,\ z$.

 
 
 
 Re: Как проще всего найти проекцию прямой на плоскость?
Сообщение20.12.2009, 10:39 
Аватара пользователя
oleg-spbu в сообщении #273161 писал(а):
А что значит $(\overrightarrow{M_0 M},\vec n,\vec a)$ Тройное скалярное произведение?

Это смешанное произведение: $(\vec a \vec b \vec c)\equiv \vec a\cdot(\vec b \times \vec c)$. (Хотя "тройное скалярное" -- это вроде синоним).
$(\overrightarrow{M_0 M},\vec n)=0$ значит, что вектор $\overrightarrow{M_0 M}$ лежит в плоскости (по сути это и есть уравнение плоскости, поэтому вместо него можно написать ваше $Ax+By+Cz+D=0$), а $(\overrightarrow{M_0 M},\vec n,\vec a)=0$ -- что вектор нормали к плоскости, прямая и ее проекция лежат в одной плоскости. Отсюда уравнение проекции однозначно определяется.

 
 
 
 Re: Как проще всего найти проекцию прямой на плоскость?
Сообщение20.12.2009, 12:48 
Проще всего - запишите уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую и перпендикулярно заданной плоскости.
Две плоскости и определяют искомую прямую, тем более, что в задаче не оговорено в каком виде должна быть записана проеция :)

 
 
 
 Re: Как проще всего найти проекцию прямой на плоскость?
Сообщение20.12.2009, 15:20 
ewert в сообщении #273209 писал(а):
oleg-spbu в сообщении #273161 писал(а):
У прямой , проходящей через точку $M_0$ и перпендикулярной плоскости $\gamma$ направляющим вектором должна служить нормаль к плоскости
$$\dfrac{x-x_0}{A}=\dfrac{y-y_0}{B}=\dfrac{z-z_0}{C}$$

Правильно. Теперь припишите к этой цепочке справа "$=t$" и выразите $x$, $y$ и $z$ через $t$ -- это и будут рекомендованные Вам параметрические уравнения прямой, перпендикулярной к плоскости. Подставьте их в уравнение плоскости, найдите значение параметра $t$, ну а за ним и $x,\ y,\ z$.


Спасибо! Получилось так
$$
\left\{ \begin{array}{l}
x=At+x_0\\
y=Bt+y_0\\
z=Ct+z_0\\
\end{array} \right
$$

$$A(At+x_0)+B(Bt+y_0)+C(Ct+z_0)+D$$
$$(A^2+B^2+C^2)t+Ax_0+B_y_0+Cz_0+D=0$$
$$t=-\dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}$$

Координаты проекции точки

$$
\left\{ \begin{array}{l}
x_1=-A\dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}+x_0\\
y_1=-B\dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}t+y_0\\
z_1=-C\dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}t+z_0\\
\end{array} \right
$$

А как мы найдем вторую точку, чтобы проецировать?))

 
 
 
 Re: Как проще всего найти проекцию прямой на плоскость?
Сообщение20.12.2009, 15:35 
Пересеките аналогичным образом исходную прямую с плоскостью -- вот и получите вторую точку.

 
 
 
 Re: Как проще всего найти проекцию прямой на плоскость?
Сообщение20.12.2009, 15:56 
vvvv в сообщении #273266 писал(а):
Проще всего - запишите уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую и перпендикулярно заданной плоскости.
Две плоскости и определяют искомую прямую, тем более, что в задаче не оговорено в каком виде должна быть записана проеция :)


А как же ее записать? Да, через прямую и точку, не лежащую на ней проходит только одна плоскость. Через три точки проходит только одна плоскость. Но у нас только 2 точки...

 
 
 
 Re: Как проще всего найти проекцию прямой на плоскость?
Сообщение20.12.2009, 16:18 
oleg-spbu в сообщении #273367 писал(а):
А как же ее записать?

А нормальный вектор к той плоскости -- ортогонален как направляющему вектору исходной прямой, так и нормальному вектору исходной плоскости, ну и...

Правда, точку пересечения прямой и плоскости всё равно искать придётся -- даже для получения общих уравнений той нищастной прямой.

 
 
 
 Re: Как проще всего найти проекцию прямой на плоскость?
Сообщение20.12.2009, 16:22 
Цитата:
Правда, точку пересечения прямой и плоскости всё равно искать придётся -- даже для получения общих уравнений той нищастной прямой.


У нас есть 2 уравнения и три неизвестных (уравнение прямой, пересекающей плоскость и плоскости, проходящую через найденную точку). Не хватает еще одного уравнения...

 
 
 [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group