Пусть есть, к примеру, ЧУМ, и в нём произвольное подмножество. Мы называем это подмножество цепью, если
Вариант 1. Любые два его элемента сравнимы.
Вариант 2. На нём выполнена аксиома
![$\forall x \forall y \big((x \leqslant y) \vee (y \leqslant x)\big)$ $\forall x \forall y \big((x \leqslant y) \vee (y \leqslant x)\big)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/f/d6f91fa48fbda87b7bcddd5b80d1922c82.png)
.
С одной стороны, вроде как оба варианта идентичны. С другой стороны, в первом варианте допускаются пустые цепи, а во втором не допускаются.
На этот счет у меня сложилось следующее ИМХО.
Всякое традиционное определение в рамках теории множеств состоит из двух частей — формальной и неформальной. Формальная часть определения — это расширение языка, снабженное правилами перевода на исходный язык. Неформальная же часть определения — это его контекст, некоторое условие (формула), в рамках которого расширенный синтаксис считается осмысленным. (Подчеркну, что контекст определения и осмысленность записи — штуки расплывчатые, неформализуемые.)
Для примера рассмотрим следующее определение:
для ненулевого вещественного числа
символом
обозначается такое число, что ![$xx^{-1}=1$ $xx^{-1}=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/0/f109c243a57d2019395ac777e5c871aa82.png)
. Формальная часть определения соответствующего терма в рамках теории множеств может быть такой:
![$x^{-1}:=\cup\{y\in\mathbb R:xy=1\}$ $x^{-1}:=\cup\{y\in\mathbb R:xy=1\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/4/6349fbde90b1f3aff2a9f45d5532ce7382.png)
. Как видно, формально терм
![$x^{-1}$ $x^{-1}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/4/0f4b58b09f22d9d59e78c81f0a11176d82.png)
определен для любого множества
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
— в том числе для
![$x=0$ $x=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/3/8436d02a042a1eec745015a5801fc1a082.png)
и даже для
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
, не являющегося числом. Неформальный же контекст определения терма
![$x^{-1}$ $x^{-1}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/4/0f4b58b09f22d9d59e78c81f0a11176d82.png)
следующий:
![$0\ne x\in\mathbb R$ $0\ne x\in\mathbb R$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/b/6bb0e19e69692b6c91513c17da08245482.png)
. В рамках контекста мы имеем
![$x^{-1}\in\mathbb R$ $x^{-1}\in\mathbb R$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/3/ba3d6551427f19a3178d384720e5994682.png)
и
![$xx^{-1}=1$ $xx^{-1}=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/0/f109c243a57d2019395ac777e5c871aa82.png)
. Неформально считается, что терм
![$0^{-1}$ $0^{-1}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/0/e609eb4747e508e00b8b06d8adec8bd382.png)
смысла не имеет и, в частности, запись
![$0^{-1}=\varnothing$ $0^{-1}=\varnothing$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/9/0896f93e2e9667506c9654cd2fbc5b6082.png)
бессмысленна. С другой стороны, с чисто формальной точки зрения эта запись имеет смысл и даже является теоремой. Она просто выпадает из контекста определения терма
![$x^{-1}$ $x^{-1}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/4/0f4b58b09f22d9d59e78c81f0a11176d82.png)
.
Теперь — к вопросу о пустоте. Определение истинности формально распространяется на системы с пустым носителем, но с нарушением неформального контекста. Формально запись
![$\langle\varnothing,\varnothing\rangle\vDash\forall x \forall y \big((x \leqslant y) \vee (y \leqslant x)\big)$ $\langle\varnothing,\varnothing\rangle\vDash\forall x \forall y \big((x \leqslant y) \vee (y \leqslant x)\big)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/1/7f19b938b4fe7b5bfaffbe360feece5282.png)
имеет смысл и даже является теоремой, но она выпадает из неформального контекста определения истинности, согласно которому слева от знака
![$\vDash$ $\vDash$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/2/5a2c19d1ee0fe6e0dcc1858ca24fb3ab82.png)
должна стоять пара с непустой первой компонентой. При этом формально пара
![$\langle\varnothing,\varnothing\rangle$ $\langle\varnothing,\varnothing\rangle$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/3/6f38aeaec5f96e0c09a769f27913697982.png)
является моделью формулы
![$\forall x \forall y \big((x \leqslant y) \vee (y \leqslant x)\big)$ $\forall x \forall y \big((x \leqslant y) \vee (y \leqslant x)\big)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/f/d6f91fa48fbda87b7bcddd5b80d1922c82.png)
, но нарушение контекста определения выливается в тот неприятный факт, что
![$\langle\varnothing,\varnothing\rangle$ $\langle\varnothing,\varnothing\rangle$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/3/6f38aeaec5f96e0c09a769f27913697982.png)
не является моделью теории предикатов (т.е. в ней не все предикатные тавтологии истинны).
Стало быть, формально говорить о пустых моделях можно, а неформально — нельзя (теряется «смысл», нарушается контекст определения).
На всякий случай: я тут вовсе не оправдываю запрет пустых моделей, я просто к нему приспосабливаюсь.