Пустое множество - подмножество любого множества?

[master]

Lyosha в сообщении #270486 писал(а):

что пустое множество является частью какого-либо другого множества.

И при том этих пустых множеств в любом множестве бесконечное количество
Да, и пустое множество, тоже содержит пустое множество

[Lyosha]

Sasha2
Покажите эквивалентность.Этим Вы лишь показали,что не опро вергли посылку о том,что пустое множество часть любого.У Вас схема рассуждения такова.Из дифференцируемости функции следует её непрерывность.Как опровергнуть дифференцируемость?Показать разрывность.Но есть непрерывность!Значит есть дифференцируемость.

Профессор Снэйп
Покажите как.

-- Сб дек 12, 2009 09:16:49 --

12d3
Это всего лишь будет означать,что пустое множество не будет собственным подмножеством(что вообще говоря,предпологалось).Неужели Вы думаете,что сможете извлечь из этого какое-то противоречие?

[Istego]

Lyosha
Все это имеет чисто экономические причины. Если бы пришлось вместо утверждения, что пересечение двух множеств A и B является подмножеством и A и B доказывать что пересечение двух множеств A и B является подмножеством и A и B при условии, что пересечение не пусто, то это потребовало бы большего количества чернил.

Цитата:

Как изменилось бы лицо математики если бы считалось,что пустое множество не является частью никакого другого множества?

Возможно, по экономическим причинам, математикой занималось бы меньшее количество людей. И это бы изменило то, что Вы называете "лицом".

(Оффтоп)

Помогите решить / разобраться (М). Это учебный раздел?

Lyosha Можно увидеть Ваши попытки решения/рассуждения? Как, что и на чем скажется?

[AD]

Lyosha в сообщении #270486 писал(а):

Для чего понадобилось считать пустое множество подмножеством любого множества?

Для сокращения некоторых формулировок.

Lyosha в сообщении #270486 писал(а):

Ведь используя определение подмножества нельзя установить,что пустое множество является частью какого-либо другого множества.

Приведите определения, которыми Вы пользуетесь. В моих любимых определениях можно установить.

Lyosha в сообщении #270486 писал(а):

Как изменилось бы лицо математики если бы считалось,что пустое множество не является частью никакого другого множества?

В некоторых теоремах появилось бы идиотское уточнение "включая пустое" или "кроме пустого".

[master]

Lyosha в сообщении #270486 писал(а):

Для чего понадобилось считать пустое множество подмножеством любого множества?

Сколько в вас гаек, шурупов, болтов и т.д.? А если вы случайно проглотите один болт?

[Профессор Снэйп]

Lyosha в сообщении #270534 писал(а):

Профессор Снэйп
Покажите как.

Если $S$ --- множество, то любой элемент пустого множества является элементом множества $S$. Здесь я чуть подробнее про это писал.

И ещё: элемент и подмножество --- совершенно разные вещи, не забывайте об этом! Записи $x \in X$ и $x \subseteq X$ имеют различный смысл. В частности, $\varnothing \subseteq \varnothing$, но $\varnothing \not\in \varnothing$.

-- Сб дек 12, 2009 14:38:29 --

P. S. А вот что мне никогда не нравилось, так это то, что в исчислении предикатов имеет место $\forall x \Phi(x) \vdash \exists x \Phi(x)$. Модели с пустым носителем не рассматриваются. Причём сами же логики от этого соглашения порой отходят; к примеру, доказывая лемму Цорна, начинают с того, чтог пустое множество вполне упорядочено... Ну да ладно, это действительно не суть важно.

[AGu]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #270563 писал(а):

P. S. А вот что мне никогда не нравилось, так это то, что в исчислении предикатов имеет место $\forall x \Phi(x) \vdash \exists x \Phi(x)$. Модели с пустым носителем не рассматриваются.

Я тоже сначала удивлялся этой «природе, не терпящей пустоты», но постепенно свыкся.

Профессор Снэйп в сообщении #270563 писал(а):

Причём сами же логики от этого соглашения порой отходят; к примеру, доказывая лемму Цорна, начинают с того, чтог пустое множество вполне упорядочено...

А вот тут не понял, не вижу связи. Не для пустой же «модели» теории множеств они это доказывают! В пустой «модели» даже пустого множества нету.

Впрочем...

Профессор Снэйп в сообщении #270563 писал(а):

Ну да ладно, это действительно не суть важно.

Согласен.

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

AGu в сообщении #270597 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #270563 писал(а):

Причём сами же логики от этого соглашения порой отходят; к примеру, доказывая лемму Цорна, начинают с того, что пустое множество вполне упорядочено...

А вот тут не понял, не вижу связи. Не для пустой же «модели» теории множеств они это доказывают! В пустой «модели» даже пустого множества нету.

Тут имеется в виду вот какой момент доказательства леммы Цорна (из аксиомы выбора).

Пусть $P$ --- индуктивное частично упорядоченное множество. Пользуясь аксиомой выбора, для каждого линейно упорядоченного подмножества $L \subseteq P$ выберем его верхнюю грань $h(L)$. Рассмотрим $h(\varnothing)$...

Если $L$ --- линейно упорядоченное подмножество $P$, то $L$ --- подмодель $P$, удовлетворяющая дополнительному свойству линейности. Подмодель --- это модель. Модель не может иметь пустой носитель. А мы допускаем $L = \varnothing$.

Или вот, к примеру, теорема: если $\alpha$ --- ординал, то $\langle \alpha, \in \rangle$ --- вполне упорядоченное множество. Однако $\varnothing$ --- тоже ординал.

[AGu]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #270651 писал(а):

Если $L$ --- линейно упорядоченное подмножество $P$, то $L$ --- подмодель $P$

Неправда. Это верно только для непустого $L$.

Последовательно занудствуя в таком ключе, нужно ваще пустое множество запретить, считая всякое множество моделью пустой сигнатуры.

Ну а если серьезно, то мне кажется, что в таких местах все чисто. Вовсе не обязательно всякую «алгебраическую систему» считать моделью в логическом смысле. Например, по определению упорядоченное множество — это всего лишь множество, снабженное таким-сяким отношением. Просто не нужно произносить слово «модель» всуе — и все дела. Хотя согласен, этот запрет вполне можно счесть дурацким. И наверняка есть куча мест, где можно уличить логиков в непоследовательности. Так и подмывает сказать, что всякое упорядоченное множество — модель аксиом порядка, а низзя. Фигня какая-то.

Помнится, где-то я видел рассуждения в пользу этого запрета — что он, мол, полезен, избавляет от какой-то там возни и соответствует Аристотелю. (Где-то у классиков. Кажись, у Гильберта с Бернайсом или типа того.)

[Профессор Снэйп]

AGu в сообщении #270686 писал(а):

Ну а если серьезно, то мне кажется, что в таких местах все чисто...

По сути, конечно, да. А формально - даже не знаю.

Пусть есть, к примеру, ЧУМ, и в нём произвольное подмножество. Мы называем это подмножество цепью, если

Вариант 1. Любые два его элемента сравнимы.
Вариант 2. На нём выполнена аксиома $\forall x \forall y \big((x \leqslant y) \vee (y \leqslant x)\big)$.

С одной стороны, вроде как оба варианта идентичны. С другой стороны, в первом варианте допускаются пустые цепи, а во втором не допускаются.

[AGu]

Профессор Снэйп в сообщении #270695 писал(а):

Пусть есть, к примеру, ЧУМ, и в нём произвольное подмножество. Мы называем это подмножество цепью, если

Вариант 1. Любые два его элемента сравнимы.
Вариант 2. На нём выполнена аксиома $\forall x \forall y \big((x \leqslant y) \vee (y \leqslant x)\big)$.

С одной стороны, вроде как оба варианта идентичны. С другой стороны, в первом варианте допускаются пустые цепи, а во втором не допускаются.

На этот счет у меня сложилось следующее ИМХО.

Всякое традиционное определение в рамках теории множеств состоит из двух частей — формальной и неформальной. Формальная часть определения — это расширение языка, снабженное правилами перевода на исходный язык. Неформальная же часть определения — это его контекст, некоторое условие (формула), в рамках которого расширенный синтаксис считается осмысленным. (Подчеркну, что контекст определения и осмысленность записи — штуки расплывчатые, неформализуемые.)

Для примера рассмотрим следующее определение: для ненулевого вещественного числа $x$ символом $x^{-1}$ обозначается такое число, что $xx^{-1}=1$. Формальная часть определения соответствующего терма в рамках теории множеств может быть такой: $x^{-1}:=\cup\{y\in\mathbb R:xy=1\}$. Как видно, формально терм $x^{-1}$ определен для любого множества $x$ — в том числе для $x=0$ и даже для $x$, не являющегося числом. Неформальный же контекст определения терма $x^{-1}$ следующий: $0\ne x\in\mathbb R$. В рамках контекста мы имеем $x^{-1}\in\mathbb R$ и $xx^{-1}=1$. Неформально считается, что терм $0^{-1}$ смысла не имеет и, в частности, запись $0^{-1}=\varnothing$ бессмысленна. С другой стороны, с чисто формальной точки зрения эта запись имеет смысл и даже является теоремой. Она просто выпадает из контекста определения терма $x^{-1}$.

Теперь — к вопросу о пустоте. Определение истинности формально распространяется на системы с пустым носителем, но с нарушением неформального контекста. Формально запись $\langle\varnothing,\varnothing\rangle\vDash\forall x \forall y \big((x \leqslant y) \vee (y \leqslant x)\big)$ имеет смысл и даже является теоремой, но она выпадает из неформального контекста определения истинности, согласно которому слева от знака $\vDash$ должна стоять пара с непустой первой компонентой. При этом формально пара $\langle\varnothing,\varnothing\rangle$ является моделью формулы $\forall x \forall y \big((x \leqslant y) \vee (y \leqslant x)\big)$, но нарушение контекста определения выливается в тот неприятный факт, что $\langle\varnothing,\varnothing\rangle$ не является моделью теории предикатов (т.е. в ней не все предикатные тавтологии истинны).

Стало быть, формально говорить о пустых моделях можно, а неформально — нельзя (теряется «смысл», нарушается контекст определения).

На всякий случай: я тут вовсе не оправдываю запрет пустых моделей, я просто к нему приспосабливаюсь.

[arseniiv]

$$\varnothing \subseteq A \Leftrightarrow \forall x\left( {x \in \varnothing \Rightarrow x \in A} \right) \Leftrightarrow \forall x\left( {0 \Rightarrow x \in A} \right) \Leftrightarrow \forall x1 \Leftrightarrow 1$$

Вот и всё, чего там гадать.

[Alexey Romanov]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #270563 писал(а):

P. S. А вот что мне никогда не нравилось, так это то, что в исчислении предикатов имеет место $\forall x \Phi(x) \vdash \exists x \Phi(x)$. Модели с пустым носителем не рассматриваются.

Если вдруг не знаете: http://en.wikipedia.org/wiki/Free_logic

[demeter]

Alexey Romanov в сообщении #279788 писал(а):

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #270563 писал(а):

P. S. А вот что мне никогда не нравилось, так это то, что в исчислении предикатов имеет место $\forall x \Phi(x) \vdash \exists x \Phi(x)$. Модели с пустым носителем не рассматриваются.

Если вдруг не знаете: http://en.wikipedia.org/wiki/Free_logic

Кстати, об этом можна почитать поподробнее, скажем, тут: http://platonanet.org.ua/load/knigi_po_ ... 3-1-0-1344

[Kallikanzarid]

OP, $a \subset b \Leftrightarrow \forall x (x \in a \Rightarrow x \in b)$. Выполняется ли это для произвольного $b$ и $a = \{\}$?