Black-Scholes – элементарное введение

[vek88]

Ну не дают уйти в отпуск. В связи с этим сообщаю:

1. Командовать парадом буду я.

2. До завтра прочитайте Hull, Futures, Options and other ... , места про risk nutral valuation.

С уважением,
находящияся в отпуске до завтра vek88

[finanzmaster]

vek88 в сообщении #258079 писал(а):

1. Командовать парадом буду я.

Конечно. Но принимаем парад мы, участники темы.
И от меня пока незачет.
Если я далее увижу, что противоречие устранено, то естественно об этом напишу и искренне порадуюсь, потому что задача у Вас амбициозная, и мне бы тоже хотелось видеть ее решение.

vek88 в сообщении #258079 писал(а):

2. До завтра прочитайте Hull, Futures, Options and other ... , места про risk nutral valuation.

Я его читал. И Шрива, и Плиску тоже. И оригинальную работу Б-Ш.
И опционами я тоже торговал.

[vek88]

Дудки - отвечать не буду - компьютер выключаю.

С уважением,
все-таки находящийся в отпуске vek88

[vek88]

Лирическое отступление. Доказывать справледивость какой-либо формулы можно разными способами. Например, можно выводить формулу на основе тех или иных предпосылок. А мы изобретать формулы BS не будем - мы просто докажем, что иначе быть не может, даже при наличии рисков. Такой метод более уместен в элементарном введении, поскольку так мы уходим не только от Винара и Ито, но также и от уравнений в частных производных и прочих заведомо не элементарных вещей.

С учетом сказанного, мы продолжаем использовать вместо $\mu$ безрисковую ставку $r$. Тогда формула BS для европейского call-опциона (на бездив-ю акцию) получается усреднением по полученному выше логнормальному распределению (кто не верит, пусть проверит; см. например, Hull, где весь процесс интегрирования подробно расписан).

И теперь докажем - а как же может быть иначе. Но памятуя об элементарном уровне нашего рассмотрения, давайте вспомним азы арбитража.

Простейший пример арбитража. Я увидел, что в данный момент на бирже А акции ХХХ котируются по 100 руб., а на бирже В - по 110 руб. Разумеется, я сразу покупаю 1000 акций по 100 руб. на бирже А и одновременно продаю по 110 руб. на бирже В (или иное количество с учетом ликвидности рынка).

Чем характеризуется эта арбитражная сделка? Во-первых, отсутствием (рыночного) риска, во-вторых, бесплатностью (в пределах лимитов, открытых вам на бирже А и В). Другими словами, мы бесплатно и без риска, наврили 10000 руб. Это, фактически, вечный (фининсовый) двигатель.

Поскольку вечный двигатель невозможен, арбитраж возможен лишь как временное явление. В данном примере арбитраж приведет к падению цены на бирже А (стали много покупать дешевые акции) и росту цены на бирже В (много продают). В конце концов цены выравниваются в пределах комиссии, маржи броккера и тому подобных реалий. А теперь контрольный вопрос.

Вопрос 7. Для форвардной цены акции $F$ в данный момент на рынке имеет место соотношение

$$F > Se^{rT}$$

Комиссия, маржа и все такое отстутствуют. Приведите пример извлечения арбитражной прибыли в данной ситуации.

[Шимпанзе]

Обсуждение, на мой взгляд, пошло вразнос….Не мешало бы собраться и быть более последовательными.

vek88 в сообщении #258184 писал(а):

Я увидел, что в данный момент на бирже А акции ХХХ котируются по 100 руб., а на бирже В - по 110 руб.

Вы бы не могли дать пример евр. или амер. акций, которые бы на разных биржах в один и тот же момент котировались бы по разному?

[vek88]

Шимпанзе в сообщении #258197 писал(а):

Обсуждение, на мой взгляд, пошло вразнос….Не мешало бы собраться и быть более последовательными.

Именно к этому я постоянно призываю.

Шимпанзе в сообщении #258197 писал(а):

vek88 в сообщении #258184 писал(а):

Я увидел, что в данный момент на бирже А акции ХХХ котируются по 100 руб., а на бирже В - по 110 руб.

Вы бы не могли дать пример евр. или амер. акций, которые бы на разных биржах в один и тот же момент котировались бы по разному?

Давайте сразу уточним, что мы говорим именно о разных биржах. А не о двух торговых терминалах, находящихся в разных местах, но подключенных к одной и той же бирже. Следовательно, если биржи действительно разные, то и текущие котировки на них в каждый данный момент не обязаны совпадать. А вот сильно отличаться (т.е. больше величины комиссии и/или маржи) они действительно но могут (иначе арбитраж).

Что касается примера, если Вас это не затруднит, посмотрите сами, например, котировки акций Газпрома на ММВБ и РТС. И расскажите нам о результатах.

С уважением,
vek88

[Шимпанзе]

vek88 в сообщении #258221 писал(а):

Что касается примера, если Вас это не затруднит, посмотрите сами, например, котировки акций Газпрома на ММВБ и РТС. И расскажите нам о результатах.

Уголовные дела я не смотрю. Я спрашивал о примерах на амер. и европ. биржах... Нет так нет.

[vek88]

Что-то как-то все заглохло. Видимо, потеряли дорогу. Напомню где мы.

Итак, мы вывели формулы BS без Винера и Ито, но с ограничением безрисковой ставкой $r$.

Теперь мы собрались доказать, что формулы BS имеют место и при наличии рисков, т.е. для ставки $\mu$.

Чтобы напомнить, как это делается, мы начали с более простого примера - с форвардов. Для форвардов ведь тоже можно вывести формулу для форвардной цены $F$ через соответствующий интеграл по логнормальному распределению со ставкой $r$ (см. Халл). А потом доказать, что формула

$$F=Se^{rT}$$

имеет место уже и без этого ограничения. Что, фактически, и предложено сделать в Вопросе 7 (для форвардов вид распределения вообще не важен).

А уж далее, наконец, мы используем логнормальное распределение с параметром $\mu$ и устроим арбитраж для формулы BS.

Но сначала давайте дождемся ответа(ов) на Вопрос 7. Чтоб жизнь медом не казалась.

[finanzmaster]

vek88 в сообщении #258501 писал(а):

Что-то как-то все заглохло. Видимо, потеряли дорогу. Напомню где мы.

Итак, мы вывели формулы BS без Винера и Ито, но с ограничением безрисковой ставкой $r$.

Пока еще самой формулы нет, есть только промежуточные выводы, причем недоказанные.

vek88 в сообщении #258501 писал(а):

Теперь мы собрались доказать, что формулы BS имеют место и при наличии рисков, т.е. для ставки $\mu$.

Конечно имеет. Горю нетерпением увидеть, как Вы это будете доказывать.

vek88 в сообщении #258501 писал(а):

Но сначала давайте дождемся ответа(ов) на Вопрос 7. Чтоб жизнь медом не казалась.

Занять в банке сумму, равную цене акции $S$.
Заключить форвардный контракт на продажу акции.
В будущем отдать банку $Se^{rT}$, а разницу $F - Se^{rT}$ положить в карман.

[vek88]

finanzmaster в сообщении #258530 писал(а):

Пока еще самой формулы нет, есть только промежуточные выводы, причем недоказанные.

Я считаю, что мы детально воспроизвели на элементарном уровне все принципиальные моменты, вызывающие трудности у коллег, не знакомых с теорией случайных процессов.

А вот технические детали, например, брать интегралы - увольте. Тем более все это имеется в литературе. Я уже отослал за техническими деталями к Халлу.

vek88 в сообщении #258184 писал(а):

Тогда формула BS для европейского call-опциона (на бездив-ю акцию) получается усреднением по полученному выше логнормальному распределению (кто не верит, пусть проверит; см. например, Hull, где весь процесс интегрирования подробно расписан).

А если это кому-то нужно, пусть откроет Халла (Appendix 11A). Переписывать понятные и общедоступные вещи сюда вряд ли целесообразно.

За ответ на Вопрос 7 спасибо - правда надо уточнить, что на взятый кредит мы покупаем акцию.

[finanzmaster]

vek88 в сообщении #258538 писал(а):

Я считаю, что мы детально воспроизвели на элементарном уровне все принципиальные моменты, вызывающие трудности у коллег, не знакомых с теорией случайных процессов.

ОК, тогда сперва дождемся окончательных выводов.

vek88 в сообщении #258538 писал(а):

За ответ на Вопрос 7 спасибо - правда надо уточнить, что на взятый кредит мы покупаем акцию.

Да, конечно, покупаем акцию.

[vek88]

Напомним, зачем мы так "мудрим": занять, деньги, купить акцию, продать форвард.

Ведь как можно было бы поступить с точки зрения спекулянта: раз форвард переоценен, значит надо его продать (т.е. заключить форвард на продажу). А когда он будет дешевле, купить (т.е. заключить противоположный форвард на покупку; или дождаться исполнения в расчете на спекулятивную прибыль). Но тогда никто не гарантирует, что будет прибыль, т.к. остается рыночный риск.

А мы захотели получить прибыль без риска. Поэтому мы так "мудрили" - или, как говорят хеджировались: купив акцию и продав форвард мы получили безрисковую позицию - чтобы ни происходило с ценой акции на рынке мы сможем продать ее по прописанной в форвардном контракте форвардной цене $F$. А поскольку позиция форвард на продажу + акция безрисковая, мы ожидаем наварить на нее доход по ставке $r$ независимо от движения цены.

Теперь попытаемся применить хеджирование к европейскому call-опциону. Но теперь это несколько сложнее, поскольку опцион представляет собой "нелинейный" инструмент. Можно только локально, при малых изменениях цены акции, говорить об эквивалентности опциона определенному количеству акций в плане рыночных рисков. Указанное определенное количество называют чувствительностью опциона к спот цене акции и обзначают $\Delta$. В математической записи

$$\Delta=\frac{\partial {c}}{\partial{S}}$$

Здесь $c$ - цена нашего опциона.

[vek88]

Итак, пусть теперь есть риски - цена акции распределена по логнормальному закону со ставкой $\mu$. Покупаем опцион call и тут же хеджируемся продажей акции в количестве $\Delta$. Разумеется через каждый малый интервал времени $\Delta t$ мы корректируем хедж, поскольку $\Delta$ меняется со временем. Такая стратегия называется динамическим хеджированием или $\Delta$-neutral hedge. Нас эта стратегия интересует не в плане торговой стратегии, а как безрисковая стратегия, независимо от величины ставки $\mu$!!!

Вопрос 8. По какой ставке за время $\Delta t$ мы наварим доход на наш портфель (длинная позиция +1 по call-опциону, короткая $-\Delta$ по акции)?

[H14sk]

vek88 в сообщении #258776 писал(а):

Вопрос 8. По какой ставке за время $\Delta t$ мы наварим доход на наш портфель (длинная позиция +1 по call-опциону, короткая $-\Delta$ по акции)?

Зависит, меняется ли у Вас

$$\Delta=\frac{\partial {c}}{\partial{S}}$$

по времени?
Если обозначить стоимость портфеля в момент: $\[\Pi = {f_S}S - f\]$, то через приращение по времени стооимость станет: $\[\Delta \Pi = \Delta{f_S} S + {f_S}\Delta S - \Delta f\]$

[vek88]

Две подсказки:

1. Здесь не следует усложнять - предлагаю смотреть на это проще. Разумеется, $\Delta$ на интервале $\Delta t$ считаем постоянной. А вопрос сводится к определению нашего навара $\Delta \Pi$ с точностью до членов порядка $\Delta t$, пренебрегая членами более высокого порядка.

2. Можно, конечно, честно вычислять приращение $\Delta \Pi$ (соблюдая осторожность с $\sqrt{\Delta t}$ - понадобится следующий член ряда Тейлора, или Лемма Ито, если кто хочет покруче, см. Hull). Но это слишком нудно. А, главное, - не обязательно. Проще оставться "вне математики" и просто учесть, что наш портфель - безрисковый на интервале $\Delta t$.