2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Найдите наибольшее значение
Сообщение16.11.2009, 19:39 
Аватара пользователя
Найдите наибольшее значение для $k$ целого числа:$$ \frac{100^k}{k^k}$$
Я думаю и уверен что, $k=37$ жду хорошее доказательство.

 
 
 
 Re: Найдите наибольшее значение
Сообщение16.11.2009, 19:44 
Вы имеете в виду наибольшее $k$ при котором выражение целое?
Или целое $k$ при котором значение выражения максимально?

 
 
 
 Re: Найдите наибольшее значение
Сообщение16.11.2009, 19:45 
Аватара пользователя
При каком наибольшем $k$ это будет целым числом? При 100.
Или найти наибольшее значение при целом $k$? Найти максимум логарифма.

 
 
 
 Re: Найдите наибольшее значение
Сообщение16.11.2009, 19:58 
Аватара пользователя
найти наибольшее значение при целом $k$? Найти максимум логарифма.
либо $k=36$ либо $k=37$. Какое значение наибольшее:
$ 36 ( \ln 100 -\ln 36) < 37( \ln 100 -\ln 37) $ я ищу доказательство без калькулятора

 
 
 
 Re: Найдите наибольшее значение
Сообщение16.11.2009, 20:05 
Аватара пользователя
лучше десятичный логарифм

 
 
 
 Re: Найдите наибольшее значение
Сообщение16.11.2009, 20:19 
Аватара пользователя
опять $ 37 \lg 37 -36 \lg 36 <2$
На самом деле $1,99657...<2$

 
 
 
 Re: Найдите наибольшее значение
Сообщение16.11.2009, 20:34 
Аватара пользователя
Еще можете рассмотреть функцию $\[f\left( x \right) = x\ln 100 - x\ln x\]$, найти максимум и посмотреть какие там ближайшие целые расположены.

 
 
 
 Re: Найдите наибольшее значение
Сообщение16.11.2009, 20:47 
Аватара пользователя
Спасибо за замечание, ShMaxG, именно этим тут все и занимаются с самого начала. Ближайшее, да, но которое из них?
Собственно, может быть, так-то и получилось бы сделать из этой задачи настоящую олимпиадную: всегда ли $\max\limits_{k\in \cal N}{n^k\over k^k}$ достигается на, so to say, том ближайшем, которое ближе, и если нет, то где первое исключение?

 
 
 
 Re: Найдите наибольшее значение
Сообщение16.11.2009, 21:11 
Аватара пользователя
Всё равно без калькулятора не обошлось. А логарифм нужен только для нахождения максимума. Сравнивать по нему значения плохо. Вот как сравнить без excel $\left(\frac{100}{36}\right )^{36}$ и $\left(\frac{100}{37}\right )^{37}$ ?

 
 
 
 Re: Найдите наибольшее значение
Сообщение16.11.2009, 21:36 
Результат имеет интересную интерпретацию:
$$\left ( 1 + \frac{1}{36} \right )^{36} < \frac{100}{36 + 1} < e.$$
Ведь известно, что последовательность $a_n = \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{n}$ монотонно возрастает к $e$. Возникает вопрос: не строится ли таким способом промежуточное число?

 
 
 
 Re: Найдите наибольшее значение
Сообщение16.11.2009, 21:38 
Аватара пользователя
Ну без калькулятора-то можно наверно, вот так:

$\[37\ln 37 - 36\ln 36 < \ln 100 \Leftrightarrow 37\ln \left( {1 + \frac{1}
{{36}}} \right) < \ln \frac{{100}}
{{36}}\]$

Затем, после соответствующих оценок ряда Тейлора:

$\[37\ln \left( {1 + \frac{1}
{{36}}} \right) < 37\left( {\frac{1}
{{36}} - \frac{1}
{{2 \cdot {{36}^2}}} + \frac{1}
{3}\frac{1}
{{{{36}^3}}}} \right)\]$ с одной стороны и

$\[2\left( {\frac{2}
{3} - \frac{4}
{{2 \cdot 9}} + \frac{1}
{3} \cdot \frac{8}
{{27}} - \frac{1}
{4} \cdot \frac{{16}}
{{81}} + \frac{1}
{5} \cdot \frac{{32}}
{{{3^5}}} - \frac{1}
{6} \cdot \frac{{64}}
{{{3^6}}}} \right) < \ln \frac{{100}}
{{36}} = 2\ln \frac{5}
{3}\]$ с другой.

А $\[37\left( {\frac{1}
{{36}} - \frac{1}
{{2 \cdot {{36}^2}}} + \frac{1}
{3}\frac{1}
{{{{36}^3}}}} \right) < 2\left( {\frac{2}
{3} - \frac{4}
{{2 \cdot 9}} + \frac{1}
{3} \cdot \frac{8}
{{27}} - \frac{1}
{4} \cdot \frac{{16}}
{{81}} + \frac{1}
{5} \cdot \frac{{32}}
{{{3^5}}} - \frac{1}
{6} \cdot \frac{{64}}
{{{3^6}}}} \right)\]$ может проверяться и без калькулятора.

Но все равно все это как-то тупо...

 
 
 
 Re: Найдите наибольшее значение
Сообщение16.11.2009, 21:42 
А если сравнить ${(\frac{53}{19})}^{19}$ и ${(\frac{53}{20})}^{20}$?
:)

 
 
 
 Re: Найдите наибольшее значение
Сообщение16.11.2009, 21:45 
Аватара пользователя
Найтиде, с доказательством, максимальное значение $$\prod_{j=1}^{k} x_j$$ где $$x_j\geq 0, \sum_{j=1}^{k} x_j=100$$ и $k$ переменным. В частности, ваш ответ должен быть больше или равное всем значениям, полученным от другого выбора $k$.

 
 
 
 Re: Найдите наибольшее значение
Сообщение16.11.2009, 21:55 
А если так. ММИ (из Демидовича :)) $$\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}} < 1 \ \forall n \geq 3. $$
Отсюда при $n = 36$ получим $$\frac{37^{37}}{36^{36}} < 36\cdot 37.$$

 
 
 
 Re: Найдите наибольшее значение
Сообщение16.11.2009, 22:08 
Аватара пользователя
Хрениссимо. Нам надо не это, а что оно меньше 100.

 
 
 [ Сообщений: 36 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group