Вновь о выражении 0^0

[Yarkin]

shust в сообщении #252575 писал(а):

Вполне согласен с тем, что

Nxx в сообщении #249369 писал(а):

корень, по определению - обратная функция к возведению в степень

Продолжая рассуждения, высказанные в сообщении

Профессор Снэйп в сообщении #248638 писал(а):

раз $0^0 = 1$, то $\sqrt[0]{1} = 0$

можно установить более общее и не менее интересное утверждение:
раз $a^0 = 1$, то $\sqrt[0]{1} = a$.
для любого неотрицательного вещественного числа $a$ ( а не только $a$=0) .
Что скажете?

"По определению" не могли учесть все особенности в $0$ и $1$.

[shust]

А что скажут уважаемые заслуженные участники?

[Алексей К.]

Я, например, ничего сказать не могу, ибо совершенно поглощён новой концепцией наделения чисто квантитативных объектов квалитативными атрибутами. Детали пока излагать не буду, лишь намекну. Верны ли, по-Вашему, равенства
Hack attempt!Нано$\TeX$нологи, кстати, заинтересовались и торопят.

[Yarkin]

Алексей К. в сообщении #253663 писал(а):

Я, например, ничего сказать не могу, ибо совершенно поглощён новой концепцией наделения чисто квантитативных объектов квалитативными атрибутами. Детали пока излагать не буду, лишь намекну. Верны ли, по-Вашему, равенства

В какой области?

[shust]

Профессор Снэйп в сообщении #248638 писал(а):

$$1^\infty = 0$$$

AD в сообщении #254208 писал(а):

$$\lim_{x\to\infty}1^x=1$$

Не наблюдается ли в этих двух высказываниях типа того - некоторое противоречие?

[Yarkin]

shust в сообщении #254279 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #248638 писал(а):

$$1^\infty = 0$$$

AD в сообщении #254208 писал(а):

$$\lim_{x\to\infty}1^x=1$$

Не наблюдается ли в этих двух высказываниях типа того - некоторое противоречие?

Есть. В первом случае $x$ достиг бесконечности, а во втором не указано откуда он туда стремится.

[Ираклий]

Я не читал всех приведенных аргументов, а так же основной закрытой темы (дадите ссылку?). Приведу свои мысли на этот счет.

1) В одном школьном учебнике по математике (допущенном минобразованием РФ) приведена следующая формула

$$(a+b)^n=\sum_{i=0}^nC_n^ia^{n-i}b^i \eqno (1)$$

и сказано, что она верна для любых $a, b \in\mathbb{R}$ и для любого $n\in\mathbb{N}$. Замечательно, что в том же самом учебнике на другой странице написано, что выражение $0^0$ неопределено. Я имел удовольствие лично автору учебника указать на это вопиющее противоречие, на что он просто развел руками.
Любой человек, считающий формулу (1) верной для любых $a, b \in\mathbb{R}$ и для любого $n\in\mathbb{N}$, с необходимостью должен признать, что выражение $0^0$ следует считать равным одному.

2) Нередко полиномиальную функцию определяют как функцию вида

$$f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i \eqno (2)$$

Люди, согласные с таким определением, должны быть также согласны с тем, что $0^0=1$. (Ибо считать полиномиальную функцию невсюду определенной уж точно ни в какие ворота не лезет.)

3) Для любых двух кардиналов $\kappa$ и $\lambda$ определена операция возведения в степень $\kappa^\lambda.$ 0 - кардинал. В смысле кардинального возведения в степень имеет место $0^0=1$. При этом кардинальное возведение в степень на положительных целых числах действует так же, как и обычная степень.

Всё предыдущее было аргументами в пользу того, чтобы считать, что $0^0=1$. Есть (известный мне) лишь один аргумент против. И важность его сомнительна. Вот этот аргумент:
4) Если $f(x)\to0$ при $x \to x_0$ и $g(x)\to0$ при $x \to x_0$, то $f(x)^{g(x)}$ вовсе не обязана стремиться к 1. Она может не иметь придела или этот придел может равняться тому или иному числу в зависимости от функций $f$ и $g$. Всё же если положить $0^0=1$, то это не приведет ни к какому противоречию: просто некоторые функции окажутся разрывными в точках, в которых ранее были неопределены. Среди таковых, правда, окажутся и некоторые элементарные функции. Имхо: ну и Кащей с ними!

[ewert]

Ираклий в сообщении #264989 писал(а):

2) Нередко полиномиальную функцию определяют как функцию вида

$$f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i \eqno (2)$$

Люди, согласные с таким определением, должны быть также согласны с тем, что $0^0=1$.

Естественно, в данном конкретном случае -- согласны. Но -- по специальной причине: по умолчанию принято полагать, что $x^0\equiv1$ специально для этого случая -- для случая многочленов. Так что предыдущий товарищ разводил руками совершенно правильно.

Ираклий в сообщении #264989 писал(а):

Всё же если положить $0^0=1$, то это не приведет ни к какому противоречию:

К противоречию может и не приведёт, а вот к практической бессмысленности этого заклинания -- 100%. Ибо выражения вида $(f(x))^{g(x)}$ -- на практике всё же встречаются, и весьма часто, и отмахнуться от них заклинаниями типа "ну равно 1, и всё тут, и чего привязались-то?" -- совершенно не комильфо.

[Nxx]

Изначальная тема (с опросом):

topic10670.html

Еще одна тема:

topic23114.html

[Garik2]

Интересно вот что. Если мы в Maple набьем команду

evalf((1/10^A)^(1/10^B));

и подставим любые целые положительные A и B , то в результате будем получать только 1.

[bot]

Не верю. Маплой не пользуюсь - взял калькулятор, подставил $A=50,\ B=2$ и в результате получил $0,31622776601683793319988935444327$

[Yarkin]

Ираклий в сообщении #264989 писал(а):

Всё же если положить $0^0=1$, то это не приведет ни к какому противоречию:

И можно будет образовать числовое множество с антимонией Рассела.

[arseniiv]

Yarkin в сообщении #275907 писал(а):

антимонией

антиномией

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #275935 писал(а):

Yarkin в сообщении #275907 писал(а):

антимонией

антиномией

Лет в 8 составлял для родителей кроссворд. Там был такой пункт: слово из трёх букв, орган обаяния. Ответ "нос" (обаяние с обонянием перепутал)

[ewert]

(Оффтоп)

а разве антиномия Рассела не относится к числу антимоний?...