Красота и математика

[Max Godsie]

Котофеич писал(а):

Математические теории противоречивы, ZFC например.

Не спорю. Существуют противоречивые математические теории. Существуют и непротиворечивые.

Котофеич писал(а):

А физики если бы ждали пока
математики что нибудь для них придумают, то нобеля бы многие из них не получили.

Физика есть физика, математика есть математика. Математические модели примененные к реальным объектам с лекгой руки теоретических физиков получают потом своё индивидуальное развитие и уходят довольно далеко. В иных случаях успешно - отсюда и премии. Премии также даются и за успешное применение к конкретному явлению кокретной математической модели для описания. И т.д.

Котофеич писал(а):

А
математика всегда была связана с реальным миром, потому что все идет оттуда и говорить
обратное это значит плевать против фактов.

Конечно была связана, но только математика, которая начинает применяться к реальным объектам - это уже по сути физика.

[Someone]

Max Godsie писал(а):

Котофеич писал(а):

Математические теории противоречивы, ZFC например.

Не спорю. Существуют противоречивые математические теории. Существуют и непротиворечивые.

Не слушайте Котофеича. В настоящее время противоречивая математическая теория - это нонсенс. Вот когда Котофеич своё доказательство напишет и опубликует, и специалисты официально признают его правильным, тогда и поговорим. Но надежды на это мало. То, что он нам здесь показывал - сплошная путаница.

Max Godsie писал(а):

Котофеич писал(а):

А
математика всегда была связана с реальным миром, потому что все идет оттуда и говорить
обратное это значит плевать против фактов.

Конечно была связана, но только математика, которая начинает применяться к реальным объектам - это уже по сути физика.

Не обязательно физика, может быть химия, биология,... В принципе, движение между "чистой" и "прикладной" математикой двустороннее, но, в конечном счёте, мне кажется, что вся математика происходит (более или менее опосредованно) из окружающей нас действительности.

[Max Godsie]

Someone писал(а):

Не обязательно физика, может быть химия, биология,... В принципе, движение между "чистой" и "прикладной" математикой двустороннее, но, в конечном счёте, мне кажется, что вся математика происходит (более или менее опосредованно) из окружающей нас действительности.

Я согласен с Вами. Да и любая наука более или менее опосредованно происходит из окружающей действительности. И другого пути вроде нет - что вижу - о том и пою.

[juna]

И все-таки, чем же занимаются математики.
Можно обсудить тезис В.И. Арнольда: "Математика - это часть экспериментальной физики, но в отличие от последней, стоимость экспериментов мала." (смысл такой, за точность не ручаюсь).
Красивое утверждение, но не всегда верное.
Действительно, в своем конструктивном развитии в математике проводятся различные эксперименты с числами, функциями, и.т.д. выдвигаются гипотезы и затем они верифицируются. Но на этапе верификации возникает существенное различие между физикой и математикой. В физике проводят конечное множество экспериментов для доказательства гипотезы и делают индуктивный вывод, тогда как в математике под верификацией понимают доказательство - дедуктивное рассуждение, выводящее гипотезу в разряд тавтологий. Если бы верификация была как в физике, то гипотезы Римана, Пуанкаре, Гольдбаха - Эйлера, теорема Ферма не имели бы смысла. Итак, основное отличие состоит в распространении заданного свойства на бесконечные множества. В физике строится модель чувственной данности. В чувственности нельзя задать бесконечность - прямую мы видим отрезком, добавляя неопределенный процесс прикладывания отрезков. Но не может в действительности быть бесконечности и свойства ее мы можем постулировать почти произвольно с точностью до отсутствия противоречий. (отсюда проистекают неевклидовы геометрии, континуум-гипотеза и т.п.). Вот и получается, что в математике полно сверхэмпирических или, как говорит И. Кант, априорных понятий. В рамках их конструктивного использования они отражают объективную реальность, а на уровне постулирования их свойств (или, как любит выражаться Котофеич, на уровне метатеории) выражают механизм нашего разума к самопознанию.

[бобыль]

Знаете, почему математики предпочитают описывать свои теории в терминах красоты, а не вкусной и здоровой пищи? Я не знаю, но подозреваю, как бы тогда не вышло, что математическое питание многих из них крайне скудно и специфично, будто математики - это какие-то язвенники и трезвенники, неспособные заинтересоваться злободневной задачей или книгой даже по смежной дисциплине, чтобы несколько разнообразить свой стол. И что они позволяют себе скушать хорошей рыбки и икорки в буквальном смысле слова вместо того, чтобы сэкономить на этом и купить дорогую деликатесную математическую книгу или просто потратить время на кулинарную подготовку и вкусить какой-нибудь математической экзотики. И что если они и пьянеют, то совсем не от математики и ее красоты...

[Котофеич]

Котофеич писал(а):

Математические теории противоречивы, ZFC например.

Max Godsie --"Не спорю. Существуют противоречивые математические теории. Существуют и непротиворечивые".
Погодите, погодите. Вы слишком быстро уходите от проблем. С говорящим котом
так нельзя. Что значит существуют непротиворечивые математические теории Вы что
можете привести хоть один пример заведомо непротиворечивой математической теории на основе которой можно что то путнее построить Да будет Вам известно, что все такие
теории намного слабее арифметики. А слушать меня или не слушать, так это дело сугубо
личное. Вот БАБ например не послушался умных людей, а теперь сами видите, его дело
дрянь. А потому, что сколько веревочке не виться, а конец все равно будет. Ну по поводу
ZFC тут Someone прав конечно, что доказательство должно быть полным и не очень запутанным, а то и комиссия специалистов не разбереться
Что касается примера из книги Арнольда, то этот пример говорит только о том, что классическая математика уже в простейшем случае не является адекватным аппаратом для
теории измерений, но это было хорошо известно и задолго до Арнольда. Сам этот пример не
слишком удачный, потому что данное обстоятельство не препятствует применению теории
ОДУ на практике.

[juna]

То, что противоречивые теории имеют право на существование спорить сложно: можно добавить несколько противоречивых аксиом, сформулировать определенные ограничения на правила вывода из этих аксиом и строить дедуктивную теорию без добавления новых противоречий. Не залезая в дебри, остановимся на аристотелевской логике. Для любого понятия в символической логике существует закон: любое понятие тождественно самому себе (общеутвердительное Все а есть а, частноутвердительные Некоторые а есть а).
Добавим к исходным посылкам две внутренне противоречивые Ни один а не есть а, Некоторые а не есть а. Если теперь строить выводы с использованием принятых модусов и фигур, то множество сделанных выводов быстро разрастается до всех комбинаторно возможных, появляются внешние противоречия типа Все а есть в и Ни один а не есть в и т.д. - т.е. ни к чему полезному это не приводит, в принципе. Но теперь добавим следующие ограничения на правила вывода:
1. Для Ни один а не есть а невозможно, чтобы a был предикатом хотя бы одного общеутвердительного суждения (Все в есть а);
2. Для Некоторые а не есть а невозможно, чтобы a был тождественен любому другому понятию (Все а есть в Λ Все в есть а)
Тогда можно показать, что соблюдение правил не дает возможности получить внешнего противоречия ни при каких обстоятельствах.
Для Ни один а не есть а, понятие а не может быть предикатом любого общеутвердительного суждения, то есть понятие а не может содержать в себе полностью ни одного понятия. Понятие а может включать в себя лишь части самых разных понятий, но никогда не может содержать в себе все части одного понятия. А это означает, что о частях понятия а невозможно получить никакого понятия. Можно представить понятие а бесструктурным понятием, то есть не состоящим из элементов. Понятие а может содержаться в других понятиях либо полностью, либо не содержаться в них вообще, в самом себе оно не содержит никакого понятия.
Для Некоторые а есть а, понятие а может содержать в себе другое понятие и может содержаться в другом понятии, но без противоречий не может быть полностью тождественно какому-либо понятию b.

Конечно, границы символической логики узки, чтобы более содержательно рассуждать о чем-либо. Но поскольку в ней существуют условия учета особенности противоречивых понятий, в более содержательных логических теориях (логике предикатов) также должны существовать эти условия. Но какая польза от этих нововведений - если можно обходиться без них, а вот можно ли?

[Котофеич]

Ну на самом деле все не так просто. Для противоречивой логики многие из известных
законов аристотелевой логики уже не выполняются. Это мгновенно приводит к разрушению
большей части математики. Хорошо известно, что большинство паранепротиворечивых
вариантов теории множеств, есть просто тривиальные расширения фактически эквивалентные
теории классов. Попытки построения даже простейших вариантов противоречивой арифметики, также не привели ни к какой содержательной математической теории. Так что
не стоит изобретать велосипет, который к тому же еще и без колес. В теории комбинаторной
логики, много чего напридумали, но к математике это не имеет отношения. Небезызвестный
Кузичев, он кстати логик-комбинаторщик.
Потом о каких нововведениях Вы говорите Противоречивая логика существует без малого
уже 60 лет и давно стала точной наукой. Но логика это логика, а математика это математика, т.е. это разные точные науки. Существует народное мнение, что в природе есть
только одна точная наука--математика. Ерунда. Логика это тоже точная наука и намного
более важная. Многие современные математики не знают, что например Лейбниц был логиком, и известный закон Лейбница выражающий свойства тождества, лежит в основе усей
современной математики. Так что судите сами, что важнее.

[juna]

Отделять логику от математики (непрерывной, дискретной) неверно - это раздел математики, изучающий ее основания и собственные проблемы.
Вслед за паранепротиворечивыми логиками, я считаю, что содержательные противоречивые математические теории допустимы и могут принести пользу.

Цитата:

Для противоречивой логики многие из известных законов аристотелевой логики уже не выполняются. Это мгновенно приводит к разрушению большей части математики.

Все это неклассическое направление понятно. Но зачем разрушать то, что надежно служит. С точки зрения программы Гильберта по формализации математики, мне интересно разрушение всего двух теорем - Геделя о неполноте. Вот я и высказываю гипотезу, что если добавить к аксиомам внутренне противоречивые понятия, ввести гигиенические правила по их использованию, то может аксиоматическая теория станет самодостаточной.

[Котофеич]

Нет. Для паранепротиворечивых теорий теоремы Геделя также выполняются. Паранепротиворечивые математические теории деляться на два больших класса-- 1.Теории с конечным числом уровней противоречия. 2. Теории с бесконечным числом уровней противоречия. Для теорий первого класса аналог неразрешимого геделевского предложения
всегда можно построить. Для теорий второго класса теорема Геделя звучит так-- можно
всегда построить предложение А, которое либо не доказуемо либо доказуемо только совместно со своим отрицанием. Таким образом проблема оснований математики не разрешима и в рамках паранепротиворечивых теорий.
То что паранепротиворечивые методы имеют важные приложения это известный факт
http://www.math.kth.se/4ecm/poster.list.html
http://www.math.kth.se/4ecm/abstracts/1.5.pdf
Это хорошо, что Вы благосклонно относитесь к неклассической логике , но большинство
математиков другого мнения, поскольку с трудом оперируют обычной логикой. Как только в определении больше двух перемен кванторов встречается, то обычно не могут вразуметь шо это такое, ну просто беда с ними Я хочу обратить Ваше внимание, что все
великие математики были в первую очередь великими логиками, за примерами далеко ходить не нужно--Лейбниц, Колмогоров, Гильберт, Гедель,..., про Эйлера и про себя я даже не говорю. Остальные это так, бесплатное приложение-- мелочь пузатая, которая чуть что, то
сразу требует суперкомпьютера и целой армиии программистов... Арнольд сказал о них
что это люди с физически гипертрофированными мозгами и ущербным сознанием.
Отделять логику от математики нужно, бо это разные науки. Если Вы спросите у математика
какие аксиомы у модальной логики, или например у паранепротиворечивой арифметики, то мало кто ответит Все как раз наоборот. Не логика часть математики, а математика это
незначительная часть логики. После появления такой дисциплины как категорный анализ логики это стало очевидным. Еще Рассел указал на то обстоятельство, что
математика это часть логики, а не наоборот, хотя в то время этот тезис был весьма спорным.
Разрушать никто ничего не собирается. Противоречивость ZFC не разрушает математику
полностью, просто многие результаты, полученные в рамках обычной логики придется
пересмотреть.

[AndAll]

Красота для математической теории то же, что и "безумство" для физической - критерий истинности.

[Котофеич]

AndAll писал(а):

Красота для математической теории то же, что и "безумство" для физической - критерий истинности.

Дорогой AndAll, в силу теоремы Тарского, понятие истины не выразимо средствами
математических теорий.

[Котофеич]

Someone писал(а):

Max Godsie писал(а):

Котофеич писал(а):

Математические теории противоречивы, ZFC например.

Не спорю. Существуют противоречивые математические теории. Существуют и непротиворечивые.

Не слушайте Котофеича. В настоящее время противоречивая математическая теория - это нонсенс.

Не слушайте Someone, а слушайте говорящего кота и только его.
Paraconsistent mathematics (sometimes called inconsistent mathematics) represents an attempt to develop the classical infrastructure of mathematics (e.g. theory of analysis) based on a foundation of paraconsistent logic instead of classical logic. A number of interesting reformulations of analysis can be developed, for example functions which both do and do not have a given value simultaneously.
http://en.wikipedia.org/wiki/Paraconsistent_mathematics

[Шимпанзе]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

В физике строится модель чувственной данности.

Исторически давно пройденный этап. Начиная с конца 19 столетия физические модели строятся на основе интуиции - наивысшего по классификации Спинозы уровня познания природы.



Шимпанзе

[bot]

Max Godsie писал(а):

Да и любая наука более или менее опосредованно происходит из окружающей действительности. И другого пути вроде нет - что вижу - о том и пою.

Я с этим категорически согласен, но с одним условием:
Если в окружающую действительность этой любой науки включать все остальные науки.
Иначе придётся признать, что абсолютно всё, чем я (да и не только я) занимался, лишено всякого смысла, потому что эту опосредованность никто не искал, да и вряд ли найдёт не то что в обозримом, но и в необозримом будущем.