2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 25  След.

Выражение 0^0
равно 0 3%  3%  [ 2 ]
равно 1 32%  32%  [ 19 ]
не определено 39%  39%  [ 23 ]
не имеет смысла 17%  17%  [ 10 ]
ничего не могу сказать по этому поводу 8%  8%  [ 5 ]
Всего голосов : 59
 
 Выражение 0^0
Сообщение16.12.2007, 12:33 


22/11/06
186
Москва
Имеет ли смысл выражение $0^0$ ?

Если да, то чему оно равно?
Если нет, то почему?

По возможности поясните свой выбор.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.12.2007, 14:18 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Я бы сказал, что это выражение не имеет математического смысла. Это в некотором смысле сленговое выражение, обозначающее возникновение определенной ситуации, в которой не работают стандартные методы и необходимо дополнительное исследование. Оно ведь не используется в формулах и выражениях, только в описании типа "здесь мы имеем неопределенность такого типа". По духу наподобие фразы: "Эта задача лежит на стыке таких-то и таких-то дисциплин".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.12.2007, 20:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
shust писал(а):
Имеет ли смысл выражение $0^0$ ?

Ответ сильно зависит от того, что значит «иметь смысл». Смысл любой формулы в математике ей приписывается, $a^2$ — это только буква и цифра, определённым образом расположенные на бумаге. А то, что это $a$ в квадрате — так это приписываемый смысл. Может, я индексы сверху написал, бывает и такое.

Один из случаев употребления этой формулы PAV написал — как часть выражения «неопределённость типа $0^0$».

Другой случай — например, при решении уравнения $x^x = 5$. В это случае математического смысла нет, поскольку $0$ не принадлежит к области определения функции $x^x$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.12.2007, 20:56 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
А вообще забавная мода пошла - решать математические вопросы голосованием. Допустим теоретически, что в результате голосования большинство тех, кто примет в нем участие, выберут первый вариант (равно нулю). И что Вы предполагаете с этим делать? И почему только 0 или 1, вообще-то данная неопределенность может давать любое значение.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.12.2007, 20:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
PAV писал(а):
вообще-то данная неопределенность может давать любое значение.
И отрицательные?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.12.2007, 21:00 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/06
1265
Brukvalub писал(а):
И отрицательные?

Конешно! ведь мы не оговаривали, што 0 — вещественный :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.12.2007, 21:44 


22/11/06
186
Москва
PAV писал(а):
вообще-то данная неопределенность может давать любое значение.

Это вполне КОНКРЕТНОЕ числовое выражение, а не выражение, содержащее функции, и не предполагается каких-то предельных переходов. Число нуль, обозначенный символом $0$ подразумевается в обычном своем смысле как элемент множества целых чисел.
Кстати что изменится, если число нуль рассматривать как вещественное число?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.12.2007, 22:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
shust писал(а):
Кстати что изменится, если число нуль рассматривать как вещественное число?

Ничего. А вот если комплексное — может и измениться. А впрочем … ничего не изменится. Доопределить можно любым числом. Но это будет уже другая функция.

shust писал(а):
Это вполне КОНКРЕТНОЕ числовое выражение

Хорошо. А что такое $0^0$? Чтобы было понятнее, что такое $a^b$? Это ведь обозначение, я уже писал. Обозначение чего? На этот вопрос могут быть разные ответы, и в зависимости от них, этому выражению будет приписан или не приписан смысл, причём разный.

Добавлено спустя 10 минут 14 секунд:

PAV писал(а):
решать математические вопросы голосованием

В данном случае вопрос представляется мне скорее метаматематическим. Вроде того, является ли $0$ натуральным числом, или что такое $C_n^k$ (кстати! о значении $k$ в этом выражении — отнюдь не $(C_n)^k$ :) ), недавно обсуждавшееся. А голосование — кто как понимает обозначение — пожалуй, возможно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.12.2007, 22:48 


22/11/06
186
Москва
незваный гость писал(а):
На этот вопрос могут быть разные ответы, и в зависимости от них, этому выражению будет приписан или не приписан смысл, причём разный.

Например?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.12.2007, 23:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Положим \[
0^0  = a \Rightarrow a^2  = a \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {a = 0}  \\
   {a = 1}  \\
\end{array}} \right.
\]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.12.2007, 02:34 


06/07/07
215
Величина $b^a$



На множестве натуральных чисел (включив нуль) будет определена в теоретико-множественном смысле, как число (мощность множества) всех отображений из множества $A$ c $card(A)=a$ элементами во множество с $card(B)=b$ элементами:
$(A\to B)=\{\phi |\phi\in Step(A\times B), \forall \alpha\in A \exists! \beta\in B ((\alpha,\beta)\in \phi)\}$,
а по определению имеем Def: $card(B)^{card(A)}=card(A\to B)$
что для случая $A=\{\}$ и $B=\{\}$ даст:
$A\times B=\{\}\times \{\}=\{\}$
$Step(A\times B)=Step(\{\})=\{\{\}\}$
$\forall \alpha\in A \exists! \beta\in B ((\alpha,\beta)\in \phi) \Leftrightarrow$ $\forall \alpha\in \{\} \exists! \beta \in B ((\alpha,\beta)\in \phi) \Leftrightarrow$ $\forall \alpha\in \{\} (P(\beta,\phi)) \Leftrightarrow true$ и
$(\{\}\to \{\})=\{\phi |\phi\in \{\{\}\}\}=\{\{\}\}$,
тогда по определению Def: $0^0=card(\{\})^{card(\{\})}=card(\{\}\to \{\})=card(\{\{\}\})=1$
т.е. пустое множество - единственное отображение из пустого множества в пустое множество,
что и дает $0^0=1$.

Если $a$ - произвольное неотрицательное целое, $b$ - произвольное конечное число (вещественное или комплексное), а $b^a$ - член ряда, то по определению, для нулевого $a$: $b^a=1$.



На множестве вещественных чисел (включив бесконечности определенного знака) выражение для каждого $b$ будет максимально широко определено по $a$, применением и выполнимостью тождеств $b^1=b$, $b^{n+1}=b^n\cdot b$ (где $n\in\mathbb{N}$), $(b^{a_1})^{a_2}=b^{a_1\cdot a_2}$, а именно:
1) при отрицательных вещественных $b$ для всех рациональных $a$ вида $\frac{n}{2\cdot m+1}$, где $n\in\mathbb{Z}$, $m\in\mathbb{N}_0$;
2) при нулевом $b$ для всех положительных рациональных $a$;
3) при положительных вещественных $b$ для всех рациональных $a$.
Тогда тождество $b^{a_1+a_2}=b^{a_1}\cdot b^{a_2}$ будет выполнено автоматически.
Величины $b^a$ и $(-b)^a$, если определены, могут отличаться лишь знаком и можно рассмотреть только положительные $b$, включая $+0$. Таблица $b^a$:

$\begin{array}{ccccccc} & | & -\infty & -R & 0 & +R & +\infty \\ \left- & + & \left- & \left- & \left- & \left- & \left- \\ +0 & | & \infty & \infty &  & 0 & 0 \\ \epsilon & | & +\infty & N & 1 & \epsilon & 0 \\ 1 & | &  & 1 & 1 & 1 &  \\ N & | & 0 & \epsilon & 1 & N & +\infty \\ +\infty & | & 0 & 0 &  & +\infty & +\infty \end{array} \right)$

Здесь $\epsilon\in (0,1)$, $N\in (1,+\infty)$ и $R\in (0,+\infty)$.
Взяты существующие пределы для бесконечных $a$ и $b$, и для $a$ и $b$ с бесконечными значениями ($a<0$ и $b=0$), и степень для них доопределена.
Сразу видны неопределенности $0^0$, $+\infty^0$, $1^{-\infty}$ и $1^{+\infty}$, могущие принимать любое значение из $[0,+\infty]$ при взятии предела по множеству определения.
Для нулевого, а также соответствующих отрицательных $b$, возникнет также и неопределенность со знаком.

Доопределим степень на все множество $[-\infty,+\infty]^2$, допуская многозначность, с помощью множественного предела. Здесь мы используем строго монотонную функцию $exp(\cdot)$, определеную для вещественных $x$ как $exp(x)=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}_0} \frac{x^n}{n!}$, и обратную ей функцию $ln(\cdot)$. Тогда степень будет:
1) при отрицательно бесконечном $b$
- определена для всех отрицательных вещественных $a$: $b^a=0$;
- определена для всех положительных рациональных $a$ вида $\frac{n}{2\cdot m+1}$, где $n\in\mathbb{N}$, $m\in\mathbb{N}_0$: $b^a=-\infty$;
- определена величиной, но неопределена знаком для всех положительных вещественных $a$ не рациональных вида $\frac{n}{2\cdot m+1}$, где $n\in\mathbb{Z}$, $m\in\mathbb{N}_0$: $b^a=\pm \infty$;
- полностью неопределена для нулевого $a$: $b^a=[-\infty,+\infty]$;
2) при отрицательном вещественном $b$ не равном -1
- определена для бесконечного $a$ знака $-sign(ln(|b|))$: $b^a=0$;
- определена для всех рациональных $a$ вида $\frac{n}{2\cdot m+1}$, где $n\in\mathbb{Z}$, $m\in\mathbb{N}_0$: $b^a=(-1)^n\cdot exp(a\cdot ln(|b|))$;
- определена величиной, но неопределена знаком для бесконечного $a$ знака $sign(ln(|b|))$: $b^a=\pm \infty$;
- определена величиной, но неопределена знаком для всех вещественных $a$ не рациональных $a$ вида $\frac{n}{2\cdot m+1}$, где $n\in\mathbb{Z}$, $m\in\mathbb{N}_0$: $b^a=\pm exp(a\cdot ln(|b|))$;
2') при отрицательном $b$ равном -1
- определена для всех рациональных $a$ вида $\frac{n}{2\cdot m+1}$, где $n\in\mathbb{Z}$, $m\in\mathbb{N}_0$: $b^a=(-1)^n$;
- определена величиной, но неопределена знаком для всех вещественных $a$ не рациональных $a$ вида $\frac{n}{2\cdot m+1}$, где $n\in\mathbb{Z}$, $m\in\mathbb{N}_0$: $b^a=\pm 1$;
- полностью неопределена для бесконечных $a$: $b^a=[-\infty,+\infty]$;
3) при нулевом $b$
- определена для положительного бесконечного $a$: $b^a=0$;
- определена для всех положительных вещественных $a$: $b^a=0$;
- определена величиной, но неопределена знаком для отрицательного бесконечного $a$: $b^a=\pm \infty$;
- определена величиной, но неопределена знаком для всех отрицательных вещественных $a$: $b^a=\pm \infty$;
- полностью неопределена для нулевого $a$: $b^a=[-\infty,+\infty]$;
4) при положительном вещественном $b$ не равном 1
- определена для бесконечного $a$ знака $-sign(ln(|b|))$: $b^a=0$;
- определена для бесконечного $a$ знака $sign(ln(|b|))$: $b^a=+\infty$;
- определена для всех вещественных: $b^a=exp(a\cdot ln(b))$;
4') при положительном $b$ равном 1
- определена для всех вещественных $a$: $b^a=1$;
- полностью неопределена величиной, но определена знаком для бесконечных $a$: $b^a=[0,+\infty]$;
5) при положительно бесконечном $b$
- определена для всех отрицательных вещественных $a$: $b^a=0$;
- определена для всех положительных вещественных $a$: $b^a=+\infty$;
- полностью неопределена величиной, но определена знаком для нулевого $a$: $b^a=[0,+\infty]$.
Изображение
красный – определены величина и знак;
желтый - определено величина, но неопределен знак;
сиреневый - неопределена величина, но определен знак (неотрицательно);
серый - неопределены величина и знак.



На множестве комплексных чисел (включив бесконечность с неопределенном фазовым множителем) функция $b^a=exp(a\cdot Ln(b))=exp(a\cdot (ln(b)+i 2 \pi n))$ (где $n\in\mathbb{Z}$)
- при ненулевом и конечном $b$ и ненулевом и конечном $a$ будет иметь счетное число комплексных значений;
- при ненулевом и конечном $b$ и нулевом $a$ будет иметь значение 1;
- при ненулевом и конечном $b$ и бесконечном $a$ будет иметь полностью неопределенное значение;
- и при нулевом или бесконечном $b$ будет иметь полностью неопределенное значение.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.12.2007, 05:41 


19/04/06
17
Пусть $0^0=x$. Возьмите log of both sides, получите противоречие, распишитесь.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.12.2007, 08:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
drowsy писал(а):
Пусть $0^0=x$. Возьмите log of both sides,

Ну, и чему же равен $\ln 0^0$?!

drowsy писал(а):
получите противоречие, распишитесь.

А в чём, собственно, противоречие? Пример: $x^3 = -1$. Мне вообще кажется, что логарифмировать нужно с некоторой осторожностью…

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.12.2007, 19:11 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Я привык считать, что $0^0=1$ - продолжение функции $x^0$ по непрерывности. Но, конечно, вопрос "имеет ли выражение смысл?" не имеет смысла ... "Функция определена или нет?" - уже лучше.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.12.2007, 20:58 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
AD писал(а):
Я привык считать, что $0^0=1$ - продолжение функции $x^0$ по непрерывности. Но, конечно, вопрос "имеет ли выражение смысл?" не имеет смысла ... "Функция определена или нет?" - уже лучше.
А почему именно функции $x^0$? Почему, скажем, не $0^x$, $x>0$? Тогда получится $0^0=0$.
Мне кажется, здесь не совсем корректно говорить о функциях, т.к. функций здесь никаких не задано, задано только выражение $0^0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 362 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 25  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group