Решение уравнений четвертой степени

[math_lover]

Здравствуйте!

Помогите (кто может) решить это уравнение:
$\[48{x^4} - 864{x^3} + 2941{x^2} + 8523x - 10648 = 0\]$

Предпочтительнее путём разложения многочлена на множители:
$\[\left( {48{x^2} - 432x - 1331} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 8} \right) = 0\]$
Разложить на множители может даже каждый CAS-калькулятор (а я не могу ), но мне хотелось бы писменное решение.

Или, преобразовать к симметрическому уравнению четвертой степени. Я пробовал, но как-то у меня не получается:
$\[48\left( {{x^2} - \frac{{1331}}{{6{x^2}}}} \right) - 864\left( {x - \frac{{947}}{{96x}}} \right) + 2941 = 0\]$

Спасибо за помощь!

[gris]

В таком деле мы сначала пытаемся подобрать корни. Единица подходит. Делим многочлен в столбик на $(x-1)$. Получаем уравнение третьей степени.
И чудо - подходит восьмёрка. Делим в столбик на $x-8$. Получаем квадратное уравнение. Нормальное решение.

[meduza]

Да, gris указал стандартный приём: угадывание корней среди делителей свободного члена. Возможно, это самый разумный путь для решения данного уранения.

[math_lover]

Это уравнение не из домашних заданий (у меня одно из многих хобби - решать уравнения). К этому уравнению "пришел" я после преобразований другого более сложного уравнения. Так как у меня это уже не первый случай, то меня больше не устраивает "угадывание корней" . Можно его решить каким-нибудь более "универсальным" способом? (без деления многочлена на многочлен ). Хотелось бы сразу решение...

[gris]

А Вас интересуют точные решения? Нельзя использовать численные методы хотя бы для подбора корней?.
Для уравнений 3-4 степени есть громоздкие формулы Кардано, Тартальи, Бардзини, либо изощрённые приёмчики, которые работают только в частных случаях.

[meduza]

gris в сообщении #257284 писал(а):

есть громоздкие формулы Кардано, Тартальи

Угадать корни и поделить многочлены будет в мильон раз быстрее, чем по этим формулам считать. math_lover, а чем именно не устраивает этот способ?

P. S. Несколько частных методов решения уравнений 3-4 степеней есть в: Ткачук "Математика абитуриенту".

[math_lover]

Да, меня интересуют только точные решения .Фомулы Кардано и Феррари я уже смотрел - но они какие-то еще сложные и не понятные для меня (потому что не видел примеров как ими пользоаться). Может быть Вы, gris, сделаете первый пример на этом уравнении.

meduza, меня не устраивает этот способ, потому что он не подходит к моему стилю решения уравнений .

[meduza]

math_lover в сообщении #257289 писал(а):

Фомулы Кардано и Феррари я уже смотрел - но они какие-то еще сложные и не понятные для меня

Не только для вас. На практике их почти не используют.

[gris]

В этих формулах такая жуть, что если ошибёшься совсем чуть-чуть, то ничего не получится. И будешь снова и снова мучиться. А ведь Вам, поди, и числа перемножать надо без калькулятора, ёлки-палки.

[math_lover]

Да не, числа можно и с калькулятором перемножать. Да ладно, буду сам дальше пытаться решить .

[VAL]

math_lover в сообщении #257289 писал(а):

Да, меня интересуют только точные решения .Фомулы Кардано и Феррари я уже смотрел - но они какие-то еще сложные и не понятные для меня (потому что не видел примеров как ими пользоаться). Может быть Вы, gris, сделаете первый пример на этом уравнении.

meduza, меня не устраивает этот способ, потому что он не подходит к моему стилю решения уравнений .

Всем подходит, а Вам - нет? Экий Вы привередливый!

На самом деле метод вполне корректен. И угадывание здесь не причем. Просто можно доказать (и доказано), что рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1 могут быть только целыми делителями свободного члена. Так что, этот шаг называется не "угадывание", а "отделение рациональных корней".

Если этот путь Вам все же не нравится (а точнее, если рациональных корней нет), воспользуйтесь услугами мат. пакета. Иррациональные корни уравнений 4-й степени (за исключением частных случаев) выглядят ужасающе. И получать их вручную методами Феррари, Кардано и Тартальи не рекомендуется.
Иное дело комп. Он железный!

-- 01 ноя 2009, 18:57 --

math_lover в сообщении #257303 писал(а):

:D Да не, числа можно и с калькулятором перемножать. Да ладно, буду сам дальше пытаться решить .

А то, что задачка, мягко говоря, не нова и тысячи умнейших людей столетиями думали над ней и кое-что таки выяснили, Вас не интересует?
Зря!

[AKM]

Для начала, math_lover, замечу, что использование красного цвета на форуме не допускается.

После чего добавлю, что наезды на Феррари не разделяю. Вы с комплексными числами знакомы? Постичь всю их апофеозность непросто, но элементарные операции, в том числе извлечение корешков, не мешало бы. То есть, ежели Вы это не освоили, то обсуждать методы Феррари/Кардано как-то не того.

Вероятно, кому-то просто лень приводить уравнение к виду без $x^3$, а потом делать аналогичную операцию для резольвенты, а потом всё взад возвращать.

Сегодня я возвращался из отпуска в свою модераторскую кабинку, что включало 4 часа самолёта. Такие штуки для меня бесконечно утомительны своей скучностью. Но я взял с собой 4 уравнения (4-й степени), накопившиеся за последние 2 месяца и откладывываемые по ленивым причинам в надежде именно на эти перелёты. Самолётная скука для меня столь сильна, что можно надеяться их порешать. Помогает надежда, что вдруг и на этот раз случится что-то забавное. О результатах не докладываю --- совсем будет оффтопик. Мне жизнь подкидывает около десятка уравнений 3-4-й степени в год (не форумных).

Так что пробуйте решать, пишите сюда, тренируйтесь. А ежели Вы проигнорируете комплексные числа, то не пробуйте и не пишите.

-- Вс ноя 01, 2009 22:12:46 --

Впрочем, надо признать, что метод с резольвентой есть метод Декарта-Эйлера, а что такое Феррари я сейчас не помню.

[ewert]

AKM в сообщении #257380 писал(а):

. Мне жизнь подкидывает около десятка уравнений 3-4-й степени в год (не форумных).

И Вы решаете их именно по карданам-феррарям?!... "Не верю!" $\copyright$

[Mitrius_Math]

ewert в сообщении #257383 писал(а):

И Вы решаете их именно по карданам-феррарям?!...

Кубические уравнения по методу Кардано - не очень сложно, даже с комплексными коээффициентами. Я летом освоил этот метод, но, как верно было замечено, без знания комплексных чисел там делать нечего.
Только непонятно, зачем мучаться, если корни прекрасно находятся среди делителей свободного члена, и уравнение сводится к кубическому, а потом и к квадратному простым делением многочлена?..

[VAL]

Mitrius_Math в сообщении #257398 писал(а):

ewert в сообщении #257383 писал(а):

И Вы решаете их именно по карданам-феррарям?!...

Кубические уравнения по методу Кардано - не очень сложно, даже с комплексными коээффициентами. Я летом освоил этот метод, но, как верно было замечено, без знания комплексных чисел там делать нечего.
Только непонятно, зачем мучаться, если корни прекрасно находятся среди делителей свободного члена, и уравнение сводится к кубическому, а потом и к квадратному простым делением многочлена?..

Если можно, то тогда, конечно незачем! Но только, если можно. А можно редко. Выше я уже писал, когда.