
Нет. Для паранепротиворечивых теорий теоремы Геделя также выполняются. Паранепротиворечивые математические теории деляться на два больших класса-- 1.Теории с конечным числом уровней противоречия. 2. Теории с бесконечным числом уровней противоречия. Для теорий первого класса аналог неразрешимого геделевского предложения
всегда можно построить. Для теорий второго класса теорема Геделя звучит так-- можно
всегда построить предложение А, которое либо не доказуемо либо доказуемо только совместно со своим отрицанием. Таким образом проблема оснований математики не разрешима и в рамках паранепротиворечивых теорий.
То что паранепротиворечивые методы имеют важные приложения это известный факт
http://www.math.kth.se/4ecm/poster.list.html
http://www.math.kth.se/4ecm/abstracts/1.5.pdf
Это хорошо, что Вы благосклонно относитесь к неклассической логике

, но большинство
математиков другого мнения,

поскольку с трудом оперируют обычной логикой. Как только в определении больше двух перемен кванторов встречается, то обычно не могут вразуметь шо это такое, ну просто беда с ними

Я хочу обратить Ваше внимание, что все
великие математики были в первую очередь великими логиками, за примерами далеко ходить не нужно--Лейбниц, Колмогоров, Гильберт, Гедель,..., про Эйлера и про себя я даже не говорю. Остальные это так, бесплатное приложение-- мелочь пузатая, которая чуть что, то
сразу требует суперкомпьютера и целой армиии программистов... Арнольд сказал о них
что это люди с физически гипертрофированными мозгами

и ущербным сознанием.
Отделять логику от математики нужно, бо это разные науки. Если Вы спросите у математика
какие аксиомы у модальной логики, или например у паранепротиворечивой арифметики, то мало кто ответит

Все как раз наоборот. Не логика часть математики, а математика это
незначительная часть логики. После появления такой дисциплины как категорный анализ логики это стало очевидным. Еще Рассел указал на то обстоятельство, что
математика это часть логики, а не наоборот, хотя в то время этот тезис был весьма спорным.
Разрушать никто ничего не собирается. Противоречивость ZFC не разрушает математику
полностью, просто многие результаты, полученные в рамках обычной логики придется
пересмотреть.
