Волновая функция и аналитические функции от гиперчисел

[Time]

Может кто ни будь из участников форума слышал о попытках или даже вполне успешных теориях, в которых устанавливалось бы соответствие между волновой функцией релятивистской квантовой механики и аналитическими функциями от комплексной переменной и h-аналитическими функциями гиперболически комплексной переменной? Последние еще иногда называют двойными или расщепленными числами. Речь, естественно, лишь о двумерных (и только двумерных!) задачах, где всего одна пространственная координата и одна временнАя. О возможности такой связи говорят:
- метрическая структура двумерного псевдориманова пространства-времени, соответсвующая алгебре и анализу над гиперболически комплексными числами:
- бесконечная размерность конформной группы двумерного пространства-времени;
- такая же бесконечная размерность группы h-аналитических функций двойной переменной;
- факт, что экспоненциальная функция от двойной переменной, с одной стороны, является одной из важнейших h-аналитических функций, а с другой, - основой при конструировании волновой функции;
- h-аналитические функции от двойной переменной также как и волновые функции всегда можно разложить на гармоники.
К сожалению, я практически не знаком с пси-функцией, поэтому не знаю, существуют ли успешные разработки в вышеуказанном направлении..
Зато, достаточно хорошо знаю h-аналитические функции от двойной переменной, это и позволяет надеяться, что сумею понять, если попытки установления связи между этими основными объектами физической и математической теорий кем-то предпринимались..
Есть ли здесь кто-то, кто слышал о чем-то похожем?

[ИгорЪ]

Что вы понимаете под волновой функцией релятивистской квантовой механики?
Ваши пункты указывающие на гипотетическую связь - увы никак не обоснованы.
Я знаю что есть кватернионная квантовая механика, есть гиперболическая, с дуальным вариантом сам разбирался однажды. Наберите в архиве найдёте. Вам как я понимаю интересна квантовая механика с поличислами, строится аналогично, ценность - весьма сомнительна, пока, по крайней мере, но написать пару статей ни к чему не обязывающих - легко. Ваш журнал рецензируемый?

[Time]

ИгорЪ в сообщении #266535 писал(а):

Что вы понимаете под волновой функцией релятивистской квантовой механики?

То, что такая функция должна описывать состояния частиц со скоростями близкими к релятивистским.

ИгорЪ в сообщении #266535 писал(а):

Ваши пункты указывающие на гипотетическую связь - увы никак не обоснованы.

Что бы Вы хотели видеть в качестве соответствующего обоснования?

ИгорЪ в сообщении #266535 писал(а):

Я знаю что есть кватернионная квантовая механика

Не подходит, так как тут четыре измерния, да и сами кватернионы меня мало интересуют.

ИгорЪ в сообщении #266535 писал(а):

есть гиперболическая

Похоже на то, что нужно. Можно поподробнее, если сам не найду?

ИгорЪ в сообщении #266535 писал(а):

с дуальным вариантом сам разбирался однажды.

Это снова "не то", так как дуальным числам соответствует двумерное пространство-время с геометрией Галилея, а она мне сейчас ни к чему. Нужна геометрия псевдоевклидовой плоскости и соответствующая ей алгебра двойных (а не дуальных чисел).

ИгорЪ в сообщении #266535 писал(а):

Вам как я понимаю интересна квантовая механика с поличислами, строится аналогично, ценность - весьма сомнительна, пока, по крайней мере

Меня, по крайней мере, пока, интересует квантовая механика не в связи с любыми поличислами, а лишь та, что соответствует случаю двойных (гиперболически комплексных) поличисел. Этим соответствует вполне обычное пространство Минковского, прчем всего с двумя измерениями. Здесь финслеровостью еще и не пахнет. Именно поэтому, я полагаю, соответствующие идеи должны были бы хоть иногда появляться и разрабатываться..

ИгорЪ в сообщении #266535 писал(а):

Ваш журнал рецензируемый?

Последние пару лет практически все статьи рецензируются. Несколько месяцев назад даже подали заявку на включение в ВАК'овский список. Может когда и включат..

[ИгорЪ]

Завтра дам ссылку

[Time]

Заранее благодарю. Мне что-то так ничего конкретного на русском языке найти не удалось. Там где, похоже, есть намеки на нужные моменты, нет текста, а там где есть текст - нет того что нужно

[ИгорЪ]

http://arxiv.org/abs/math-ph/0507053 это Хренников, в цитируемых статьях м.б. что то вам будет интересно. А вообще в архиве полно про гиперболические числа, плоскости и т.д.

Релятивистская КМ это квантовая теория поля. Двумерная конформная квантовая теория поля это и есть то что вы ищете, толко в комплексном варианте. Я уже давал ссылки. Берёте и переделываете на гиперболический лад, на определённом моменте вероятно случится затык. В дуальном случае я пытался этим заниматься, затык случился в конструкциях представлений алгебры Вирасоро, эта та самая бесконечномерная симметрия про которую вы всё говорите, только квантовый вариант.

[Time]

ИгорЪ в сообщении #266679 писал(а):

http://arxiv.org/abs/math-ph/0507053 это Хренников, в цитируемых статьях м.б. что то вам будет интересно. А вообще в архиве полно про гиперболические числа, плоскости и т.д.

Большое спасибо, посмотрел. Правда, это не то, что я бы хотел. Тут изложена часть теории функций гиперболически комплексной переменной, которая мне и так достаточно хорошо известна. Кстати, странно, что авторы не дают ссылок на работы в соотвествующем направлении более ранние, чем 1980 года, в частности, на Кантора с Солодовниковым (1973) и Лаврентьева с Шабатом (1977). По-большому счету, это пересказ того, что есть там, только более современным языком.
Меня же интересует совсем другая проблема, а именно, как теория функций двойной переменной используется в частных случаях решений уравнения Шредингера, сводящихся к двум координатам. В частности, как интерпретируют на квантовомеханическом языке те или иные элементарные h-аналитические функции? Ну, например, экспоненту, логарифм или обратную.. Не знаете, где об этом можно было бы прочитать?

ИгорЪ в сообщении #266679 писал(а):

Релятивистская КМ это квантовая теория поля. Двумерная конформная квантовая теория поля это и есть то что вы ищете, толко в комплексном варианте.

Комплексификация алгебры двойных чисел меня совсем не пугает. Этот прием, кстати, приводит к переходу от двумерного вещественного пространства с псевдоевклидовой метрикой к четырехмерному вещественному пространству, обладающему уже финслеровой метрической функцией с 4-арной формой, или, что тоже самое, с четырехлинейной симметрической формой от четырех векторов, за вместо билинейной симметрической формы от двух, которая используется в обычных квадратичных геометриях.
А есть ли что ни будь по двумерной конформной квантовой теории поля (пусть и в комплексном варианте) с конкретными простейшими примерами нелинейных аналитических функций? Я, к сожалению, абстрактно мыслю с трудом..

ИгорЪ в сообщении #266679 писал(а):

Я уже давал ссылки. Берёте и переделываете на гиперболический лад, на определённом моменте вероятно случится затык. В дуальном случае я пытался этим заниматься, затык случился в конструкциях представлений алгебры Вирасоро, эта та самая бесконечномерная симметрия про которую вы всё говорите, только квантовый вариант.

Я пытался смотреть эти алгебры, но в тех источниках, что мне попадались все на столько специальным языком написано, что я мало что понял. Может Вы можете что-то объяснить на одном - двух конкретных примерах элементарных конформных отображений?

[ИгорЪ]

Time в сообщении #266770 писал(а):

Меня же интересует совсем другая проблема, а именно, как теория функций двойной переменной используется в частных случаях решений уравнения Шредингера, сводящихся к двум координатам.

координаты это время и пространство или стационарное УШ в двумерном пространстве?
Что сохраняют h-аналитические функции? Какую алгебры образуют эти преобразования?

О конформных теориях. Надо знать немного квантовую теорию поля и алгебры Ли.
Увы, надо читать самому, иначе толку от чужих общих формулировок положений и свойств, как и в любой науке нет...

[Time]

ИгорЪ в сообщении #266801 писал(а):

координаты это время и пространство или стационарное УШ в двумерном пространстве?

Выше уже подчеркивалось, что интересуют две координаты пространства-времени. То есть, одна временная и одна пространственная..
Однако, ради спортивного интереса не отказался бы и от рассмотрения и зеркально иного варианта с двумя чисто пространственными измерениями, без зависимости от времени и третьей пространвенной координаты. Если аналитические функции от комплексной переменной в квантовой теории поля напрямую удается связать с волновой функцией - это практически гарантированно говорит о том, что почти тоже самое можно утверждать и об h-аналитических функциях от двойной переменной. Вам известны красивые примеры связи аналитических функций на комплексной плоскости с волновыми функциями, не зависящими от времени и третьей пространственной координаты?

ИгорЪ в сообщении #266801 писал(а):

Что сохраняют h-аналитические функции? Какую алгебры образуют эти преобразования?

Точно также, как обычные аналитические функции от комплексной переменной приводят к нелинейным векторным полям в двумерном евклидовом пространстве, для которых сохранаяются импульсы по обеим пространственным координатам и момент импульса, в случае h-аналитических функций получаются нелинейные векторные поля в двумерном псевдоевклидовом пространстве-времени, для которых имеют место уже законы сохранения энергии-импульса и момента лоренцева (гиперболического) импульса. Это прямые следствия законов сложения и умножения обеих алгебр и соответствующих им геометрических преобразований из групп движений.
Эти преобразования базируются на алгебре, являющейся гиперболическим аналогом алгебры комплексных чисел. Об этом достаточно подробно расписано в данной Вам самим ссылке на Хренникова. И также, как на комплексных числах, тут важна не столько сама алгебра, сколько естественным образом возникающий на ней нелинейный анализ. Каждая из h-аналитических функций над двойными числами приводит к преобразованиям двумерного псевдоевклидова пространства-времени, при которых сохраняются гиперболические углы между произвольными парами кривых до преобразования и после. Аналитические функции комплексной переменной точно также сохраняют евклидовы углы между произвольными парами кривых на евклидовой плоскости до преобразования и после. Именно это сходство двух алгебр и анализов над ними позволяет предполагать похожие физические интерпретации, вытекающие из них обеих.

ИгорЪ в сообщении #266801 писал(а):

Увы, надо читать самому, иначе толку от чужих общих формулировок положений и свойств, как и в любой науке нет...

Я читать не отказываюсь, просто, хотелось бы получить исходные комментарии наиболее важных базовых положений. В статьях, да и в книгах, часто эти вещи опускаются за своей очевидностью для пишущих. Для меня же такой очевидности, увы, пока нет. Вы же также, в частности, не смогли самостоятельно продраться сквозь совершенно очевидные для меня некоторые финслеровские и гиперкомплексные моменты..

[ИгорЪ]

Мне неизвестны связь ТФКП анализа с решением УШ, вряд ли это есть вообще, аргументы волновых функций - действительные, да и УШ всегда неоднородное, а для ТФКП методов нужен лаплас.

Time в сообщении #266922 писал(а):

хотелось бы получить исходные комментарии наиболее важных базовых положений

Вы начните читать, как уткнетесь - спрашивайте, что смогу - отвечу.
Через финслеров я не продирался ещё, просто хотел понять есть ли конкретные достижения, но так и не увидел их.

[Time]

Читаю помаленьку.. Беда в том, что затык происходит на самом первом шаге и именно он, похоже, является причиной того, почему мой вопрос, послуживший названием данной темы, не имеет положительного ответа. Я понимаю малость вероятности, что Вы поможете, но может попробуете?
Затык заключается в моем непонимании, почему в качестве основного объекта для описания релятивистского состояния двумерного пространства-времени была взята именно волновая функция, физический смысл которой связывается с тем требованием, что бы квадрат ее модуля равнялся вероятности обнаружения частицы в бесконечно малом пространственном объеме?
На сколько я понимаю, гораздо естественнее (во всяком случае, для меня) вместо такой величины взять несколько иное понятие, также связанное с комплексом из двух сопряженных функций, однако физический смысл при этом придается не только модулю, но и аргументу, являющимуся аналогом гиперболического угла.
Одно из главных отличий такой величины, заключается в том, что она нормируется не по пространственному объему, а по пространственно-временному. Иными словами, единице должен равняться не интеграл от квадрата модуля волновой функции по всему пространственному объему (в двумерном пространстве-времени - пространственный объем одномерен), а интеграл от замещающего волновую функцию нового комплекса (для краткости эту величину можно называть плотностью распределения вероятности или просто ПРВ) по объему пространства-времени (в двумерном случае интегрирование ведется не только по пространственной координате, но и по временнОй), то есть, вместо однократного интеграла в двумерном пространстве-времени для нормировки должен использоваться двукратный. Конечно, такую величину уже нельзя связывать с вероятностью обнаружения в неком пространственном объеме частицы, так как ПРВ задает волновое описание некой физической субстанции не просто в пространственном объеме, а в пространственно-[b]временном[b] объеме. Я понимаю, что исторически так сложилось, что в качестве основного объекта квантовой механики был взят совсем иной комплекс, но я не понимаю, почему вместо него нельзя взять несколько иной, тем более, что классическая волновая функция, похоже, может получаться как следствие из "моей" ПРВ, путем ее интегрирования вдоль времениподобных кривых, соответствующих постоянным значениям функции тока.

[ИгорЪ]

Time в сообщении #267133 писал(а):

Затык заключается в моем непонимании, почему в качестве основного объекта для описания релятивистского состояния двумерного пространства-времени была взята именно волновая функция, физический смысл которой связывается с тем требованием, что бы квадрат ее модуля равнялся вероятности обнаружения частицы в бесконечно малом пространственном объеме?

Что вы читаете? Где это написано? Это бред.

-- Вт дек 01, 2009 20:24:44 --

Time в сообщении #267133 писал(а):

Затык заключается в моем непонимании, почему в качестве основного объекта для описания релятивистского состояния двумерного пространства-времени была взята именно волновая функция, физический смысл которой связывается с тем требованием, что бы квадрат ее модуля равнялся вероятности обнаружения частицы в бесконечно малом пространственном объеме?

Что вы читаете? Где это написано? Это бред.

[Time]

Читаю Пенроуза "Путь к реальности", у него хоть что-то понять можно..

На всякий случай приведу цитату: ".. Согласно правилам квантовой теории квадрат модуля этой функции .. должен интерпретироваться как распределение вероятностей, определяющее возможность обнаружить частицу в том или ином из возможных мест ее пребывания при изменении координат.."

А как бы Вы сфоромулировали физический смысл волновой функции? Так, что бы без бреда?

[Maslov]

(Оффтоп)

Time в сообщении #267175 писал(а):

Читаю Пенроуза "Путь к реальности", у него хоть что-то понять можно..

Вы с русским переводом аккуратнее: там много чего прочитать можно. Меня, например, расстроила следующая фраза (стр. 36): "Разумеется, нельзя исключить, что в рассуждения Уайлза вкралась ошибка и, следовательно, утверждение Ферма все-таки ложно." (В оригинале, разумеется, никакого "следовательно" нет).

[Time]

Maslov

Меня теорема Ферма совсем не интересует. Вы считаете, что в переводе фразы Пенроуза о физическом смысле волновой функции также есть двусмысленности? Какие? Что у него неправильного в отношении этого объекта?