Красота и математика

[LynxGAV]

Да, нет. Все правильно, но редкая чушь.

[Trueman]

Много всего красивого есть в математике. Трудно выбрать самое самое. Вот наиболее красивые задачи и теоремы мне чаще всего встречались в топологии, функциональном анализе и теории категорий, хотя опять таки и во многих других разделах есть множество красивых идей. Наиболее красивыми объектами мне на данный момент кажутся различные топологические многообразия и всякии фрактальные множества.

[juna]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Надеюсь, что участники форума не будут слишком осуждать меня за такое понимание красоты в математике:
$10000m^4n^2+20000m^3n^2+15000m^2n^2+5000mn^2+20000m^4n+40000m^3n+29800m^2n+9800mn+10000m^4+20000m^3+14800m^2+4800m+625n^2+1200n+576$
Данное выражение при любых целых $m,n$ всегда дает точный квадрат целого числа.
Я не стал выставлять это в разделе математика - выражение уж слишком громозко. Поэтому зафиксируем его здесь как красивый факт, хотя я никого не хочу отговаривать от попытки его доказать - доказательство действительно существует.

Может быть, многие думают, что данный многочлен можно свернуть к виду $(f(m,n))^2$, и что он был получен именно так, т.е. я таким образом "поиздевался" над термином "красота-математика". На самом деле я не пробовал его сворачивать к такому виду. А получился он при рассмотрении некоторого частного случая уравнения Пелля $ax^2+1=y^2$.
Мне не встречалось в литературе, чтобы для уравнения Пелля решалась такая задача - для заданного минимального решения $x_{min}$ найти общую формулу для всех $a$ ему удовлетворяющему. Задача эта очень простая. Например, пусть $x_{min}=2$, имеем $2*2^2+1=3^2$ или $2^2(2+k)+1=3^2+2^2k$. Если найти такие $k$, для которых $3^2+2^2k$ есть квадрат, то найдутся новые значения $a$ , легко показать, что $a=n^2+n$.
В общем виде можно показать, что $a$ имеет следующий вид $a=x_{min}^2n^2+2kn+d$, где $k,d$ легко находятся приведенными рассуждениями.
Теперь рассматривая $k,d$ для специального $x_{min}=5q$ получаем следующую таблицу:
$q=$ <1> <3> <5> <7> <9> <11> <13>
$x_{min}^2=$ <25> <225> <625> <1225> <2025> <3025> <4225>
$2k=$ <48> <448> <1248> <2448> <4048> <6048> <8448>
$d=$ <23><223><623><1223><2023><3023><4223>
Наблюдая за таблицей, замечаем $2k=200m(m+1)+48$ $d=x_{min}^2-2=100m(m+1)+23$
Таким образом, $a=25(2m+1)^2n^2+(200m(m+1)+48)n+100m(m+1)+23$, подставляя $a$ в $y^2=(5^2(2m+1)^2)a+1$ и получаем искомое.

[photon]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Надеюсь, что участники форума не будут слишком осуждать меня за такое понимание красоты в математике:
$10000m^4n^2+20000m^3n^2+15000m^2n^2+5000mn^2+20000m^4n+40000m^3n+29800m^2n+9800mn+10000m^4+20000m^3+14800m^2+4800m+625n^2+1200n+576$
Данное выражение при любых целых $m,n$ всегда дает точный квадрат целого числа.
Я не стал выставлять это в разделе математика - выражение уж слишком громозко. Поэтому зафиксируем его здесь как красивый факт, хотя я никого не хочу отговаривать от попытки его доказать - доказательство действительно существует.

Может быть, многие думают, что данный многочлен можно свернуть к виду $(f(m,n))^2$, и что он был получен именно так, т.е. я таким образом "поиздевался" над термином "красота-математика". На самом деле я не пробовал его сворачивать к такому виду. А получился он при рассмотрении некоторого частного случая уравнения Пелля $ax^2+1=y^2$.

На самом деле привести данное выражение к виду $(f(m,n))^2$ легко. Достаточно вспомнить, что $\left( {\sum\limits_i {a_i } } \right)^2 = \sum\limits_i {a_i^2 + 2} \sum\limits_{i \ne j} {a_i a_j } $.
Первая из сумм нас интересует больше - она дает нам только четные степени.
Какие из слагаемых в вашей сумме имеют только четные степени? А вот они: $10000m^4n^2$,$15000m^2n^2$, $10000m^4$ $14800m^2$, $625n^2$ и $576$.
Из них полными квадратами являются все кроме $15000m^2n^2$ и $14800m^2$,
а остальное - это $(100m^2n)^2$, $(100m^2)^2$, $(25n)^2$ и $24^2$.

Несложно заметить, что, убрав лишние удвоенные произведения от "неразобранных" четных степеней, мы получим остальные $a_i$:
$15000m^2n^2=2(100m^2n)(25n)+(100mn)^2$ и $14800m^2=2\cdot24(100m^2)+(100m)^2$

Таким образом мы легко установили все $a$ и получим:
$10000m^4n^2+20000m^3n^2+15000m^2n^2+5000mn^2+20000m^4n+40000m^3n+29800m^2n+9800mn+10000m^4+20000m^3+14800m^2+4800m+625n^2+1200n+576=(100m^2n+100m^2+100mn+100m+25n+24)^2$

Таких "чудо-выражений" можно писать пока рука не отсохнет без всякого рассмотрения уравнения Пелля.

Если эти выражения доставляют Вам эстетическое удовольствие, могу за скромную плату регулярно Вас ими снабжать .

[Max Godsie]

Красота в математике, как я её понимаю со своей позиции, когда я прикасаюсь к границе знания (ведь правда, что знания это круг? а знаю я очень-очень мало...), это когда из аксиом и выведенных из них нефитиными доказательствами теорем получается хитрая конструкция, при применении которой к абстрактным объектам, наделенным лишь некоторыми реальными свойствами получается теория, подтверждающаяся физическим экспериментом. "Науку не обманешь" (С). Вот такой красивый-преекрасивый Лагранжев формализм на мой скромный убогий взгляд.

Цитата:

Да, нет. Все правильно, но редкая чушь.

Редкая чушь, это http://radmar.narod.ru/osnovanie.html , и как не лениво было разумному существу столько написать весьма странного текста... А то, что у Вас - очень привлекательная вещь, хотя я и фанат карандаша. Наука о печерке скорее фикция, но очень занимательна, разве нет???

[juna]

Никакого эстетического удовольствия ни это выражение, ни процесс сворачивания его до полного квадрата на меня не оказывают, об этом я в предыдущем посте написал, что не пробовал сворачивать его к такому виду, это неинтересно.
А интересным и красивым мне показалось решение уравнения Пелля в обратной постановке. Занимаясь этой задачей, я показал, что $a$ выражается через минимальное решение в виде $a=x_{min}^2n^2+2kn+d$, получил таблицу этих компонент $a$ и пытался найти в этой таблице закономерности. Для $x_{min}=5q,q=odd$ эти закономерности были найдены, и я решил написать о них в такой завуалированной форме.
Чтобы стимулировать интерес, укажу, например, что минимальное решение уравнения Пелля $x_{min}=5$ удовлетворяет двум формам $a=25n^2+2n$ и $a=25n^2+48n+23$, для $x_{min}=10$ четырем формам $a=100n^2+2n$, $a=100n^2+98n+24$, $a=100n^2+102n+26$, $a=100n^2+198n+98$, а для $x=29$ двум формам $a=841n^2+2n$, $a=841n^2+1680n+839$.
Возникают такие вопросы: сколько различных форм $a$ существует для заданного $x_{min}$, можно ли выразить $k,d$ через $x_{min}$. Вообще это на грани оффтопика, потому что это не о красоте, а о проблемах(кажется красивых) Может перенести в математику

[LynxGAV]

Max Godsie писал(а):

Цитата:

Да, нет. Все правильно, но редкая чушь.

Можно сказать, что я навешала народу правильной лапши, а он развесил уши и поверил. Очень стыдно. Надо бы привлекать ф-лы.

Цитата:

Редкая чушь, это http://radmar.narod.ru/osnovanie.html , и как не лениво было разумному существу столько написать весьма странного текста...

Не люблю такие рассказы. Зачем? Ну, зачем это писать? Писать ладно, но кому это может пригодиться? Кому-то еще может.. Эх!

Цитата:

А то, что у Вас - очень привлекательная вещь, хотя я и фанат карандаша. Наука о печерке скорее фикция, но очень занимательна, разве нет???

Читала книгу по графологии. В своем почерке нашла отображение некоторых черт характера. Нашла, потому что хотела? =)

Не совсем фикция. Все-таки кто пишет -- вы или сосед? Я как-то подумывала, что даже из манеры печатать можно создать новую науку. Никто не обращали внимание, что некоторые товарищи постоянно ставят много точечек? ... А некоторые много вопросиков??? А некоторые не делают абзацев и пишут всё сплошным текстом? А некоторые, увидев у себя ошибки, нажимают на "правку" и правят, а некоторым все равно. Тааааакуую характеристику можно сделать, что мало не покажется.

[PSP]

LynxGAV писал(а):

. Тааааакуую характеристику можно сделать, что мало не покажется.

А мне можешь сделать характеристику..Интересно..

[Max Godsie]

LynxGAV писал(а):

Читала книгу по графологии. В своем почерке нашла отображение некоторых черт характера. Нашла, потому что хотела? =)

Не совсем фикция. Все-таки кто пишет -- вы или сосед? Я как-то подумывала, что даже из манеры печатать можно создать новую науку. Никто не обращали внимание, что некоторые товарищи постоянно ставят много точечек?

В окружающих чаще проще разобраться, чем в себе. Именно потому, что в себе находишь то, что хочешь, что ожидаешь. А про других легко сказать - смотрите сколько он восклицательных знаков поставил - он же нездоровый!!! =] А вот с графологией наоборот - анализировать почерк незнакомого человека - сложно, интересно, отчасти объективно. Анализировать свой - находить подтверждение и подкрепление своим чертам в своём почерке - всё равно, что смотреть в зеркало. (мало забавы)


Вот пример красоты в математике - смелое воображение ("шахматная" Задача Лорда Дэнсера)


Кстати, LynxGAV, что говорит о моём почерке Ваша книга?=}

[juna]

Признайтесь, Вы поклонник шахмат Бобби Фишера? Но здесь белым все-таки мат не за горами.

[LynxGAV]

PSP писал(а):

А мне можешь сделать характеристику..Интересно..

Из-за нехватки времени придется отложить . Но мне этот вопрос интересен.

[PSP]

LynxGAV писал(а):

PSP писал(а):

А мне можешь сделать характеристику..Интересно..

Из-за нехватки времени придется отложить . Но мне этот вопрос интересен.

Прислать образец почерка?А проанализируешь,когда время будет?

[Max Godsie]

Поставив себя на место LynxGAV пришёл к выводу, что лучше всего переложить задачу анализа личности по почерку на компьютер, написав анализатор изображений, автоматически выявляющий общее между почерком данного индивидуума и книжным прототипом. =}

[PSP]

Max Godsie писал(а):

Поставив себя на место LynxGAV пришёл к выводу, что лучше всего переложить задачу анализа личности по почерку на компьютер, написав анализатор изображений, автоматически выявляющий общее между почерком данного индивидуума и книжным прототипом. =}

В принципе мысль хорошая,но осуществление её,думаю,весьма трудоёмко..

[квадрат]

математика безусловно является ключевым элементом вселенной