Применение Бинома Ньютона для док-ва теоремы Ферма.

[sceptic]

yk2ru в сообщении #248675 писал(а):

sceptic в сообщении #248590 писал(а):

В док-ве от 28 августа, в БР, не может быть случая, чтобы $(x,y,z_3)$ все были иррациональны, так как в доказательстве принято, что $x$ - натуральное число.

yk2ru, цитата из поста Семена, а я в авторах. Спасибо, не надо. Верните авторство Семену.

[Семен]

yk2ru писал(а):

sceptic в сообщении #248590 писал(а):

В док-ве от 28 августа, в БР, не может быть случая, чтобы $(x,y,z_3)$ все были иррациональны, так как в доказательстве принято, что $x$ - натуральное число.

Семен, $x$ (принято, что $x$ - натуральное число) тут какое у вас, "базовое" или "небазовое" (т.е. из начального уравнения). Одинаковыми буквами обозначать разные переменные значит создавать путаницу, пусть и непреднамеренно. Обозначим "небазовые" переменные как $(X,Y,Z_3)$. Выразите из них "базовые". При натуральных $(X,Y)$ у вас получались "базовые" иррациональные $(x,y,z_3)$.

.

$(x,y,z)$ - базовые числа и в варианте с натуральными $(X,Y)$ и в варианте с натуральными $(X, Z)$.

yk2ru писал(а):

Выразите их из двух других начальных натуральных переменных и покажите, в каких случаях "базовые" $x, z$ будут рациональными, от которых вы и отталкиваетесь при доказательстве?

.
В док-ве от 28.08. это выражено так:
Примечания:
1. Любая, произвольно принятая пара натуральных чисел $ X, Z $ может относиться, или к СМ, или к БСМ. Для того, чтобы это узнать необходимо определить элементы базового ряда $ ((E(k, 1)) $.
Для чего: 1. Произвольно принимаем $ X, Z $ - натуральные числа.
2. Находим разницу между ними: $ (Z-X)=M $.
3. Определяем $ d $. $ d=M/m=(M/2) $ - рациональное число.
4. Определяем базовые $ x, y, z. $
4.1 $ x=X/d=(2*X)/M $ - рациональное число.
4.2 $ z=Z/d=(2*Z)/M $ - рациональное число.
4.3 $ y=2*k= $ $ 2*$\sqrt[]{(x+1)}$ $$ = 2*$\sqrt[]{(2*X+M)/M}$ $.
4.3.1 Eсли $ y=2*$\sqrt[]{(2*X+M)/M}$ $ - рациональное число, то базовые $ x, y, z. $. относятся к СМ.
4.3.2 A eсли $ y=2*$\sqrt[]{(2*X+M)/M}$ $ - иррациональное число, то базовые $ x, y, z. $. относятся к БСМ.
Т.е., в этом случае, $ Y $, при $ X, Z $ - натуральных числах, будет иррациональным числом.
А $Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ не будет иметь решения в натуральных числах.
P.S. Если в этом будет необходимость, то я приведу пример в числах.

-- Сб окт 03, 2009 19:38:59 --

sceptic писал(а):

Семен, в своем посте Вы просили меня рассмотреть Ваше решение ВТФ при n=3 в посте от 29.09.09г. Излагаю свое мнение об этой Вашей попытке.
То, что Вы здесь привели - это не доказательство! Это - всего лишь Ваша гипотеза, которая требует доказательства. Вы углядели аналогию в описании чисел $Z$ и $Z_3$ и наивно распространяете ее на иррациональность этих чисел. Забыв при этом (или сознательно закрывая глаза на эту причину), что единственной причиной иррациональности числа $Z$ является Ваша начальная посылка:.....

Уважаемый sceptic, предлагаю вернуться к этой теме после того, как Вы ознакомитесь с док-вом.

sceptic писал(а):

Я не влезал в обсуждение Ваших попыток изложить здесь свой метод решения ВТФ, поскольку достаточно быстро сформировался кружок Ваших рецензентов (TOTAL, Henrylee, Коровьев, shwedka, yk2ru) - более, чем солидная компания. Не уверен, что я буду Вам более полезен, чем они. Но коли Вы очень просите, отрецензирую Ваш последний вариант. Начну со следующего своего поста.

Спасибо.

[yk2ru]

Семен, просьба выразить $x, y, z$ не из $X, Z$, а из $X, Z_3$.
Ведь если теорема Ферма была бы справедлива для степени три, то нашлись бы три натуральных числа $X, Y, Z_3$, удовлетворяющие начальному уравнению в третьей степени.
В прошлый раз вы показали, что при натуральных $X, Y$ получаются иррациональные "базовые" $x, y, z$. Получите же теперь "базовые" $x, y, z$ из других двух данных $X, Z_3$ или $Y, Z_3$, входящих в начальное уравнение третьей степени.

-- Сб окт 03, 2009 21:14:01 --

sceptic в сообщении #248706 писал(а):

yk2ru в сообщении #248675 писал(а):

Семен в сообщении #248590 писал(а):

В док-ве от 28 августа, в БР, не может быть случая, чтобы $(x,y,z_3)$ все были иррациональны, так как в доказательстве принято, что $x$ - натуральное число.

yk2ru, цитата из поста Семена, а я в авторах. Спасибо, не надо. Верните авторство Семену.

Вернул бы, но правка того сообщения уже недоступна.

[PAV]

yk2ru в сообщении #248787 писал(а):

Вернул бы, но правка того сообщения уже недоступна.

Цитата исправлена

[sceptic]

Семен в сообщении #248027 писал(а):

Требуется доказать, что уравнение $y=$\sqrt[n]{z^n_n-x^n}$ $ (1) не имеeт решения в натуральных числax

$ (x, y, z_n) $.
§1. Для доказательства рассмотрим Множество
$ S=\{(x, z) | x, y, z \in\ R_+, n\in\ N, n\geq3, y \le x <z_n\}$ (2).

Как соотносится множество $S$ и уравнение (1)? Нужно ли понимать так, что числа $x, y, z_n$, упоминаемые в определении множества $S$, должны удовлетворять (1)? Если да, то почему это никак не отражено в определении $S$? И что тут делает $z$? Ведь Вы определяете его позже?

Семен в сообщении #248027 писал(а):

$ R_+ $ – Множество положительных действительных чисел.
Определим число $z=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $ (2а)
Множество S объединяет:
А. Системное Множество (СМ)
$ S_1=\{(x, z) | x, y, z \in\ Q \} $
$ Q $ – Множество положительных рациональных чисел.
В. Бессистемное Множество (БСМ).
$ S_2=\{(x, z) | x, y, z \in\ R_+\} $.

Какой смысл разделения множества $S$ на $S_1$ и $S_2$ - из определения $S_2$ вытекает, что $S=S_2$.

Семен в сообщении #248027 писал(а):

В этом Множествe один из элементов, как минимум, должен быть иррациональным числом.

Элементами множества $S_2$ являются пары чисел. Пара чисел не есть число.
Ох, чую - если уже в определениях Вы демонстрируете такую неряшливость, что же нас ждет дальше?

Семен в сообщении #248027 писал(а):

Oпределяем число $ m=(z-x) $.
Отсюда: $ z=(m+x) $. (3a)
Из (2a) и (3a): $ (m+x)=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $. (4a)
Возведя левую и правую части (4a) в степень $ 2 $, получаем уравнение: $ m^2+2*x*m-y^2=0 $ (5a)
независимо от того принадлежит ли пара $ (x, z) $ k системному или бессистемному множествaм, $ m $, в уравнении (5a), имеет натуральное решение.

Вот первое темное место. По-моему - здесь скрывается неверное утверждение. Что означает высказывание "...$ m $, в уравнении (5a), имеет натуральное решение". $m$ - число, как оно может иметь решение (неважно, натуральное или ненатуральное). Может быть, Вы хотели сказать , что $m$ - натуральное число? Если это - то доказывайте!
Здесь я останавливаюсь. Жду Ваших разъяснений по заданным вопросам. Без ответов на них движение дальше по тексту не имеет смысла.

[Семен]

sceptic писал(а):

Семен в сообщении #248027 писал(а):

Требуется доказать, что уравнение $y=$\sqrt[n]{z^n_n-x^n}$ $ (1) не имеeт решения в натуральных числax $ (x, y, z_n) $.
§1. Для доказательства рассмотрим Множество
$ S=\{(x, z) | x, y, z \in\ R_+, n\in\ N, n\geq3, y \le x <z_n\}$ (2).

sceptic писал(а):

Как соотносится множество $S$ и уравнение (1)? Нужно ли понимать так, что числа $x, y, z_n$, упоминаемые в определении множества $S$, должны
удовлетворять (1)?

Числа $x, y, z_n$, упоминаемые в определении множества $S$, должны удовлетворять (1).

sceptic писал(а):

Если да, то почему это никак не отражено в определении $S$? И что тут делает $z$? Ведь Вы определяете его позже?

Прошу меня извинить, т.к. я не уверен, что правильно отвечу на Ваш вопрос. В то же время, убедительно прошу, если это возможно, исправить мои ошибки:
$ S=\{(x, z) | x, ($z=$\sqrt[]{x^2+y^2}$), (y=$\sqrt[n]{z^n_n-x^n}$) \in\ R_+, n\in\ N, n\geq3, y \le x <z_n\}$ (2).

Семен в сообщении #248027 писал(а):

$ R_+ $ – Множество положительных действительных чисел.
Определим число $z=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $ (2а)
Множество S объединяет:
А. Системное Множество (СМ)
$ S_1=\{(x, z) | x, y, z \in\ Q \} $
$ Q $ – Множество положительных рациональных чисел.
В. Бессистемное Множество (БСМ).
$ S_2=\{(x, z) | x, y, z \in\ R_+\} $.

sceptic писал(а):

Какой смысл разделения множества $S$ на $S_1$ и $S_2$ - из определения $S_2$ вытекает, что $S=S_2$.

В $ S $ включены $ S_1 $ и $ S_2 $. Элементы $ S_1 $: $ x, y, z $ - рациональные числа, а в $ S_2 $, по крайней мере, один из элементов $ x, y, z $ - иррациональное число. В обоих случаях $ x, y, z $ - действительные числа.

Семен в сообщении #248027 писал(а):

В этом Множествe один из элементов, как минимум, должен быть иррациональным числом.

sceptic писал(а):

Элементами множества $S_2$ являются пары чисел. Пара чисел не есть число.
Ох, чую - если уже в определениях Вы демонстрируете такую неряшливость, что же нас ждет дальше?

Элементами $ S $, что ниже определено в док-ве, являются не только $ x, z $, но и $ y, m, m_n, z_n, k, k_n $. Как я понимаю, каждый элемент - это определенное число. Если я ошибаюсь, то буду благодарен, если Вы подскажите. как это выразить правильно. Это не неряшливость - это моя проблема. Полагаю, что в дальнейшем нас ожидают меньшие трудности в определениях.

Семен в сообщении #248027 писал(а):

Oпределяем число $ m=(z-x) $.
Отсюда: $ z=(m+x) $. (3a)
Из (2a) и (3a): $ (m+x)=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $. (4a)
Возведя левую и правую части (4a) в степень $ 2 $, получаем уравнение: $ m^2+2*x*m-y^2=0 $ (5a)
независимо от того принадлежит ли пара $ (x, z) $ k системному или бессистемному множествaм, $ m $, в уравнении (5a), имеет натуральное решение.

sceptic писал(а):

Вот первое темное место. По-моему - здесь скрывается неверное утверждение. Что означает высказывание "...$ m $, в уравнении (5a), имеет натуральное решение". $m$ - число, как оно может иметь решение (неважно, натуральное или ненатуральное). Может быть, Вы хотели сказать , что $m$ - натуральное число?

Я хотел сказать: " $m$ - натуральное число." В док-ве исправлю.

sceptic писал(а):

Если это - то доказывайте!

Ниже, в этом-же параграфе, имеется док-во, что всегда $m=2$.

[sceptic]

Как-то странно Вы используете цитирование, Семен: Ваши ответы тоже выглядят, как цитаты.

Семен в сообщении #248926 писал(а):

sceptic писал(а):

Семен в сообщении #248027 писал(а):

Требуется доказать, что уравнение $y=$\sqrt[n]{z^n_n-x^n}$ $ (1) не имеeт решения в натуральных числax $ (x, y, z_n) $.
§1. Для доказательства рассмотрим Множество
$ S=\{(x, z) | x, y, z \in\ R_+, n\in\ N, n\geq3, y \le x <z_n\}$ (2).

sceptic писал(а):

Как соотносится множество $S$ и уравнение (1)? Нужно ли понимать так, что числа $x, y, z_n$, упоминаемые в определении множества $S$, должны
удовлетворять (1)?

Числа $x, y, z_n$, упоминаемые в определении множества $S$, должны удовлетворять (1).

Принято.

Семен в сообщении #248926 писал(а):

sceptic писал(а):

Если да, то почему это никак не отражено в определении $S$? И что тут делает $z$? Ведь Вы определяете его позже?

Прошу меня извинить, т.к. я не уверен, что правильно отвечу на Ваш вопрос. В то же время, убедительно прошу, если это возможно, исправить мои ошибки:
$ S=\{(x, z) | x, ($z=$\sqrt[]{x^2+y^2}$), (y=$\sqrt[n]{z^n_n-x^n}$) \in\ R_+, n\in\ N, n\geq3, y \le x <z_n\}$ (2).

Выглядит ужасно, но годится.

Семен в сообщении #248926 писал(а):

Семен в сообщении #248027 писал(а):

$ R_+ $ – Множество положительных действительных чисел.
Определим число $z=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $ (2а)
Множество S объединяет:
А. Системное Множество (СМ)
$ S_1=\{(x, z) | x, y, z \in\ Q \} $
$ Q $ – Множество положительных рациональных чисел.
В. Бессистемное Множество (БСМ).
$ S_2=\{(x, z) | x, y, z \in\ R_+\} $.

sceptic писал(а):

Какой смысл разделения множества $S$ на $S_1$ и $S_2$ - из определения $S_2$ вытекает, что $S=S_2$.

В $ S $ включены $ S_1 $ и $ S_2 $. Элементы $ S_1 $: $ x, y, z $ - рациональные числа, а в $ S_2 $, по крайней мере, один из элементов $ x, y, z $ - иррациональное число. В обоих случаях $ x, y, z $ - действительные числа.

Ну так и нужно было отразить это в определении множеств $S_1$ и $S_2$: $S_1=\{(x, z) \in\ S\ | x, y, z \in\ Q\}$,
$S_2=\{(x, z) \in\ S\ | (x, z) \notin\ S_1\}$,
где $Q$ - множество рациональных чисел.

Семен в сообщении #248926 писал(а):

sceptic писал(а):

Элементами множества $S_2$ являются пары чисел. Пара чисел не есть число.
Ох, чую - если уже в определениях Вы демонстрируете такую неряшливость, что же нас ждет дальше?

Элементами $ S $, что ниже определено в док-ве, являются не только $ x, z $, но и $ y, m, m_n, z_n, k, k_n $. Как я понимаю, каждый элемент - это определенное число. Если я ошибаюсь, то буду благодарен, если Вы подскажите. как это выразить правильно. Это не неряшливость - это моя проблема. Полагаю, что в дальнейшем нас ожидают меньшие трудности в определениях.

Нет, Семен, $ y, m, m_n, z_n, k, k_n $ - не являются элементами множества $S$ - они суть параметры, от которых зависит множество $S$. Впрочем, Вы лействительно указали проблему - плохое владение Вами математической терминологией. Могу лишь посоветовать - почитайте научно-популярные книжки по теории множеств.

Семен в сообщении #248926 писал(а):

Семен в сообщении #248027 писал(а):

Oпределяем число $ m=(z-x) $.
Отсюда: $ z=(m+x) $. (3a)
Из (2a) и (3a): $ (m+x)=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $. (4a)
Возведя левую и правую части (4a) в степень $ 2 $, получаем уравнение: $ m^2+2*x*m-y^2=0 $ (5a)
независимо от того принадлежит ли пара $ (x, z) $ k системному или бессистемному множествaм, $ m $, в уравнении (5a), имеет натуральное решение.

sceptic писал(а):

Вот первое темное место. По-моему - здесь скрывается неверное утверждение. Что означает высказывание "...$ m $, в уравнении (5a), имеет натуральное решение". $m$ - число, как оно может иметь решение (неважно, натуральное или ненатуральное). Может быть, Вы хотели сказать , что $m$ - натуральное число?

Я хотел сказать: " $m$ - натуральное число." В док-ве исправлю.

sceptic писал(а):

Если это - то доказывайте!

Ниже, в этом-же параграфе, имеется док-во, что всегда $m=2$.

Ну, это Вы, мягко говоря, преувеличиваете - равенство$m=2$ доказано лишь в одном, весьма узком случае. Подробнее по этому пункту выскажусь в следующем посте - мне спать пора .

[PAV]

Семен, sceptic - не увлекайтесь чрезмерным цитированием.

[KORIOLA]

Господа фермисты!
Как вы прокомментируете следующие примеры:
$3^4 = 2^5 + 7^2;$
$6^3 + 5^4 =29^2;$
$7^3 = 10^2 + 3^5$
KORIOLA

[cepesh]

KORIOLA, бан на две недели за многочисленные нарушения правил.

[yk2ru]

Семен, переписывайте начало доказательства с учётом поправок sceptic. Неоднажды вам предлагал формулировки, но вы всегда почему то возвращались к своим "священным коровам"/"неправильному написанию формул и определений", уж извините за "священных коров".

[Семен]

PAV писал(а):

Семен, sceptic - не увлекайтесь чрезмерным цитированием.

Часто в один и тот-же пост включены несколько вопросов, поэтому возникает необходимость одну цитату делить на несколько цитат, иначе ответ будет неясен. Прошу разрешить цитирование в пределах необходимости.

PAV писал(а):

Семен,
Коровьев на самом деле дал хороший и правильный ответ на поставленный Вами вопрос о Вашем рассуждении. То, что Вы его по сути не поняли, говорит не в Вашу пользу.

Для решения задачи мной было предложено ур-ние Ферма: $Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ (1).
Вместо этого, мне было предложено решить ур-ние Коровьева: $Z_3=$\sqrt[3]{X^3+7*Y^3}$ $ (2). Могу предложить еще несколько ур-ний, подобных ур-нию Коровьева: $Z_3=$\sqrt[3]{X^3+(Y^3+a)}$ $ (3), $Z_3=$\sqrt[3]{X^3+(Y^3-a)}$ $ (4),
$Z_3=$\sqrt[3]{X^3+(Y^3/a)}$ $ (5). Здесь: $ a$ - рациональное число, подбираемое таким образом, чтобы $ Z_3 $ равнялось натуральному числу.
Примеры: $Z_3=$\sqrt[3]{8^3+(6^3+1)}$=9 $, $Z_3=$\sqrt[3]{1^3+(63*1^3)}$=4 $, $Z_3=$\sqrt[3]{8^3+(2^3*61)}$=10 $,
$Z_3=$\sqrt[3]{1^3+(1^3*999)}$=10 $
и т.д., и т.п. Я полагаю, что ничего общего между ур-нием (1) и ур-ниями: (2), (3), (4), (5) - нет. Я не могу понять:"В чем я неправ?"

[PAV]

Как указал Коровьев, в Вашем рассуждении нигде явно не фигурировало выражение, стоящее под знаком корня. Отсюда следует, что его можно заменить на другое, и доказательство измениться не должно. Если это не так, то укажите конкретную строчку (утверждение, переход), которая верна для выражения $\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ и неверна для $\sqrt[3]{X^3+7Y^3}$. Я думаю, что эту строчку тогда можно будет с оппонетами и обсудить. А если такой строчки не найдется, то это значит, что рассуждение неверно, так как позволяет "доказать" неверное утверждение.

Это как если бы некто "доказал" ВТФ и при этом нигде не использовал бы условие $n\ge3$. Или нигде не использовал бы целочисленность всех переменных. Это уже доказывает, что рассуждение неверно, его для этого даже не обязательно читать.

[yk2ru]

PAV в сообщении #249453 писал(а):

Если это не так, то укажите конкретную строчку (утверждение, переход)

Семёну: Или найти ошибку конкретно в доказательстве Коровьева. В каком месте там ошибка?

[sceptic]

Продолжаю.

Семен в сообщении #248027 писал(а):

Oпределяем число $ m=(z-x) $.
Отсюда: $ z=(m+x) $. (3a)
Из (2a) и (3a): $ (m+x)=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $. (4a)
Возведя левую и правую части (4a) в степень $ 2 $, получаем уравнение: $ m^2+2*x*m-y^2=0 $ (5a)
независимо от того принадлежит ли пара $ (x, z) $ k системному или бессистемному множествaм, $ m $, в уравнении (5a), имеет натуральное решение. $ m $ является делителем числа $ y^2 $. Запишем его в виде $ m=y/k $. B $ S_1 $, $ k $ - рациональное число, a в $ S_2 $, $ k $ - иррациональное число. В $ S_1 $ принимаем $ x, y, z $ - натуральныe числа. В дальнешем рассмотрим $ S_1 $ с рациональными числами. О чем будет сообщено особо.
Подставив в (5a),
$m= y/k $ после упрощений, сокращений и переносов получим: $ 2*k*x=y*(k^2 - 1) $
Составим пропорцию: $ x /y= (k^2 - 1)/ 2* k $ .
Как один из вариантов этого уравнения принимаем:
$ x=(k^2 - 1) $, a $ y=2*k $. Назовём этот вариант Базовым рядом (БР). Тогда:
$ z=$\sqrt{(k^2 - 1)^2)+(2*k)^2)}$ $=
=$$\sqrt{(k^4 - 2*k^2 + 1+4*k^2)}$ $=
=$ $\sqrt{(k^4+2*k^2 +1)}$ $ =
=$ $\sqrt{(k^2+1)^2)}$ = $ (k^2+1) $.
То есть: $ z=(k^2+1) $.
$ m=(z-x)=(k^2+1)-(k^2-1)=2 $.

Обратим внимание на утверждение Семена о натуральности $m$ - решения уравнения (5a) (выделено мною жирным шрифтом). Причем, Семен уверяет, что оно (утверждение) справедливо всегда. На мою просьбу привести доказательство этого, Семен предлагает найти его в этом параграфе: "Ниже, в этом-же параграфе, имеется док-во, что всегда $m=2$." Это место я нашел (привожу в цитате выше). Обращаю Ваше внимание, Семен, на выделенную мною фразу. Итак, равенство $m=2$ Вы доказали в случае $x=k^2 - 1, y=2*k$. А где доказательство в остальных случаях? (когда $x \neq k^2 - 1$).
Итак, налицо подтасовка: заявляется некое утверждение, приводится доказательство его для какого-то частного случая, а объявляется, что утверждение справедливо во всех случаях.
Что скажете, Семен?
Вопрос к модераторам.
В связи с изменениями в правилах, касающихся этого раздела ("Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3") нужно ли Семену переделать свой последний вариант доказательства в плане ограничения рассмотрением случая $n=3$?