Вновь о выражении 0^0

[Someone]

ewert в сообщении #246370 писал(а):

STilda в сообщении #246360 писал(а):

Во-первых, какое отношение имеет аксиома $(-)*(-)=(+)$

Если уж во-первых, то это не аксиома, а теорема.

Совершенно верно. Это свойство выполняется в любом кольце, и доказательство STilda может найти здесь: http://dxdy.ru/post243117.html#p243117, комментарий перед пунктом III и пункт VI.

[STilda]

Someone не думаю я, что для умножения необходимо сложение . Но замечание хорошее. Я пользовался определением Ван дер Вардена (когда то форумчане научили ему), в котором он вводит положительные отрицательные числа именно через такие вот аксиомы: $(-)*(-)=(+)$ ...

Яркин сделал хорошее наблюдение. На чистых количествах, натуральных величинах, мы делаем наблюдения и замечаем законы "на пальцах". Например $2^{3+4}=2^3*2^4, (2^3)^4=2^{3*4}$. Так же многие операции: умножение, деление, извлечение корня, возведение в степень, даже тот же синус, - мы выдумали на количествах. Но вот эти законы начали "отпечатываться" и на законы взаимодействия качеств. Например, наивно извлекали из 4 корень и получали 2, так как 2*2=4. Но это количество. А потом, опа, а что будет с качеством? И тут уже у нас (+4) а не 4 и результат не 2 а (+2) или (-2). И тут уже у нас (-4), и родилась комплексная единица, как следствие "отпечатывания" операций с количествами на операции с качествами. Мне нравится. Извините что разжевываю.

Теперь возвращаясь к аксиоматическому заданию операции ^ на множестве $P=\{(+),(-),(i),(-i),0\}$.
Мои наблюдения такие:
1. Из $(2^3)^4=2^{3*4}$ следует, что для ^ и * должно выполняться $(x^y)^z=x^{y*z}$, $x,y,z $ из $P$. Но это приведет к некомутативности ^, и, возможно, к отождествлению умножения и возведения в степень. А этого не хотелось бы.
2. От привычных $(-2)^{-1}=-0.5,2^{-1}=0.5,(+2)^{+2}=(+4)$ придется отказаться, так как они навязывают законы $(-1)^{-1}=(-1),(+1)^{-1}=(+1),(+1)^{+1}=(+1)$, которые не могут одновременно выполняться в группе. Но этот отказ не должен быть болезненным, если принять во внимание, что все эти равенства были введены "по определению" и кроме привычки в их защиту ничего нет.
3. Из $2^{3+4}=2^3*2^4$ можно получить хитрый дистрибутивный закон: $x^{y+z}=x^y*x^z$, который связывает три операции: сложение, умножение, возведение в степень.

Пока что у меня все.

[ewert]

STilda в сообщении #247094 писал(а):

не думаю я, что для умножения необходимо сложение

Не необходимо, разумеется. Но коль уж вы собираетесь умножать ноль (по определению нейтральный по отношению именно к сложению -- так уж будьте любезны, позаботьтесь о существовании обеих операций.

[Someone]

STilda в сообщении #247094 писал(а):

Я пользовался определением Ван дер Вардена (когда то форумчане научили ему), в котором он вводит положительные отрицательные числа именно через такие вот аксиомы: $(-)*(-)=(+)$

Вы не могли бы точно указать место, где Б.Л.ван дер Варден определяет положительные и отрицательные числа через такие аксиомы?

STilda в сообщении #247094 писал(а):

От привычных $(-2)^{-1}=-0.5,2^{-1}=0.5,(+2)^{+2}=(+4)$ придется отказаться

Тогда почему эту Вашу гипотетическую операцию нужно называть возведением в степень?

К тому же $a^{-1}$ - это стандартное обозначение обратного элемента в мультипликативной группе или в кольце (с единицей).

STilda в сообщении #247094 писал(а):

так как они навязывают законы $(-1)^{-1}=(-1),(+1)^{-1}=(+1),(+1)^{+1}=(+1)$, которые не могут одновременно выполняться в группе.

А разве в (мультипликативной) группе есть $-a$? Это выражение типично для аддитивной группы или для кольца. Но в аддитивной группе нет выражения $a^{-1}$. В кольце же записанные Вами равенства следуют из аксиом кольца (для корректного определения степени $a^n$ с натуральным или целым показателем $n$, $|n|>2$, кольцо должно быть ассоциативным).

STilda в сообщении #247094 писал(а):

Так же многие операции: умножение, деление, извлечение корня, возведение в степень, даже тот же синус, - мы выдумали на количествах. Но вот эти законы начали "отпечатываться" и на законы взаимодействия качеств. Например, наивно извлекали из 4 корень и получали 2, так как 2*2=4. Но это количество. А потом, опа, а что будет с качеством? И тут уже у нас (+4) а не 4 и результат не 2 а (+2) или (-2). И тут уже у нас (-4), и родилась комплексная единица, как следствие "отпечатывания" операций с количествами на операции с качествами. Мне нравится. Извините что разжевываю.

Не так всё было. Никто ни о каких "качествах" не думал. Множества чисел расширялись таким образом, чтобы операции были по возможности всегда выполнимы и обладали (по возможности) теми же хорошими свойствами, которыми они обладали до расширения. Это приводит к аксиомам кольца, поля или тела, из которых Ваши "операции с качествами" автоматически следуют.
Эти Ваши "качества" - наивная кустарщина. Насколько я помню, я Вам это своё мнение уже высказывал. Уж извините за повторение.

STilda в сообщении #247094 писал(а):

не думаю я, что для умножения необходимо сложение

А что тогда означает унарный минус? Если Вы взяли группоид и в нём ввели ещё унарную операцию "$-$", то, разумеется, свойства этой операции вывести будет неоткуда, и Вам придётся их постулировать.

[STilda]

Someone в сообщении #247286 писал(а):

Это приводит к аксиомам кольца, поля или тела, из которых Ваши "операции с качествами" автоматически следуют.

Someone, я не знаю чем вас так греют эти аксиомы. Они явно не могут ответить на поднимаемые вопросы.
1. Покажите мне пожалуйста, где в аксиомах кольца/поля/тела говорится про операцию возведения в степень?
2. Покажите мне пожалуйста, как можно видеть различие между действительными и комплексными числами по аксиомам кольца/поля/тела?
3. Можно ли по аксиомам кольца/поля/тела доказать(опровергнуть) возможность непротиворечивого введения операции возведения в степень для комплексных чисел?

Из пунктов 1, 2 например следует, что упомянутые аксиомы не компетентны ответить на вопрос "Противоречит ли для комплексных чисел постулированный дистрибутивный закон $x*(y+z)=x*y+x*z$ требованию $x^{y+z}=x^y*x^z$?".
4. Ответите на этот вопрос исходя из аксиом кольца/поля/тела? (Ответ будет "Нет").

Операция возведения в степень вводится только через изменение набора аксиом, а это выводит нас за пределы аксиом колец/полей.

Someone в сообщении #247286 писал(а):

Тогда почему эту Вашу гипотетическую операцию нужно называть возведением в степень?

По той же причине, по которой операции $3^{-2},e^i,...$ называются операцией возведения в степень.

Уж извините, после этого я задумываюсь, что же называть "наивная кустарщина".

[ewert]

STilda в сообщении #248322 писал(а):

1. Покажите мне пожалуйста, где в аксиомах кольца/поля/тела говорится про операцию возведения в степень?

Нигде -- этой операции там, вообще говоря, и нет, но никто и не жалуется.

STilda в сообщении #248322 писал(а):

2. Покажите мне пожалуйста, как можно видеть различие между действительными и комплексными числами по аксиомам кольца/поля/тела?

На вещественных числах есть аксиомы порядка, на комплексных -- нет (но зато есть другой аксиоматический объект -- "мнимая единица").

STilda в сообщении #248322 писал(а):

3. Можно ли по аксиомам кольца/поля/тела доказать(опровергнуть) возможность непротиворечивого введения операции возведения в степень для комплексных чисел?

Нельзя, если использовать только аксиомы поля (непротиворечивости не будет). Можно для положительных оснований, если привлечь аксиому полноты (как в вещественном случае, так и в комплексном). Нельзя, если основание произвольно. Можно для произвольных коплексных оснований, если ввести понятие многолистной функции.

[Jnrty]

Jnrty:

Отделил обсуждение способов введения комплексных чисел в тему "Введение комплексных чисел" в разделе "Вопросы преподавания".

[Профессор Снэйп]

Я вот подумал, что раз $0^0 = 1$, то $\sqrt[0]{1} = 0$. То есть $1^{1/0} = 1^\infty = 0$. Как интересно!

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #248638 писал(а):

То есть $1^{1/0} = 1^\infty = 0$. Как интересно!

Почему интересно -- банально. Если единица достаточно мала, то так, разумеется, и будет. Скажем, $(1-{1\over x})^{x^2}$.

[Someone]

STilda в сообщении #248322 писал(а):

Someone в сообщении #247286 писал(а):

Это приводит к аксиомам кольца, поля или тела, из которых Ваши "операции с качествами" автоматически следуют.

Someone, я не знаю чем вас так греют эти аксиомы.

Это простые аксиомы. Основанные на них алгебраические системы имеют широчайшую область применения. Ваши "операции с качествами" автоматически следуют из этих аксиом, поэтому нет никакой нужды вводить эти "качества" и специальными аксиомами определять операции с ними.

STilda в сообщении #248322 писал(а):

Они явно не могут ответить на поднимаемые вопросы.
1. Покажите мне пожалуйста, где в аксиомах кольца/поля/тела говорится про операцию возведения в степень?

Нигде. В случае произвольного кольца/поля/тела "бинарная операция" $x^n$ не является алгебраической операцией, хотя при определённых условиях можно ввести бесконечное множество унарных операций $x^1$, $x^2$, $x^3$,...

STilda в сообщении #248322 писал(а):

2. Покажите мне пожалуйста, как можно видеть различие между действительными и комплексными числами по аксиомам кольца/поля/тела?

Эти аксиомы служат не для того, чтобы различать кольца/тела/поля. Они устанавливают свойства алгебраических операций, общие для всех колец/полей/тел.

STilda в сообщении #248322 писал(а):

3. Можно ли по аксиомам кольца/поля/тела доказать(опровергнуть) возможность непротиворечивого введения операции возведения в степень для комплексных чисел?

Это зависит от того, что Вы понимаете под "операцией возведения в степень".

STilda в сообщении #248322 писал(а):

Из пунктов 1, 2 например следует, что упомянутые аксиомы не компетентны ответить на вопрос "Противоречит ли для комплексных чисел постулированный дистрибутивный закон $x*(y+z)=x*y+x*z$ требованию $x^{y+z}=x^y*x^z$?".
4. Ответите на этот вопрос исходя из аксиом кольца/поля/тела? (Ответ будет "Нет").

Разумеется, отвечу: указанное свойство операции возведения в степень для целых действительных $y$ и $z$ не имеет никакого отношения к дистрибутивности умножения относительно сложения (в частности, никак не может ему противоречить) и следует из ассоциативности умножения в поле. Однако определение степени для нецелого показателя очень далеко выходит за рамки собственно алгебры, а соотношение $x^{y+z}=x^yx^z$ для комплексных $x,y,z$, вообще говоря, не выполняется (точнее, оно выполняется с такой оговоркой: для каждого значения $x^{y+z}$ можно подобрать такие значения $x^y$ и $x^z$, что равенство будет верным; дистрибутивность умножения относительно сложения здесь важна).

STilda в сообщении #248322 писал(а):

Операция возведения в степень вводится только через изменение набора аксиом, а это выводит нас за пределы аксиом колец/полей.

Ерунда. Возведение в степень вводится определением без какого-либо изменения набора аксиом.

STilda в сообщении #248322 писал(а):

Someone в сообщении #247286 писал(а):

Тогда почему эту Вашу гипотетическую операцию нужно называть возведением в степень?

По той же причине, по которой операции $3^{-2},e^i,...$ называются операцией возведения в степень.

Уж извините, после этого я задумываюсь, что же называть "наивная кустарщина".

Ну разумеется, Вы же не знаете, что называется степенью элемента алгебраической системы. И это странно, потому что это изучают в школе (применительно к действительным числам). Поэтому Ваши измышления кажутся Вам необыкновенно глубокими.

Рассмотрим произвольный группоид $G$, то есть, множество с одной бинарной операцией, которую будем называть умножением; произведение элементов $a$ и $b$ будем обозначать $ab$.

Вообще, если $n\in\mathbb N=\{1,2,3\ldots\}$ - натуральное число, то $n$-ной степенью элемента $a\in G$ называется произведение $n$ одинаковых множителей, равных $a$. В произвольном группоиде такое определение при $n>2$ ничего конкретного не определяет, так как это произведение зависит от расстановки скобок в выражении $aa\ldots a$, например, $(aa)a$ и $a(aa)$ могут быть разными элементами.

Поэтому следует ограничиться группоидами, в которых при всех $n\in\mathbb N$ произведение $n$ одинаковых множителей не зависит от расстановки скобок. В таком группоиде $n$-ная степень элемента $a$ обозначается $a^n$. Очевидным образом для любых $m,n\in\mathbb N$ выполняются равенства $a^ma^n=a^{m+n}$ и $(a^m)^n=a^{mn}$.

Если группоид имеет единичный элемент, то есть, такой элемент $e$, что $ae=a$ и $ea=a$ для любого элемента $a\in G$, то можно определить также нулевую степень равенством $a^0=e$. Равенства $a^ma^n=a^{m+n}$ и $(a^m)^n=a^{mn}$ выполняются и для нулевой степени, то есть, когда $m$ или $n$ равно $0$. Равенство $(ab)^0=a^0b^0$ тривиально.

Далее будем предполагать, что группоид $G$ является полугруппой, то есть, операция умножения удовлетворяет условию ассоциативности: $(ab)c=a(bc)$ для любых $a,b,c\in G$.

Поскольку в полугруппе произведение любых (не только одинаковых) элементов не зависит от расстановки скобок, то в полугруппе можно определить степень $a^n$ при $n\in\mathbb N$, а если существует единичный элемент $e$, то можно определить и $a^0=e$. Разумеется, равенства $a^ma^n=a^{m+n}$ и $(a^m)^n=a^{mn}$ в полугруппе выполняются. Если полугруппа коммутативная, то также $(ab)^n=a^nb^n$.

Если элемент полугруппы $a\in G$ имеет обратный элемент, то есть, такой элемент $a^{-1}\in G$, что $aa^{-1}=e$ и $a^{-1}a=e$, то можно определить отрицательную степень элемента $a$ равенством $a^{-n}=(a^{-1})^n$. Благодаря ассоциативности умножения равенства $a^ma^n=a^{m+n}$ и $(a^m)^n=a^{mn}$ будут выполняться для любых целых $m,n\in\mathbb Z$. Если полугруппа коммутативная, то для $n\in\mathbb Z$ и обратимых $a$ и $b$ будет выполняться и равенство $(ab)^n=a^nb^n$.
В частности, в группе для всех элементов определены степени с любыми целыми показателями и выполняются указанные свойства степеней (равенство $(ab)^n=a^nb^n$ - для коммутативной группы).

Поскольку умножение в теле и поле ассоциативно, то неотрицательные степени определены для всех элементов тела и поля (в частности, $0^0=1$; здесь только нужно помнить, что тот $0$, который в основании степени, и $1$ - это элементы поля или тела, а тот $0$, который в показателе степени, - элемент множества целых чисел), а отрицательные - для ненулевых элементов.
В кольце степени элементов можно определить, если мультипликативный группоид кольца удовлетворяет перечисленным выше условиям. В частности, в ассоциативном кольце положительные степени элементов определены всегда, нулевая - в кольце с единицей, отрицательные - для обратимых элементов.

STilda в сообщении #247094 писал(а):

От привычных $(-2)^{-1}=-0.5,2^{-1}=0.5,(+2)^{+2}=(+4)$ придется отказаться, так как они навязывают законы $(-1)^{-1}=(-1),(+1)^{-1}=(+1),(+1)^{+1}=(+1)$, которые не могут одновременно выполняться в группе. Но этот отказ не должен быть болезненным, если принять во внимание, что все эти равенства были введены "по определению" и кроме привычки в их защиту ничего нет.

Указанные Вами "привычные" равенства являются следствиями приведённого выше общего определения степени. Вы, конечно, можете выдумать что угодно и назвать это степенью, но при этом вступите в конфликт с общепринятой терминологией. Вы уверены, что Ваша выдумка будет иметь столь большой успех, что все срочно откажутся от общепринятой терминологии и от обычного понятия степени в пользу Вашего?

Продолжим.

Введение степеней с нецелыми показателями выходит за пределы собственно алгебры.
В частности, определение поля действительных чисел включает не только алгебраические операции с их аксиомами, но также отношение порядка с его аксиомами, аксиому полноты и аксиому Архимеда.
Пользуясь этими аксиомами, можно
1) для неотрицательного числа $a\in\mathbb R$ и натурального $n\in\mathbb N$ определить степень $a^{\frac 1n}$ как неотрицательное действительное число, удовлетворяющее условию $\left(a^{\frac 1n}\right)^n=a$ и доказать существование и единственность этого числа (после этого для нечётного $n$ можно определить $a^{\frac 1n}$ и для отрицательных $a\in\mathbb R$ равенством $a^{\frac 1n}=-(-a)^{\frac 1n}$), доказать монотонность $a^{\frac 1n}$ по $a$ и по $n$, а также равенства $(ab)^{\frac 1n}=a^{\frac 1n}b^{\frac 1n}$, $\left(\frac ab\right)^{\frac 1n}=\frac{a^{\frac 1n}}{b^{\frac 1n}}$, $\left(a^{-1}\right)^{\frac 1n}=\left(a^{\frac 1n}\right)^{-1}$, $\left(a^{\frac 1n}\right)^{\frac 1m}=a^{\frac 1{mn}}$;
2) если определено $a^{\frac 1n}$, то для неотрицательного $m\in\mathbb Z$ определить $a^{\frac mn}=\left(a^{\frac 1n}\right)^m$; если $a\neq 0$, то можно определить $a^{\frac mn}=\left(a^{\frac 1n}\right)^m$ и для отрицательного $m\in\mathbb Z$; далее нужно доказать равенство $a^{\frac{km}{kn}}=a^{\frac mn}$ при $k\in\mathbb N$ (это позволяет говорить о степени с рациональным показателем $r=\frac mn$), свойства $a^{r_1}a^{r_2}=a^{r_1+r_2}$, $\frac{a^{r_1}}{a^{r_2}}=a^{r_1-r_2}$, $\left(a^{r_1}\right)^{r_2}=a^{r_1r_2}$, $(ab)^r=a^rb^r$, $\left(\frac ab\right)^r=\frac{a^r}{b^r}$, а также монотонность $a^r$ по $a$ и по $r$;
3) "зажимая" действительное число $p$ сходящимися к нему сверху и снизу последовательностями рациональных чисел, определить $a^p$ для неотрицательного $a$, если $p>0$, и для положительного $a$, если $p\leqslant 0$, и доказать свойства, аналогичные перечисленным в предыдущем пункте.

Для комплексных чисел $z_1\neq 0$ и $z_2$ степень определяется равенством $z_1^{z_2}=e^{z_2\mathop{\mathrm{Ln}}z_1}$. Из-за многозначности логарифма степень также оказывается многозначной. Единственность такого определения следует из единственности аналитических функций $a^z$ и $z^{z_2}$, совпадающих с функциями $a^x$ и $x^{z_2}$ (для действительных $a>0$ и $x$ и комплексного $z_2$).

[STilda]

Someone, Вы все хорошо расписали но основное не расписали. Проблема ведь в комплексных числах. Мне не нравятся многозначные функции. Я возвожу число в степень числа и хочу иметь число а не кучу чисел. Я не хочу иметь парадоксы, описанные по адресу http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation Failure of power and logarithm identities. Так я и ставлю перед собой задачу найти такую функцию возведения в степень, чтоб она была нормальной и без парадоксов. Этим будет отличаться моя выдумка от общепринятого бардака по этому вопросу. Терминология меня не останавливает.

И заметте, что вводили Вы только что определения для степени как раз рассматривая мои "качества" одно за другим: для натуральных, для нуля, для обратного элемента, для рациональной дроби, для комплексного числа - суть те самые качества. Только Вы этого в упор не хотите видеть. А Вы введите степень без разбиения на такие случаи. Сможете? Зачем же вам понадобились эти случаи, объясните? Не в качествах ли тут дело?

На вопрос 4. я просил ответить соблюдая условия вопроса 4.

[ewert]

STilda в сообщении #249075 писал(а):

Так я и ставлю перед собой задачу найти такую функцию возведения в степень, чтоб она была нормальной и без парадоксов.

Ну и напрасно ставите, ничего и не выйдет. Ваша гипотетическая функция всё равно будет обязана согласовываться с общепринятой -- той самой, которая якобы с "парадоксами".

[shust]

Профессор Снэйп в сообщении #248638 писал(а):

раз $0^0 = 1$, то $\sqrt[0]{1} = 0$.

Не могли бы Вы пояснить почему из истинности первого равенства следует справедливость второго равенства?

[Nxx]

Потому что корень, по определению - обратная функция к возведению в степень?

[shust]

Вполне согласен с тем, что

Nxx в сообщении #249369 писал(а):

корень, по определению - обратная функция к возведению в степень

Продолжая рассуждения, высказанные в сообщении

Профессор Снэйп в сообщении #248638 писал(а):

раз $0^0 = 1$, то $\sqrt[0]{1} = 0$

можно установить более общее и не менее интересное утверждение:
раз $a^0 = 1$, то $\sqrt[0]{1} = a$.
для любого неотрицательного вещественного числа $a$ ( а не только $a$=0) .
Что скажете?