Школьный диффгем?

[ewert]

Yu_K в сообщении #265157 писал(а):

А для единичного куба длину разреза можно сделать меньше, чем $12a+3$, $a={\sqrt3\over6}$ ?

Мне почему-то раньше казалось, что нельзя -- что $2\sqrt3+3=6.464102$ оптимально. И это выглядело странно -- конфигурация-то несимметрична. Но вот сейчас пересчитал -- и, если не ошибаюсь, оптимальным будет как раз наиболее симметричный разрез. Тогда его суммарная длина $4\cdot\sqrt{\dfrac{193}{162}+\dfrac{2}{\sqrt3}}=6.126740$.

[Nilenbert]

ewert в сообщении #265232 писал(а):

Но вот сейчас пересчитал -- и, если не ошибаюсь, оптимальным будет как раз наиболее симметричный разрез. Тогда его суммарная длина $4\cdot\sqrt{\dfrac{193}{162}+\dfrac{2}{\sqrt3}}=6.126740$.

А можно схему разреза?

[Yu_K]

Примерно так можно попробовать разрезать - углы по 120 градусов - можно поискать варианты с меньшим числом точек внутри области - но вот считать конечно лениво...

[ewert]

Вот ровно такая схема и будет. Посчитать её не так уж и сложно: если выделить центральную точку и посмотреть, например, слева от неё -- то там достаточно явно проявляются три подобных треугольника с соотношением линейных размеров ${1}:{1\over3}:{2\over3}$. Но я вовсе не убеждён, что мои выкладки арифметически 100% правильны; я очень люблю ошибаться в арифметике.

[Yu_K]

Забавно. Я когда посмотрел этот вариант - что-то там много линий и визуально показалось, что он имеет длину больше, чем $6.46... $
И далее
Задача $N$-мерный куб разрезать на $N-1$-мерные с минимальной мерой разреза. Для начала сделать $3$-мерную развертку $4$-мерного куба, так чтобы площадь поверхности разреза была минимальной.

[Yu_K]

Самая обычная трехмерная развертка четырехмерного например куба здесь http://www.michurin.com.ru/tetracub.shtml.

[ИСН]

Обычная-то понятно. А для минимальной, поди, надо опять резать плоскостями, сходящимися под волшебными углами в 120° на манер мыльной пены, и тут картинка получится такая, что - - -

[Yu_K]

Похоже 4-х мерным кубом никто не хочет заниматься - тогда попроще задача - по теме "минимальная ломаная внутри квадрата".

Given a square piece of property of unit side you wish to build fences so that it is impossible to see through the property, ie there is no sightline connecting two points outside the property and passing through the property that does not intersect a fence. The fences do not have to be connected and several fences can come together at a point. What is the minimum total length of fencing required and how is it arranged. For example you could place fencing along all four sides. This would have total length 4 but is not the best possible.

[gris]

Диагонали - $2\sqrt2$.
Не решение, но шажок. Мне мечтается, что длину можно сделать сколь угодно маленькой. :мечтательная улыбка:

[Yu_K]

Ну да с диагоналей начать - это святое... потом перейти к минимальной дорожной сети для квадрата.... а потом уже думать...

[ИСН]

Минимальная дорожная сеть для квадрата - это $1+\sqrt 3$, так?
Следующий шаг: от одной вершины проводим половинку диагонали и обрываем в чистом поле. Остальные три соединяем минимальной сетью.

[Yu_K]

Да.
Да. Лучше пока никто не нашел варианта. Ссылки здесь http://domino.research.ibm.com/Comm/www ... y2007.html

Ну а про максимальный квадрат вписанный в куб - наверное уже будет баян?

[ИСН]

Баян, конечно. Там как-то в шестиугольное сечение впихивают, выходит не очень красиво, но всё-таки больше 1.

-- Ср, 2009-12-02, 16:45 --

А что принц Руперт отметился ещё и в этой задаче, я узнал только сейчас.

[Yu_K]

http://private.mcnet.ch/baumann/EqAreaOverview.htm - вот тут еще всякие задачки на разрезание многоугольников, H6b, T5c - без ответа. Вроде в тему - не оффтоп.

[Yu_K]

Для единичного куба длина разреза $12a+3$, $a={\sqrt3\over6}$ меньше, чем длина разреза по второй схеме. Пересчитал длину разреза для второй схемы - ангем - шесть уравнений (четыре условия параллельности и два условия принадлежности точек окружностям) - ответ совпал с ответом venco в марафоне головоломок

venco в сообщении #472734 писал(а):

Решение оказалось не оптимальным:

(Решение Задачи №256)

Yu_K в сообщении #472177 писал(а):

Задача №256.
Какой минимальной длины можно сделать разрез поверхности куба, чтобы можно было развернуть поверхность на плоскость? Разрез не обязан быть линейным.

$3+2\sqrt 3=6.4641...$

Схема минимального разреза