2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5
 
 Re: Black-Scholes – элементарное введение
Сообщение06.11.2009, 11:16 
Аватара пользователя


05/06/08
87
vek88 в сообщении #258865 писал(а):
1. Здесь не следует усложнять - предлагаю смотреть на это проще. Разумеется, $\Delta$ на интервале $\Delta t$ считаем постоянной. А вопрос сводится к определению нашего навара $\Delta \Pi$ с точностью до членов порядка $\Delta t$
Если $\Delta$ на интервале $\Delta t$ считать постоянной, что $$\Delta=\frac{\partial {c}}{\partial{S}}$$является константой по времени? Цена акции и стоимость опциона изменяются за $\Delta t$ синхронно на одну и ту же величину? Насколько корректное допущение? :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Black-Scholes – элементарное введение
Сообщение06.11.2009, 11:42 


15/10/09
1344
H14sk в сообщении #258876 писал(а):
Если $\Delta$ на интервале $\Delta t$ считать постоянной, что $$\Delta=\frac{\partial {c}}{\partial{S}}$$является константой по времени? Цена акции и стоимость опциона изменяются за $\Delta t$ синхронно на одну и ту же величину? Насколько корректное допущение? :?

$\Delta$ считаем постоянной на $\Delta t$ пренебрегая членами более высокого порядка малости.

Видимо, надо выразиться более точно: цена позиции по опциону и цена позиции по акции меняются на одну и ту же величину, но с разными знаками. Как говорится, потому и не кусают, т.е. для того и хеджировались, чтобы наш портфель не зависел от риска изменения цены акции (т.е. от рыночного риска). В частности, чтобы не зависел от величины $\mu$, которая в реальном мире нам не очень-то известна.

И еще одна подсказка. Забудьте на время об опционе. Предположим, что безрисковая ставка 5%, а у вас в руках безрисковый актив, приносящий доход по ставке 4%. Предположим также, что этот актив Вам не нужен в течение года. Ваши действия?

 Профиль  
                  
 
 Re: Black-Scholes – элементарное введение
Сообщение07.11.2009, 18:41 


15/10/09
1344
Ответа на последний вопрос я так и не увидел. Пусть этот вопрос останется в качестве хвоста, а мы рассмотрим заключительные замечания.

Вернемся на минуту к $\mu=r$. В результате усреднения денежного потока в момент $T$ и дисконтированием его по ставке $r$ мы пришли к формулам BS. А теперь посмотрим на эти формулы с позиций $\Delta$-нейтрального хеджирования. Очевидно, что этот портфель за каждый интервал $\Delta t$ наваривает безрисковую ставку $r$. Отсюда следует, что купив европейский call опцион за цену c (по BS) в момент исполнения опциона мы получим сумму $c e^{rT}$.

А теперь пусть $\mu$ произвольно. Казалось бы теперь мы должны "найти" некоторую иную формулу для цены опциона. Предположим, мы нашли такую функцию $c_\mu$.

Обратим внимание на важное обстоятельство. Устроив $\Delta$-нейтральное хеджирование для этой функции мы снова обнаружим, что это хеджирование исключает из рассмотрения параметр $\mu$. Следовательно, все в этом динамический портфеле, в том числе, функция $c_\mu$ не зависит от $\mu$. Разумеется $r$ присутствует в процессе - по этой ставке мы навариваем на текущую стоимость портфеля. Разумеется, денежки от продажи $\Delta$ акций мы крутим в банке по ставке $r$.

И все? И все. Фанаты ликуют - передние ряды в трансе.

А что касается меня, до понедельника ухожу в отпуск.
С уважением,
vek88

 Профиль  
                  
 
 Re: Black-Scholes – элементарное введение
Сообщение14.11.2009, 20:35 


15/10/09
1344
Поскольку вот уже неделя с последнего сообщения, считаю основную тему исчерпанной. Теперь можно кратко прокомментировать дополнительные вопросы, возникавшие по ходу темы.
Шимпанзе в сообщении #256791 писал(а):
vek88 в сообщении #256772 писал(а):
А если серьезно, надо использовать какую-либо модель для учета толстых хвостов, лептокуртозиса, улыбки волатильности и т.д.

Складывается мнение ( у меня), что любая экономическая модель тренда достоверна на короткий промежуток времени – максимум пару дней. Любая модель на более длинный период недостойна внимания. Нет?

Я бы не стал говорить столь однозначно (пессимистично или оптимистично). It depends. На некоторых промежутках времени график эмпирического интегрального (!) распределения лога близок к нормальному (и на глаз и по Колмогорову). Другими словами, все как в учебниках. А иногда отчетливо видны жирные хвосты и/или лептокуртозис.

В любом случае надо помнить, что лучшего (и столь же простого) нам не дано.

С уважением,
vek88

 Профиль  
                  
 
 Re: Black-Scholes – элементарное введение
Сообщение15.11.2009, 18:48 
Аватара пользователя


05/06/08
87
Ну, что можно подводить итоги?
Насколько адекватные в основе положены предпложения?
1. Колебания курса положены в %, а не в валюте.
Отсюда, вроде, и проблема со стремление матожидания к нулю при больших n или $\sigma_d$ сравнимых с единицей:
$M\left[ln(\frac{S_T}{S_0}) \right] = (n/2) \left( ln(1 + \sigma_d) + ln(1 - \sigma_d) \right) = (n/2) ln(1 - {\sigma_d}^2)  $
2. Четкого вывода я тут не увидел, может, плохо смотрел, но в целом, ИМХО, это упрощенная биноминальная модель с равновероятными исходами + или - %. Стандартная биноминальная модель использует менее узкие предположения.
3. Понимаю Ваше желание оставить неявное управление на $\Delta=\frac{\partial {c}}{\partial{S}}$, но наверное интереснее модели, где к этому аспекту относятся содержательнее.
vek88 писал(а):
А если это кому-то нужно, пусть откроет Халла (Appendix 11A). Переписывать понятные и общедоступные вещи сюда вряд ли целесообразно.
В моих изданиях Халла нет Appendix'а 11A, наверное имелось в виду, 13.1 или 13А?
И стоит так уж избегать Ито? Если оставить в основном идеи случайных процессов в стороне, то, по сути, броуновский процесс это и не фунуция t, и нельзя сказать, что совсем уж независимые величины, - есть зависимость через дисперсию - это и используется в формуле Ито. :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Black-Scholes – элементарное введение
Сообщение16.11.2009, 10:13 


15/10/09
1344
Халл у меня 4-е издание (2000 г.). Приложение 11А называется Proof of BSM Formula.

Обращаю внимание на следующее:

1. Нигде не ставилась задача "доказать" что-либо. Речь шла исключительно на уровне элементарных пояснений.

2. Задача "закрыть Америку" (Винера, Ито, и т.д.) также не ставилась. Винеровский процесс и все такое - это прекрасно, красиво и изящно. Но ... только для тех, кто это все знает.

3. Меня несколько удивляет целый ряд заданных в теме вопросов, например, о пояснении логнормальности. Господа! Прочитайте внимательно того же Халла - все взято оттуда. И лишь опущены "необязательные" моменты. Например, динамическое хеджирование уже на содержательном уровне исключает $\mu$, следовательно, не обязательно писать дифуры для того, чтобы сказать о независимости от $\mu$. То же и с винеровским процессом - вывести искомое распределение $S_T$ можно и без него.

Итак, была поставлена задача изложить BS без суровой математики. Плохо ли, хорошо ли - эта задача выполнена. Кто может сделать это лучше - сделайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Black-Scholes – элементарное введение
Сообщение16.11.2009, 17:28 


07/12/05
240
Питер -> Ulm -> Koeln -> Ulm -> Bretten -> далее везде
vek88 в сообщении #262518 писал(а):
Итак, была поставлена задача изложить BS без суровой математики. Плохо ли, хорошо ли - эта задача выполнена. Кто может сделать это лучше - сделайте.

Худо-бедно, да.
Из положительных моментов:
1. упоминался дельта-хеджинг
2. Уделено внимание тому, что волатильность "добавляет отрицательности" тренду цены акции.

Но с учетом того, что формула БШ даже не была выведена - это далеко не лучшее элементаное введение.
На мой взгляд, лучше "классический" подход:
1. Ввести дискретный random walk
2. Показать, что он сходится к броуновскому движению
3. Ввести CRR-модель; в рамках нее - и хеджирующую стратегию, и мартингальную меру
4. Показать, что при соответствующей калибровке цена европйского колла сходится к БШ
5. Попросить поверить на слово, что в непрерывном времени есть и хеджирующая стратегия - ну а перейти к мартингальной мере - значит сделать drift не $\mu$, а $r$

При этом говоря "лучше", я имею в виду лучше того, что нам было представлено.
По своему опыту скажу (хотя это особенности восприятия) - пока не засучил рукава и не изучил Shrev'а в деталях - все оставлось темным лесом, все эти элементарные введения в лучшем случае дают ответ на узкий определенный вопрос. А вот чтобы за деревьями лес видеть - надо куда больше времени и старания инвестировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Black-Scholes – элементарное введение
Сообщение16.11.2009, 18:22 


15/10/09
1344
finanzmaster в сообщении #262631 писал(а):
Уделено внимание тому, что волатильность "добавляет отрицательности" тренду цены акции.

А как же не уделить этому внимание? Мы просто "обошли стороной" Лемму Ито в конкретном случае.
finanzmaster в сообщении #262631 писал(а):
Но с учетом того, что формула БШ даже не была выведена - это далеко не лучшее элементаное введение.

Что касается взятия интеграла, уже были ссылки на Халла (например, к приложению к главе 13 в русском переводе). Хотя, как Вы сказали по другому поводу, можно поверить на слово со взятием интеграла.

В целом же согласен, что излагать ценообразование производных инструментов можно самыми разными способами. Разумеется, с учетом конкретных целей и особенностей аудитории. Так, например, для аспирантов мехмата МГУ, специализирующихся на теории случайных процессов, вряд ли необходимо элементарное введение. А вот для "нематематической" аудитории более предпочтительно делать акцент на содержательной стороне, а математические выкладки следует давать в минимально возможном объеме.

Что касается глубокого изучения какого-либо предмета, абсолютно согласен с Вами, что все дается трудом и терпением. Лет пятнадцать назад мне дали ксерокопию тогдашнего издания Халла - я его проштудировал "с карандашом в руках" раза три. Потом мне подарили 4-е издание - при любых проблемах открываю и с большим удовольствием изучаю снова.

С уважением,
vek88

 Профиль  
                  
 
 Re: Black-Scholes – элементарное введение
Сообщение02.12.2009, 21:48 
Аватара пользователя


28/11/09
4
Екатеринбург/Торунь
А можно просьбу из грона "чайников"?
Можно какой-нибудь список основных понятий и формул составить (можно не расписывая даже, просто термины), чтобы как-то было в легче вливаться в эти все дела. Я просто только начинаю их изучение и потому, как тут многие любят говорить, что некоторые вещи элементарны, мне они на данном этапе развития таковыми не кажутся... :(
Очень надеюсь, что когда-то и я буду смотреть на них как на нечто очень элементарное, но для этого надо сейчас грамотно подойти к их изучению...
Думаю такой ликбез-топик пригодится в будущем не только мне... Заранее спасибо! :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Black-Scholes – элементарное введение
Сообщение02.12.2009, 22:06 
Экс-модератор
Аватара пользователя


11/07/08
1169
Frankfurt
Напишите, что не понятно, форум для этого и существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Black-Scholes – элементарное введение
Сообщение12.12.2009, 12:33 


15/10/09
1344
PlamBeer в сообщении #267595 писал(а):
Можно какой-нибудь список основных понятий и формул составить (можно не расписывая даже, просто термины), чтобы как-то было в легче вливаться в эти все дела. :)

Мне кажется, что Ваш вопрос не туда и не о том. Фактически, Вы просите дать Вам путеводитель, причем непонятно для кого и непонятно куда. Разумеется, писать подобный путеводитель никто для Вас не станет, поскольку это большой и неблагодарный труд. Как сказал когда-то акдемик Понтрягин, тонкую книгу написать гораздо труднее, чем толстую.

Я бы на Вашем месте попросил на Форуме совета о выборе одной-двух книг для Вашего уровня математической и экономической подготовки (если Вы этот уровень укажете в вопросе).

Либо, как Вам уже посоветовал уважаемый bubu gaga, задавайте конкретные вопросы.

С уважением,
vek88

P.S. Вспомнил старый анекдот. Один доцент другому: я так долго объяснял этому студенту, что уже даже сам понял, а он так ничего и не понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Black-Scholes – элементарное введение
Сообщение04.02.2010, 22:50 
Заблокирован


22/06/08

642
Монреаль
предлагаю все же приводить реальные примеры.Попробуем применить ее на практике для одной венчурной компании в Канаде.Сейчас она стоит (ее акции )720 тысяч долларов на бирже в Канаде.Имеет на балансе 2 ангара для ремонта самолетов площадью 300 квадратных метров.Долгов примерно на 7 миллионов долларов.Ее оборот(если бы она работала) составляет 65 миллионов долларов в год.Сейчас она находится под защитой от банкротства законами Канады и месяц будет приостановлена ее работа.То есть кредиторы не могут получать плату за долги.Наверное сменят директора.Работники уволены.Им платится пособие 6 месяцев, составлябщее 75% от их зарплаты.
Видно, что ващи формулы не работают применительно к такой находящейся в состоянии банкротства или в компании, которая идет к юанкпротству.

 Профиль  
                  
 
 Re: Black-Scholes – элементарное введение
Сообщение08.02.2010, 15:01 
Экс-модератор
Аватара пользователя


11/07/08
1169
Frankfurt
barga44: Замечание за оффтопик

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 73 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5

Модераторы: zhoraster, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group