2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Введение комплексных чисел
Сообщение02.10.2009, 11:14 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
ewert в сообщении #248349 писал(а):
зато есть другой аксиоматический объект -- "мнимая единица"

А как надо вводить комплексные числа, чтобы $i$ была "аксиоматическим" объектом?
Насколько я знаю, обычно схема такая:
- вводится комплексное число как упорядоченная пара действительных (a, b)
- аксиоматически определяются сложение как (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) и умножение (a,b) * (c,d) = (ac-bd, ad+bc)
- $i$ по определению - это комплексное число (0, 1).
Осюда по правилу умножения
$i^2 = -1$
$(-i)^2 = -1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вновь о выражении 0^0
Сообщение02.10.2009, 11:59 
Заслуженный участник


11/05/08
31881
Maslov в сообщении #248374 писал(а):
А как надо вводить комплексные числа, чтобы $i$ была "аксиоматическим" объектом?
Насколько я знаю, обычно схема такая:

Ну да, обычно так. Аксиоматически же комплексные числа -- это вроде бы минимальное поле, удовлетворяющее дополнительно двум аксиомам: полноты и существования мнимой единицы (т.е. такого элемента, квадрат которого равен минус обычной единице). Правда, сам я никогда с этим подходом дела тоже не имел, но почему бы и нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вновь о выражении 0^0
Сообщение02.10.2009, 12:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5666
Новосибирск
Maslov в сообщении #248374 писал(а):
А как надо вводить комплексные числа, чтобы была $i$ "аксиоматическим" объектом?

Варианты конечно есть. Про поле разложения $x^2+1$ говорить не стану, хотя нижеследующее оно и есть.
Рассматриваем двумерную линейную алгебру над полем $\mathbb R$ с базисом $\{1, i\}$ и таблицей умножения базисных элементов $1\cdot 1=1, \ 1\cdot i=i=i\cdot 1, i\cdot i=-1$.
Для начинающих это должно излагаться примерно так:
1. Вместо пар $(a, b)$ сразу рассматриваем формальные суммы $a+bi$ с естественным отождествлением $a+0i=a$
2. На полученное расширение множества $\mathbb R$ распространяем операции сложения и умножения исходя из стремления сохранить их известные свойства и с учётом равенства $i\cdot i=-1$. Вопрос из зала: а почему так? Ответ: не почему, а зачем - чтобы $x^2+1$ имел корень.
3. Проверяем, что желаемые свойства при таком определении действительно сохранились.
4. Далее уже как обычно - при подходе через пары на этом этапе форма $a+bi$ уже тоже есть.

Другой вариант - рассмотреть множество матриц вида $aE+bI$ и договориться писать вместо этого $a+bi$. Здесь $E$ - единичная матрица, а $I=\begin{pmatrix}0&-1\\ 1&0\end{pmatrix}$. Сложение и умножение по матричным правилам. Этот подход конечно хорош в случае, если слушатели знакомы с матрицами хотя бы второго порядка, а ещё лучше, если знакомы с матрицей поворота.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вновь о выражении 0^0
Сообщение02.10.2009, 13:11 
Заслуженный участник


11/05/08
31881
Я всегда использую только вариант, который упомянул Maslov. Но -- с обязательной подготовкой:

1) сперва тупо решаем квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом, потому что ну очень хочется;

2) выводим правила сложения/умножения, исходя из их привычных свойств, как если бы запись $i=\sqrt{-1}$ имела смысл;

3) обращаем внимание на: что бы комплексное число собой ни представляло -- оно в любом случае задаётся двумя вещественными;

4) ну а теперь придаём всей этой лирике точный смысл, переходя к формальным парам.

Собственно, большинство так и поступают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вновь о выражении 0^0
Сообщение02.10.2009, 14:31 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
bot в сообщении #248401 писал(а):
Варианты конечно есть...

Спасибо. Посмотрел книжки - первым способом (через расширение поля действительных чисел корнем многочлена $x^2 + 1$) у ван дер Вардена комплексные числа вводятся, второй у Кострикина рассматривается.

Мне не для слушателей. Так, для себя разобраться :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вновь о выражении 0^0
Сообщение02.10.2009, 17:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5666
Новосибирск
Maslov в сообщении #248374 писал(а):
А как надо вводить комплексные числа, чтобы $i$ была "аксиоматическим" объектом?

С этого вопроса началась другая тема.

Предлагаю переместиться сюда

Методически что важнее и как быстрее (тоже немало важно)?
1) Выложить готовый вариант, а его прелести оставить на потом.
2) Начать с мотивации - чего мы хотим и как этого можно добиться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вновь о выражении 0^0
Сообщение02.10.2009, 17:25 
Заслуженный участник


11/05/08
31881
bot в сообщении #248480 писал(а):
Методически что важнее и как быстрее (тоже немало важно)? 1) Выложить готовый вариант, а его прелести оставить на потом.2) Начать с мотивации - чего мы хотим и как это можно сделать?

Второе -- безусловно важнее (да и нисколько не дольше, если не заморачиваться никому не нужной вознёй с формальной проверкой аксиоматики, в которой и так никто не сомневается).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вновь о выражении 0^0
Сообщение02.10.2009, 17:53 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
ewert в сообщении #248482 писал(а):
если не заморачиваться никому не нужной вознёй с формальной проверкой аксиоматики, в которой и так никто не сомневается

Я не преподаватель и сужу с другой стороны процесса, поэтому могу отвечать только за себя, но мне "возня с проверкой аксиоматики", которой нас мучали в школе (спец :)), дала гораздо больше, чем конкретные результаты этой возни. Имеется в виду, дала в смысле мироощущения, культуры мышления и т.п. Тем более, что ни один предмет, кроме математики, строгости мышления научить просто не может. (IMHO :))

 Профиль  
                  
 
 Re: Вновь о выражении 0^0
Сообщение02.10.2009, 18:05 
Заслуженный участник


11/05/08
31881
Maslov в сообщении #248491 писал(а):
"возня с проверкой аксиоматики", которой нас мучали в школе, дала гораздо больше, чем конкретные результаты этой возни.

Всем дала, но не в этом месте. Формально корректное определение -- необходимо. Проверка же аксиом (которые при таком подходе будут уже, естественно, не аксиомами, а как бы в некотором смысле теоремами) -- явно бессмысленна.

Что реально необходимо (и подразумевается, хотя я этого и не упомянул) -- так это "отождествление" соотв. подмножества пар с уже имеющимися вещественными числами; и, как следствие -- алгебраическая (т.е. естественная) форма записи комплексного числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вновь о выражении 0^0
Сообщение02.10.2009, 18:31 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
А зачем для этого что-то отождествлять? Нельзя просто сказать, что с этого момента $a$ - это сокращенная запись для $(a, 0)$
На а дальше, как обычно
$(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a,0) + (0, 1) (b, 0) = a + i b$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вновь о выражении 0^0
Сообщение02.10.2009, 18:36 
Заблокирован


12/08/09

1284
Самодуровка
Maslov в сообщении #248512 писал(а):
А зачем для этого что-то отождествлять? Нельзя просто сказать, что с этого момента $a$ - это сокращенная запись для $(a, 0)$
На а дальше, как обычно
$(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a,0) + (0, 1) (b, 0) = a + i b$

Ага и детям со второго класа давать вместе с таблицей умножения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вновь о выражении 0^0
Сообщение02.10.2009, 18:42 
Заслуженный участник


11/05/08
31881
Maslov в сообщении #248512 писал(а):
Нельзя просто сказать, что с этого момента $a$ - это сокращенная запись для $(a, 0)$

Нельзя. Потому, что для "а" есть свой набор операций, а для "(а,0)" -- свой. И мы обязаны доказать, что эти операции согласованы -- раз уж мы собираемся хоть в каком-то смысле (а ведь надо ещё оговорить, в каком) рассматривать их как элементы одного и того же множества. Так вот это и есть "отождествление". А точнее -- изоморфизм, т.е. взаимно однозначное соответствие, сохраняющее алгебраические операции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вновь о выражении 0^0
Сообщение02.10.2009, 18:50 


16/03/07

823
Tashkent
Maslov в сообщении #248512 писал(а):
А зачем для этого что-то отождествлять? Нельзя просто сказать, что с этого момента $a$ - это сокращенная запись для $(a, 0)$
    Нельзя. Такие, как я могут не понять: вектор превратился в число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вновь о выражении 0^0
Сообщение02.10.2009, 19:09 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
ewert в сообщении #248520 писал(а):
раз уж мы собираемся хоть в каком-то смысле (а ведь надо ещё оговорить, в каком) рассматривать их как элементы одного и того же множества

А это зачем? У нас же нет ни одной операции, определенной на $\mathbb{C}\times$\mathbb{R}$ или $\mathbb{R}\times$\mathbb{C}$. Мы всегда указываем, с каким именно полем работаем.
Ну а аксиомы поля и другие свойства действительных чисел все равно придется явно проверять, причем для всего $\mathbb{C}$, а не только для подполя, изоморфного $\mathbb{R}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вновь о выражении 0^0
Сообщение02.10.2009, 19:15 
Заслуженный участник


11/05/08
31881
Maslov в сообщении #248528 писал(а):
У нас же нет ни одной операции, определенной на $\mathbb{C}\times$\mathbb{R}$ или $\mathbb{R}\times$\mathbb{C}$. Мы всегда указываем, с каким именно полем работаем.

Нет. Мы собираемся именно объявить $\mathbb R$ подмножеством $\mathbb C$. Поскольку все практически именно так и считают, и отказываться от этого -- никому не нужное пижонство. Но тогда мы обязаны сказать, в каком смысле мы это объявляем.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group