2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Black-Scholes – элементарное введение
Сообщение03.11.2009, 22:22 


15/10/09
1344
:evil: Ну не дают уйти в отпуск. В связи с этим сообщаю:

1. Командовать парадом буду я.

2. До завтра прочитайте Hull, Futures, Options and other ... , места про risk nutral valuation.

:P С уважением,
:lol: находящияся в отпуске до завтра vek88

 Профиль  
                  
 
 Re: Black-Scholes – элементарное введение
Сообщение03.11.2009, 22:37 


07/12/05
240
Питер -> Ulm -> Koeln -> Ulm -> Bretten -> далее везде
vek88 в сообщении #258079 писал(а):
1. Командовать парадом буду я.

Конечно. Но принимаем парад мы, участники темы.
И от меня пока незачет.
Если я далее увижу, что противоречие устранено, то естественно об этом напишу и искренне порадуюсь, потому что задача у Вас амбициозная, и мне бы тоже хотелось видеть ее решение.

vek88 в сообщении #258079 писал(а):
2. До завтра прочитайте Hull, Futures, Options and other ... , места про risk nutral valuation.

Я его читал. И Шрива, и Плиску тоже. И оригинальную работу Б-Ш.
И опционами я тоже торговал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Black-Scholes – элементарное введение
Сообщение03.11.2009, 22:44 


15/10/09
1344
Дудки - отвечать не буду - компьютер выключаю.

С уважением,
все-таки находящийся в отпуске vek88

 Профиль  
                  
 
 Re: Black-Scholes – элементарное введение
Сообщение04.11.2009, 12:02 


15/10/09
1344
:P Лирическое отступление. Доказывать справледивость какой-либо формулы можно разными способами. Например, можно выводить формулу на основе тех или иных предпосылок. А мы изобретать формулы BS не будем - мы просто докажем, что иначе быть не может, даже при наличии рисков. Такой метод более уместен в элементарном введении, поскольку так мы уходим не только от Винара и Ито, но также и от уравнений в частных производных и прочих заведомо не элементарных вещей.

С учетом сказанного, мы продолжаем использовать вместо $\mu$ безрисковую ставку $r$. Тогда формула BS для европейского call-опциона (на бездив-ю акцию) получается усреднением по полученному выше логнормальному распределению (кто не верит, пусть проверит; см. например, Hull, где весь процесс интегрирования подробно расписан).

И теперь докажем - а как же может быть иначе. Но памятуя об элементарном уровне нашего рассмотрения, давайте вспомним азы арбитража.

Простейший пример арбитража. Я увидел, что в данный момент на бирже А акции ХХХ котируются по 100 руб., а на бирже В - по 110 руб. Разумеется, я сразу покупаю 1000 акций по 100 руб. на бирже А и одновременно продаю по 110 руб. на бирже В (или иное количество с учетом ликвидности рынка).

Чем характеризуется эта арбитражная сделка? Во-первых, отсутствием (рыночного) риска, во-вторых, бесплатностью (в пределах лимитов, открытых вам на бирже А и В). Другими словами, мы бесплатно и без риска, наврили 10000 руб. Это, фактически, вечный (фининсовый) двигатель.

Поскольку вечный двигатель невозможен, арбитраж возможен лишь как временное явление. В данном примере арбитраж приведет к падению цены на бирже А (стали много покупать дешевые акции) и росту цены на бирже В (много продают). В конце концов цены выравниваются в пределах комиссии, маржи броккера и тому подобных реалий. А теперь контрольный вопрос.

Вопрос 7. Для форвардной цены акции $F$ в данный момент на рынке имеет место соотношение $$F > Se^{rT}$$ Комиссия, маржа и все такое отстутствуют. Приведите пример извлечения арбитражной прибыли в данной ситуации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Black-Scholes – элементарное введение
Сообщение04.11.2009, 12:56 
Заблокирован
Аватара пользователя


21/04/06

4930
Обсуждение, на мой взгляд, пошло вразнос….Не мешало бы собраться и быть более последовательными.


vek88 в сообщении #258184 писал(а):
Я увидел, что в данный момент на бирже А акции ХХХ котируются по 100 руб., а на бирже В - по 110 руб.


Вы бы не могли дать пример евр. или амер. акций, которые бы на разных биржах в один и тот же момент котировались бы по разному?

 Профиль  
                  
 
 Re: Black-Scholes – элементарное введение
Сообщение04.11.2009, 14:19 


15/10/09
1344
Шимпанзе в сообщении #258197 писал(а):
Обсуждение, на мой взгляд, пошло вразнос….Не мешало бы собраться и быть более последовательными.

Именно к этому я постоянно призываю.
Шимпанзе в сообщении #258197 писал(а):
vek88 в сообщении #258184 писал(а):
Я увидел, что в данный момент на бирже А акции ХХХ котируются по 100 руб., а на бирже В - по 110 руб.

Вы бы не могли дать пример евр. или амер. акций, которые бы на разных биржах в один и тот же момент котировались бы по разному?

Давайте сразу уточним, что мы говорим именно о разных биржах. А не о двух торговых терминалах, находящихся в разных местах, но подключенных к одной и той же бирже. Следовательно, если биржи действительно разные, то и текущие котировки на них в каждый данный момент не обязаны совпадать. А вот сильно отличаться (т.е. больше величины комиссии и/или маржи) они действительно но могут (иначе арбитраж).

Что касается примера, если Вас это не затруднит, посмотрите сами, например, котировки акций Газпрома на ММВБ и РТС. И расскажите нам о результатах.

С уважением,
vek88

 Профиль  
                  
 
 Re: Black-Scholes – элементарное введение
Сообщение04.11.2009, 18:27 
Заблокирован
Аватара пользователя


21/04/06

4930
vek88 в сообщении #258221 писал(а):
Что касается примера, если Вас это не затруднит, посмотрите сами, например, котировки акций Газпрома на ММВБ и РТС. И расскажите нам о результатах.


Уголовные дела я не смотрю. Я спрашивал о примерах на амер. и европ. биржах... Нет так нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Black-Scholes – элементарное введение
Сообщение05.11.2009, 10:59 


15/10/09
1344
Что-то как-то все заглохло. Видимо, потеряли дорогу. Напомню где мы.

Итак, мы вывели формулы BS без Винера и Ито, но с ограничением безрисковой ставкой $r$.

Теперь мы собрались доказать, что формулы BS имеют место и при наличии рисков, т.е. для ставки $\mu$.

Чтобы напомнить, как это делается, мы начали с более простого примера - с форвардов. Для форвардов ведь тоже можно вывести формулу для форвардной цены $F$ через соответствующий интеграл по логнормальному распределению со ставкой $r$ (см. Халл). А потом доказать, что формула $$F=Se^{rT}$$ имеет место уже и без этого ограничения. Что, фактически, и предложено сделать в Вопросе 7 (для форвардов вид распределения вообще не важен).

А уж далее, наконец, мы используем логнормальное распределение с параметром $\mu$ и устроим арбитраж для формулы BS.

Но сначала давайте дождемся ответа(ов) на Вопрос 7. Чтоб жизнь медом не казалась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Black-Scholes – элементарное введение
Сообщение05.11.2009, 12:52 


07/12/05
240
Питер -> Ulm -> Koeln -> Ulm -> Bretten -> далее везде
vek88 в сообщении #258501 писал(а):
Что-то как-то все заглохло. Видимо, потеряли дорогу. Напомню где мы.

Итак, мы вывели формулы BS без Винера и Ито, но с ограничением безрисковой ставкой $r$.

Пока еще самой формулы нет, есть только промежуточные выводы, причем недоказанные.

vek88 в сообщении #258501 писал(а):
Теперь мы собрались доказать, что формулы BS имеют место и при наличии рисков, т.е. для ставки $\mu$.

Конечно имеет. Горю нетерпением увидеть, как Вы это будете доказывать.


vek88 в сообщении #258501 писал(а):
Но сначала давайте дождемся ответа(ов) на Вопрос 7. Чтоб жизнь медом не казалась.


Занять в банке сумму, равную цене акции $S$.
Заключить форвардный контракт на продажу акции.
В будущем отдать банку $Se^{rT}$, а разницу $F - Se^{rT}$ положить в карман.

 Профиль  
                  
 
 Re: Black-Scholes – элементарное введение
Сообщение05.11.2009, 13:15 


15/10/09
1344
finanzmaster в сообщении #258530 писал(а):
Пока еще самой формулы нет, есть только промежуточные выводы, причем недоказанные.
Я считаю, что мы детально воспроизвели на элементарном уровне все принципиальные моменты, вызывающие трудности у коллег, не знакомых с теорией случайных процессов.

А вот технические детали, например, брать интегралы - увольте. Тем более все это имеется в литературе. Я уже отослал за техническими деталями к Халлу.
vek88 в сообщении #258184 писал(а):
Тогда формула BS для европейского call-опциона (на бездив-ю акцию) получается усреднением по полученному выше логнормальному распределению (кто не верит, пусть проверит; см. например, Hull, где весь процесс интегрирования подробно расписан).
А если это кому-то нужно, пусть откроет Халла (Appendix 11A). Переписывать понятные и общедоступные вещи сюда вряд ли целесообразно.

За ответ на Вопрос 7 спасибо - правда надо уточнить, что на взятый кредит мы покупаем акцию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Black-Scholes – элементарное введение
Сообщение05.11.2009, 14:28 


07/12/05
240
Питер -> Ulm -> Koeln -> Ulm -> Bretten -> далее везде
vek88 в сообщении #258538 писал(а):
Я считаю, что мы детально воспроизвели на элементарном уровне все принципиальные моменты, вызывающие трудности у коллег, не знакомых с теорией случайных процессов.

ОК, тогда сперва дождемся окончательных выводов.



vek88 в сообщении #258538 писал(а):
За ответ на Вопрос 7 спасибо - правда надо уточнить, что на взятый кредит мы покупаем акцию.

Да, конечно, покупаем акцию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Black-Scholes – элементарное введение
Сообщение05.11.2009, 18:06 


15/10/09
1344
Напомним, зачем мы так "мудрим": занять, деньги, купить акцию, продать форвард.

Ведь как можно было бы поступить с точки зрения спекулянта: раз форвард переоценен, значит надо его продать (т.е. заключить форвард на продажу). А когда он будет дешевле, купить (т.е. заключить противоположный форвард на покупку; или дождаться исполнения в расчете на спекулятивную прибыль). Но тогда никто не гарантирует, что будет прибыль, т.к. остается рыночный риск.

А мы захотели получить прибыль без риска. Поэтому мы так "мудрили" - или, как говорят хеджировались: купив акцию и продав форвард мы получили безрисковую позицию - чтобы ни происходило с ценой акции на рынке мы сможем продать ее по прописанной в форвардном контракте форвардной цене $F$. А поскольку позиция форвард на продажу + акция безрисковая, мы ожидаем наварить на нее доход по ставке $r$ независимо от движения цены.

Теперь попытаемся применить хеджирование к европейскому call-опциону. Но теперь это несколько сложнее, поскольку опцион представляет собой "нелинейный" инструмент. Можно только локально, при малых изменениях цены акции, говорить об эквивалентности опциона определенному количеству акций в плане рыночных рисков. Указанное определенное количество называют чувствительностью опциона к спот цене акции и обзначают $\Delta$. В математической записи $$\Delta=\frac{\partial {c}}{\partial{S}}$$ Здесь $c$ - цена нашего опциона.

 Профиль  
                  
 
 Re: Black-Scholes – элементарное введение
Сообщение05.11.2009, 23:42 


15/10/09
1344
Итак, пусть теперь есть риски - цена акции распределена по логнормальному закону со ставкой $\mu$. Покупаем опцион call и тут же хеджируемся продажей акции в количестве $\Delta$. Разумеется через каждый малый интервал времени $\Delta t$ мы корректируем хедж, поскольку $\Delta$ меняется со временем. Такая стратегия называется динамическим хеджированием или $\Delta$-neutral hedge. Нас эта стратегия интересует не в плане торговой стратегии, а как безрисковая стратегия, независимо от величины ставки $\mu$!!!

Вопрос 8. По какой ставке за время $\Delta t$ мы наварим доход на наш портфель (длинная позиция +1 по call-опциону, короткая $-\Delta$ по акции)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Black-Scholes – элементарное введение
Сообщение06.11.2009, 08:41 
Аватара пользователя


05/06/08
87
vek88 в сообщении #258776 писал(а):
Вопрос 8. По какой ставке за время $\Delta t$ мы наварим доход на наш портфель (длинная позиция +1 по call-опциону, короткая $-\Delta$ по акции)?
Зависит, меняется ли у Вас $$\Delta=\frac{\partial {c}}{\partial{S}}$$ по времени?
Если обозначить стоимость портфеля в момент: $\[\Pi  = {f_S}S - f\]$, то через приращение по времени стооимость станет: $\[\Delta \Pi  = \Delta{f_S} S + {f_S}\Delta S - \Delta f\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Black-Scholes – элементарное введение
Сообщение06.11.2009, 10:45 


15/10/09
1344
Две подсказки:

1. Здесь не следует усложнять - предлагаю смотреть на это проще. Разумеется, $\Delta$ на интервале $\Delta t$ считаем постоянной. А вопрос сводится к определению нашего навара $\Delta \Pi$ с точностью до членов порядка $\Delta t$, пренебрегая членами более высокого порядка.

2. Можно, конечно, честно вычислять приращение $\Delta \Pi$ (соблюдая осторожность с $\sqrt{\Delta t}$ - понадобится следующий член ряда Тейлора, или Лемма Ито, если кто хочет покруче, см. Hull). Но это слишком нудно. А, главное, - не обязательно. Проще оставться "вне математики" и просто учесть, что наш портфель - безрисковый на интервале $\Delta t$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 73 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: zhoraster, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group