Найдите наибольшее значение

[daogiauvang]

Найдите наибольшее значение для $k$ целого числа:

$$ \frac{100^k}{k^k}$$

Я думаю и уверен что, $k=37$ жду хорошее доказательство.

[venco]

Вы имеете в виду наибольшее $k$ при котором выражение целое?
Или целое $k$ при котором значение выражения максимально?

[gris]

При каком наибольшем $k$ это будет целым числом? При 100.
Или найти наибольшее значение при целом $k$? Найти максимум логарифма.

[daogiauvang]

найти наибольшее значение при целом $k$? Найти максимум логарифма.
либо $k=36$ либо $k=37$. Какое значение наибольшее:
$ 36 ( \ln 100 -\ln 36) < 37( \ln 100 -\ln 37) $ я ищу доказательство без калькулятора

[gris]

лучше десятичный логарифм

[daogiauvang]

опять $ 37 \lg 37 -36 \lg 36 <2$
На самом деле $1,99657...<2$

[ShMaxG]

Еще можете рассмотреть функцию $\[f\left( x \right) = x\ln 100 - x\ln x\]$, найти максимум и посмотреть какие там ближайшие целые расположены.

[ИСН]

Спасибо за замечание, ShMaxG, именно этим тут все и занимаются с самого начала. Ближайшее, да, но которое из них?
Собственно, может быть, так-то и получилось бы сделать из этой задачи настоящую олимпиадную: всегда ли $\max\limits_{k\in \cal N}{n^k\over k^k}$ достигается на, so to say, том ближайшем, которое ближе, и если нет, то где первое исключение?

[gris]

Всё равно без калькулятора не обошлось. А логарифм нужен только для нахождения максимума. Сравнивать по нему значения плохо. Вот как сравнить без excel $\left(\frac{100}{36}\right )^{36}$ и $\left(\frac{100}{37}\right )^{37}$ ?

[mitia87]

Результат имеет интересную интерпретацию:

$$\left ( 1 + \frac{1}{36} \right )^{36} < \frac{100}{36 + 1} < e.$$

Ведь известно, что последовательность $a_n = \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{n}$ монотонно возрастает к $e$. Возникает вопрос: не строится ли таким способом промежуточное число?

[ShMaxG]

Ну без калькулятора-то можно наверно, вот так:

$\[37\ln 37 - 36\ln 36 < \ln 100 \Leftrightarrow 37\ln \left( {1 + \frac{1} {{36}}} \right) < \ln \frac{{100}} {{36}}\]$

Затем, после соответствующих оценок ряда Тейлора:

$\[37\ln \left( {1 + \frac{1} {{36}}} \right) < 37\left( {\frac{1} {{36}} - \frac{1} {{2 \cdot {{36}^2}}} + \frac{1} {3}\frac{1} {{{{36}^3}}}} \right)\]$ с одной стороны и

$\[2\left( {\frac{2} {3} - \frac{4} {{2 \cdot 9}} + \frac{1} {3} \cdot \frac{8} {{27}} - \frac{1} {4} \cdot \frac{{16}} {{81}} + \frac{1} {5} \cdot \frac{{32}} {{{3^5}}} - \frac{1} {6} \cdot \frac{{64}} {{{3^6}}}} \right) < \ln \frac{{100}} {{36}} = 2\ln \frac{5} {3}\]$ с другой.

А $\[37\left( {\frac{1} {{36}} - \frac{1} {{2 \cdot {{36}^2}}} + \frac{1} {3}\frac{1} {{{{36}^3}}}} \right) < 2\left( {\frac{2} {3} - \frac{4} {{2 \cdot 9}} + \frac{1} {3} \cdot \frac{8} {{27}} - \frac{1} {4} \cdot \frac{{16}} {{81}} + \frac{1} {5} \cdot \frac{{32}} {{{3^5}}} - \frac{1} {6} \cdot \frac{{64}} {{{3^6}}}} \right)\]$ может проверяться и без калькулятора.

Но все равно все это как-то тупо...

[venco]

А если сравнить ${(\frac{53}{19})}^{19}$ и ${(\frac{53}{20})}^{20}$?

[daogiauvang]

Найтиде, с доказательством, максимальное значение

$$\prod_{j=1}^{k} x_j$$

где

$$x_j\geq 0, \sum_{j=1}^{k} x_j=100$$

и $k$ переменным. В частности, ваш ответ должен быть больше или равное всем значениям, полученным от другого выбора $k$.

[mitia87]

А если так. ММИ (из Демидовича )

$$\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}} < 1 \ \forall n \geq 3. $$

Отсюда при $n = 36$ получим

$$\frac{37^{37}}{36^{36}} < 36\cdot 37.$$

[ИСН]

Хрениссимо. Нам надо не это, а что оно меньше 100.