А как надо вводить комплексные числа, чтобы была

"аксиоматическим" объектом?
Варианты конечно есть. Про поле разложения

говорить не стану, хотя нижеследующее оно и есть.
Рассматриваем двумерную линейную алгебру над полем

с базисом

и таблицей умножения базисных элементов

.
Для начинающих это должно излагаться примерно так:
1. Вместо пар

сразу рассматриваем формальные суммы

с естественным отождествлением
2. На полученное расширение множества

распространяем операции сложения и умножения исходя из стремления сохранить их известные свойства и с учётом равенства

. Вопрос из зала: а почему так? Ответ: не почему, а зачем - чтобы

имел корень.
3. Проверяем, что желаемые свойства при таком определении действительно сохранились.
4. Далее уже как обычно - при подходе через пары на этом этапе форма

уже тоже есть.
Другой вариант - рассмотреть множество матриц вида

и договориться писать вместо этого

. Здесь

- единичная матрица, а

. Сложение и умножение по матричным правилам. Этот подход конечно хорош в случае, если слушатели знакомы с матрицами хотя бы второго порядка, а ещё лучше, если знакомы с матрицей поворота.