Функция, непрерывная в рац. точках и разрывная в иррациональ

[Someone]

Dan_Te писал(а):

А почему вы пустое множество обозначаете лямбдой? Это какая-то математическая школа?

Когда я был сначала студентом, а потом аспирантом на кафедре Высшей геометрии и топологии МГУ (позже её зачем-то разделили на две кафедры, выделив отдельно кафедру Общей топологии и геометрии, куда и попали все, кто занимался общей топологией), у нас так было принято.
Можете также посмотреть в топологической литературе, например, в следующих книгах.

[1] П.С.Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. "Наука", Москва, 1977.
[2] А.В.Архангельский, В.И.Пономарёв. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. "Наука", Москва, 1974.

Возможно, это характерно именно для московской топологической школы, но я как-то не анализировал этот вопрос.

Dan_Te писал(а):

Вообще-то я хотел спросить, зачем самому пространству быть открытым в определении топологии. Посмотрел КоФо, и там действительно так. Вот только зачем мы вписываем это в аксиомы? Это для лучшей совместимости с другими мат. объектами, типа как "0!=1"?

Видите ли, если определять топологию так, как это было принято с самого начала (у Хаусдорфа), то есть, через семейства окрестностей точек, то само пространство автоматически оказывается открытым, поскольку у него, очевидно, все точки внутренние (то же самое - для пустого множества).
А из остальных аксиом это не следует, и если мы не потребуем, чтобы само пространство было открытым, то могут появиться точки, не имеющие окрестностей. Вряд ли увеличение общности окупит возникающие при этом проблемы.

[Гость]

[quote="cepesh"]


Предположим, что на числовой прямой $\mathbb{R}$ задана функция $f(x)$, которая имеет всюду плотное множество точек непрерывности.
[quote]

1) Как понять что:
"функция имеет всюду плотное множество точек непрерывности."

2)И что такое всюду плотное множество.

[Pokemon]

А если множество содержит все рациональные точки значит оно ВСЮДУ ПЛОТНО верно?

[Dan_Te]

Pokemon: да, если содержит все рациональные, то всюду плотно.
Или если содержит все иррациональные, то тоже.

[Someone]

Anonymous писал(а):

cepesh писал(а):

Предположим, что на числовой прямой $\mathbb{R}$ задана функция $f(x)$, которая имеет всюду плотное множество точек непрерывности.

1) Как понять что:
"функция имеет всюду плотное множество точек непрерывности."

2)И что такое всюду плотное множество.

1) Это означает, что в каждом интервале $(a,b)\subseteq\mathbb R$ имеется точка, в которой наша функция непрерывна.

2) Это означает, что в каждом интервале $(a,b)\subseteq\mathbb R$ имеется точка, принадлежащая нашему множеству.

А, может быть, не стоит задавать здесь тривиальные вопросы, а вместо этого взять книжку и почитать? Например: П.С.Александров, Введение в теорию множеств и общую топологию, "Наука", Москва, 1977. Она написана вполне понятно.

[Dan_Te]

Тривиальность - понятие относительное. Иногда возникают трудности и с определениями.

Хотя чаще да, трудности бывают от нечтения книжек. Всегда проще спросить определение в форуме (правда, толку от этого немного...)

[Гость]

Someone писал(а):

1) Это означает, что в каждом интервале $(a,b)\subseteq\mathbb R$ имеется точка, в которой наша функция непрерывна.

2) Это означает, что в каждом интервале $(a,b)\subseteq\mathbb R$ имеется точка, принадлежащая нашему множеству.

А это определение или это как-то доказывается? если доказывается то подскажите как.

[Pokemon]

Someone писал(а):

А, может быть, не стоит задавать здесь тривиальные вопросы, а вместо этого взять книжку и почитать? Например: П.С.Александров, Введение в теорию множеств и общую топологию, "Наука", Москва, 1977. Она написана вполне понятно.

А эту книгу можно где-нибудь скачать?

[Someone]

Anonymous писал(а):

Someone писал(а):

1) Это означает, что в каждом интервале $(a,b)\subseteq\mathbb R$ имеется точка, в которой наша функция непрерывна.

2) Это означает, что в каждом интервале $(a,b)\subseteq\mathbb R$ имеется точка, принадлежащая нашему множеству.

А это определение или это как-то доказывается? если доказывается то подскажите как.

Определение всюду плотного множества на числовой прямой. Аналогично в произвольном топологическом пространстве: множество всюду плотно, если оно имеет хотя бы одну точку в каждом непустом открытом множестве.

[Dan_Te]

Pokemon писал(а):

А эту книгу можно где-нибудь скачать?

Вы находитесь на сайте не столовой, не кинотеатра и не казино. В данный момент вы находитесь на сайте библиотеки. И вы спрашиваете, где взять книжку. А подумать слабо?

[LynxGAV]

Я вижу, что тут советуют читать книги...Но для меня это принципиальный вопрос.

Скажу по-английски, дабы не перевернуть какое-то слово не так и не потерять мат. строгость моего неважнецкого высказывания.

n-dimensional manifold M is a set of points such that each point possesses a set of n coordinates(x^1, x^2,...,x^n), where each coordinate ranges over a subset of the reals, which may, in particular, range from - inf. to + inf.

Так можно сказать?
Это не из книги.

[Dan_Te]

Насколько я помню, так нельзя, потому что мало сказано про то, как могут изменяться координаты.
К сожалению, диффгем никогда не был моим любимым предметом... Помню, что там было несколько последовательных определений. Кажется, сначала вводится k-мерное многообразие в n-мерном пространстве как множество M точек (подмножество $\mathbb{R}^n$), диффеоморфное некоторой области в $\mathbb{R}^k$. То есть, у каждой точки $x=(x_1\ldots x_n)\in M\subset \mathbb{R}^n$ есть k координат $(y_1\ldots y_k)$, которые не какие угодно, а из некоторой области в $\mathbb{R}^k$, при этом координаты как функции точек М должны быть дифференцируемы, да еще и якобиан имеет полный ранг,

$$\mathrm{rank} \frac{(\partial y_1 \ldots \partial y_k)}{(\partial x_1 \ldots \partial x_n)}\left|_x=k$$

в любой точке $x\in M$.
Дальше вводятся карты, атласы и все такое.
Поправьте меня, если я где ошибся =)

[LynxGAV]

Ecли Вы не уверены, а я спрашиваю, то нужен кто-то третий. Может Someone поможет..

Это не отсебятина. Фактически от такого "определения" мы начали плясать в курсе "Относительности и космологии". Начали с тензоров в n-мерном пространстве, определенных на (дифференциальных) многообразиях.
Понятно, в одном курсе не вместить диф. геом., топологию, общую относительность, космологию и гравитацию и многое нам не досказали, но все же, что это такое. Пойду ругаться =)))

[dm]

LynxGAV
http://en.wikipedia.org/wiki/Manifold
http://ru.wikipedia.org/wiki/Многообразие
http://mathworld.wolfram.com/Manifold.html

[nikolai]

Kstati na schet mnogoobrazii. V bytnost zarozhdeniya differencialnoi topologii i "prodvinutogo" izucheniya geometrii odin iz vidnyx professorov Prinstonskogo Universiteta Salomon Bochner nachinaya vvedenie v mnogoobraziya pytalsya dat opredelenie mnogoobraziyu i ne sumev prosto govoril studentam "Well, you all know what a manifold is". Slava Bogu studenty byli chto nado, John Nash k primeru..